基于GARCH族模型的德國DAX股指的估計(jì)及預(yù)測

曾靜文

[摘 要] 通過對德國DAX股指的特征性分析，發(fā)現(xiàn)德國DAX股指是非正態(tài)的、平穩(wěn)的，并且具有自相關(guān)性。運(yùn)用ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，殘差具有ARCH效應(yīng)，說明該股指適合用GARCH族模型來建模。通過顯著性檢驗(yàn)以及AIC值越小越好、極大似然函數(shù)越大越好的選取準(zhǔn)則，得到擾動項(xiàng)服從學(xué)生分布下的TARCH（1，1）對于德國DAX股指的對數(shù)收益率波動的擬合效果是最好的。在該模型的基礎(chǔ)上對條件方差和收益率進(jìn)行了預(yù)測，發(fā)現(xiàn)條件方差最后收斂于0.00001左右的一個無條件方差，而預(yù)測的收益率和實(shí)際收益率之間的誤差很小，說明預(yù)測效果較好。

[關(guān)鍵詞] GARCH族模型；對數(shù)收益率；條件方差；預(yù)測

[中圖分類號] F830.91 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1009-6043（2018）01-0166-04

股票的波動性研究往往都是運(yùn)用GARCH模型來描述，而GARCH族模型包括一般的GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH和EGARCH模型。GARCH模型族的殘差在大多文獻(xiàn)中是服從正態(tài)分布的，而查閱資料發(fā)現(xiàn)該殘差可以假設(shè)服從正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布。因此，基于4種GARCH模型，使擾動項(xiàng)分別服從以上三種分布，得到12種模型，最后通過實(shí)證分析得到最優(yōu)模型，并在該模型的基礎(chǔ)上對條件誤差和對數(shù)收益率進(jìn)行了預(yù)測。

一、GARCH族模型及其發(fā)展

（一）GARCH族模型

1.ARCH模型

Engle提出了ARCH模型，但是ARCH模型不能反映實(shí)際數(shù)據(jù)中的長記憶性，且為了得到較好的估計(jì)，時常需要估計(jì)很多的參數(shù)，于是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出用GARCH模型來代替ARCH模型。

2.GARCH模型

GARCH模型中，最常用的就是GARCH（1，1）模型，因其能對數(shù)據(jù)進(jìn)行很好的描述。其形式為：

從模型的表達(dá)式可以看出，GARCH（1，1）與ARCH模型最大的區(qū)別就是方差方程，多了一個條件方差項(xiàng)，此方差項(xiàng)的加入可以避免估計(jì)很多參數(shù)。

3.GARCH-M模型

對于金融資產(chǎn)，人們一般認(rèn)為“高風(fēng)險對應(yīng)高收益”，即風(fēng)險越大，預(yù)期的收益率就越大。此處的風(fēng)險是用條件方差來表示的，并將這種波動引入均值方程中。GARCH-M（1，1）模型的形式為：

4.非對稱GARCH模型[1]

許多股票研究員發(fā)現(xiàn)，股票價格存在著非對稱性，即負(fù)的沖擊比正的沖擊更容易產(chǎn)生波動，波動率針對市場下跌的反應(yīng)比市場上升的反應(yīng)更加迅速，也被稱為“杠桿效應(yīng)”。而針對有杠桿效應(yīng)的數(shù)據(jù)，我們應(yīng)該使用非對稱的GARCH模型。而非對稱GARCH模型包括TARCH模型和EGARCH模型。

TARCH模型也稱門限GARCH模型，這個門限是采用一個虛擬變量來設(shè)定的，用來區(qū)分正和負(fù)的沖擊對條件波動的影響。TARCH（1，1）模型的形式為：

方差方程中的項(xiàng)，稱為非對稱效應(yīng)項(xiàng)，好消息和壞消息對條件方差有著不同的影響。好消息對條件方差只有一個α1倍的沖擊，而壞消息則對條件方差有著（α1+γ）倍的沖擊，γ>0表明存在杠桿效應(yīng)。

EGARCH模型又叫指數(shù)模型，其方差方程不再分析條件方差σ，而是分析lnσ，并使用擾動項(xiàng)和擾動項(xiàng)的絕對值與擾動項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差之比來刻畫正負(fù)沖擊對波動的影響。EGARCH（1，1）模型的形式為：

當(dāng)γ<0時，說明價格波動受負(fù)的外部影響大于受正的外部影響，成為杠桿效應(yīng)。

（二）GARCH族模型的擾動項(xiàng)分布假設(shè)

上述的模型中，都是假定擾動項(xiàng)μt服從正態(tài)分布，而在實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，許多金融事件序列的無條件分布具有比正態(tài)分布更寬的尾部。2007年程婧瑤研究股市波動率時，假設(shè)擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布；而在2013年ChristosKollias在研究歐洲市場股票波動性的時候假設(shè)擾動項(xiàng)服從廣義誤差分布。為了能夠更加精確的描述時間序列分布的尾部特征，需要對擾動項(xiàng)μt的分布進(jìn)行假設(shè)，一般有三種假設(shè)：正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布。給定一個分布，GARCH使用極大似然估計(jì)來對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

二、數(shù)據(jù)的選取和基本檢驗(yàn)

（一）數(shù)據(jù)的選取及說明

采用GARCH模型建模，一般是選擇日度數(shù)據(jù)或者日內(nèi)的高頻數(shù)據(jù)，這樣更有利于參數(shù)估計(jì)的收斂性和穩(wěn)健性。選取德國DAX股指，采用5分鐘高頻數(shù)據(jù)，樣本期間為2017年5月31日至2017年6月19日，剔除沒有交易的日子，共計(jì)1352個觀測數(shù)據(jù)。為了刻畫德國股市的波動現(xiàn)象，采取對數(shù)收益率作為研究對象。

此處，rt表示該對數(shù)收益率，pt表示后一時刻的股價，pt-1表示前一時刻的股價，則對數(shù)收益率為：

rt=In（pt）-In（pt-1）

（二）樣本數(shù)據(jù)的基本檢驗(yàn)

1.正態(tài)性檢驗(yàn)

運(yùn)用J-B統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)序列是否服從正態(tài)分布：在正態(tài)分布的假設(shè)下，數(shù)據(jù)服從自由度為2的卡方分布。要計(jì)算JB統(tǒng)計(jì)量，首先要計(jì)算偏度和峰度。偏度是統(tǒng)計(jì)一組數(shù)據(jù)是否是非對稱的，描述數(shù)據(jù)偏斜的程度以及方向。如果此值小于零，即數(shù)據(jù)左偏，否則右偏。峰度是衡量實(shí)數(shù)隨機(jī)變量的概率分布峰態(tài)的統(tǒng)計(jì)量，正態(tài)分布的峰度為3，如果峰度值小于3，則表明峰度不足，反之則峰度過度。JB統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)一組數(shù)據(jù)是否來自于正態(tài)分布，若數(shù)據(jù)是服從正態(tài)分布的，那JB統(tǒng)計(jì)量的值為0。

將德國DAX股指的對數(shù)收益率序列導(dǎo)入Eviews軟件中，得到偏度為0.427148，大于0，則右偏，峰度為15.21915，比正態(tài)分布的峰值3大，所以該序列呈現(xiàn)尖峰后尾的特征，而J-B統(tǒng)計(jì)量的值不為0，說明該序列不服從正態(tài)分布。

2.平穩(wěn)性檢驗(yàn)

作出德國DAX股指的對數(shù)收益率隨時間變化的線性圖形，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)圍繞一直線上下波動，說明該序列很有可能是平穩(wěn)的。采用ADF檢驗(yàn)，進(jìn)一步檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性。通過ADF檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對數(shù)收益率序列的ADF檢驗(yàn)值為-34.69532，當(dāng)顯著性水平為1%、5%及10%的情況下，所對應(yīng)的臨界值分別為-2.566676、-1.941058和-1.616542。說明ADF檢驗(yàn)值在任何顯著性水平下都明顯小于臨界值，所以該序列是平穩(wěn)的。endprint

3.自相關(guān)檢驗(yàn)

自相關(guān)性是指隨機(jī)誤差項(xiàng)的各期望值之間存在著相關(guān)關(guān)系，稱隨機(jī)誤差項(xiàng)之間存在自相關(guān)性。通過分析自相關(guān)函數(shù)圖，可知該序列是存在一階相關(guān)性的，采用Box-JenKins方法，可以把模型暫定為AR（1）、MA（1）及ARMA（2，1）。運(yùn)用最小二乘估計(jì)，通過比較AIC值，得出可由AR（1）模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。得到的模型為rt=0.057617rt-1+μt。

4.ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

用Eviews軟件畫出AR（1）模型rt=0.057617rt-1+μt的擾動項(xiàng)平方序列的時間序列圖。在圖中，擾動項(xiàng)平方序列具有明顯的時變性和急簇性，說明擾動項(xiàng)很可能具有ARCH效應(yīng)。

對于金融序列，一般會出現(xiàn)明顯的集聚現(xiàn)象，即大的波動后會緊跟著另一個大波動，小的波動后跟隨另一個小的波動，這就是ARCH效應(yīng)。要使用GARCH族模型建模，則需要檢驗(yàn)是否具有ARCH效應(yīng)。ARCH效應(yīng)有3種檢驗(yàn)方法，這里采用自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)方法，進(jìn)一步確定ARCH效應(yīng)的存在。通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)顯著不為0，而且Q統(tǒng)計(jì)量非常顯著，所以殘差具有ARCH效應(yīng)，可以用GARCH族模型進(jìn)行建模。

三、實(shí)證分析

GARCH族模型包括GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH模型以及EGARCH模型四種模型，且其擾動項(xiàng)分布服從正態(tài)分布、學(xué)生t分布或者廣義誤差分布。在4種GARCH模型的基礎(chǔ)上，使擾動項(xiàng)分別服從以上三種分布，得到12種模型，最后通過實(shí)證分析得到最優(yōu)模型。把德國DAX股指2017年5月31日至2017年6月19日的5分鐘的高頻數(shù)據(jù)導(dǎo)入Eviews軟件，得到以下實(shí)證結(jié)果。

（一）GARCH（1，1）模型的實(shí)證結(jié)果

由表1可知，當(dāng)擾動項(xiàng)服從正態(tài)分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）系數(shù)為0.045007，其對應(yīng)的P值是不顯著的，說明在使用GARCH（1，1）模型下假設(shè)擾動項(xiàng)服從正態(tài)分布是不合理的。當(dāng)擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布和廣義誤差分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）系數(shù)以及方差方程中的系數(shù)α1和β1均是顯著的，說明在GARCH（1，1）的模型下假設(shè)擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布以及廣義誤差分布是合理的。表中LogL的表示對數(shù)似然函數(shù)，用來表示已知輸出結(jié)果時未知參數(shù)的可能取值；AIC表示衡量統(tǒng)計(jì)模型擬合優(yōu)良性的一種標(biāo)準(zhǔn)。而選擇模型時，似然函數(shù)值越大越好，AIC值越小越好。擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布和廣義誤差分布下的對數(shù)似然函數(shù)分別為8279.549和8254.996，赤池信息準(zhǔn)則分別為-12.25859和-12.22222。所以在使用GARCH（1，1）模型下，假設(shè)擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布，對德國DAX股指的擬合更好一些。

（二）GARCH-M（1，1）模型的實(shí)證結(jié)果

由表2可知，不管擾動項(xiàng)服從哪種分布，均值方程對應(yīng)方差項(xiàng)的系數(shù)均是不顯著的，即使用GARCH-M（1，1）來擬合德國DAX股指是不合理的。

（三）TARCH（1，1）模型的實(shí)證結(jié)果

由表3可知，當(dāng)擾動項(xiàng)服從正態(tài)分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）的系數(shù)是不顯著的，說明在使用TARCH（1，1）模型下假設(shè)擾動項(xiàng)服從正態(tài)分布是不合理的。當(dāng)擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）系數(shù)以及方差方程中α1、β1以及非對稱項(xiàng)系數(shù)γ都是顯著的，說明在TARCH（1，1）的模型下假設(shè)擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布是合理的。當(dāng)擾動項(xiàng)服從廣義誤差分布時，方差方程中的非對稱項(xiàng)系數(shù)γ是不顯著的，說明在TARCH（1，1）的模型下假設(shè)擾動項(xiàng)服從廣義誤差分布是不合理的。

所以，擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）的模型對德國DAX股指擬合得更好。非對稱項(xiàng)γ的值為0.164705，顯著大于0，說明存在杠桿效應(yīng)，即得出德國DAX股指確實(shí)存在非對稱性。當(dāng)發(fā)生好消息時，會給股票指數(shù)帶來0.150889倍的沖擊，而發(fā)生壞消息時，則會帶來0.315594倍的沖擊。

（四）EGARCH（1，1）模型的實(shí)證結(jié)果

由表4可知，當(dāng)擾動項(xiàng)服從正態(tài)分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）的系數(shù)是不顯著的，說明在使用EGARCH（1，1）模型下假設(shè)擾動項(xiàng)服從正態(tài)分布是不合理的。當(dāng)擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）系數(shù)以及方差方程中所有的系數(shù)估計(jì)都是顯著的，說明在EGARCH（1，1）的模型下假設(shè)擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布是合理的。當(dāng)擾動項(xiàng)服從廣義誤差分布時，方差方程中的系數(shù)γ是不顯著的，說明在EGARCH（1，1）的模型下假設(shè)擾動項(xiàng)服從廣義誤差分布是不合理的。

所以，擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的EGARCH（1，1）的模型對德國DAX股指擬合得更好。非對稱項(xiàng)的值為-0.067513，顯著小于0，說明存在杠桿效應(yīng)，即得出德國DAX股指確實(shí)存在非對稱性。當(dāng)發(fā)生好消息時，會給股票指數(shù)帶來0.30107倍的沖擊，而發(fā)生壞消息時，則會帶來0.436096倍的沖擊。

由前文可知，只有GARCH-M（1，1）模型不管擾動項(xiàng)服從任何分布，對數(shù)據(jù)的擬合都是不合理的。而另外三種模型，均是在擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布的時候所對應(yīng)的LogL最大，AIC值最小。說明我們所選取的數(shù)據(jù)，假設(shè)擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布時擬合效果更好。

通過上述的非對稱GARCH族的實(shí)證結(jié)果發(fā)現(xiàn)，被選用的數(shù)據(jù)確實(shí)存在非對稱性，即用擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）模型及EGARCH（1，1）模型更合理。而擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）及EGARCH（1，1）模型的對數(shù)似然函數(shù)分別為8281.821和8281.136，AIC值分別為-12.26048和-12.25946。即擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）的對數(shù)似然函數(shù)更大，AIC值更小。

綜上所述：擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）對于德國DAX股指的對數(shù)收益率波動的擬合效果是最好的。模型為：endprint

四、預(yù)測

由上文可知擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）對于德國DAX股指的對數(shù)收益率波動的擬合效果最好，下面運(yùn)用該模型進(jìn)行預(yù)測。金融資產(chǎn)的波動率以及收益率都是很重要的指標(biāo)，而GARCH族模型的波動率是用條件方差來刻畫的，收益率則是采用對數(shù)收益率。對2017年6月20日至6月23日的338個5分鐘高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。

（一）波動率的預(yù)測

從圖1可以看出在預(yù)測的區(qū)間內(nèi)，條件方差預(yù)測值在增加，呈現(xiàn)“上凸”的形狀，圖形的一階導(dǎo)數(shù)在不斷減小至0，最后收斂于0.00001左右的某個值，即為無條件方差。

（二）收益率的預(yù)測

圖2顯示的是對數(shù)收益率的預(yù)測值，未來各期的預(yù)測值均在零值附近，這是因?yàn)槲覀儾捎玫木捣匠虨閞t=-0.056811rt-1+μt。均方誤差值和平均絕對誤差分別為0.000551和0.000358，說明預(yù)測值和真實(shí)值之間的誤差很小，預(yù)測效果較好。

五、小結(jié)

通過對德國DAX股指進(jìn)行波動性分析，先是進(jìn)行特征分析，發(fā)現(xiàn)該股指非正態(tài)、平穩(wěn)，且具有自相關(guān)性。在GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH模型以及EGARCH模型的基礎(chǔ)上分別假設(shè)擾動項(xiàng)服從正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布得到12種模型。通過極大似然估計(jì)對模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，發(fā)現(xiàn)擾動項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）對于德國DAX股指的對數(shù)收益率波動的擬合效果是最好的。并且對該模型的波動率和收益率進(jìn)行了預(yù)測，預(yù)測效果較好，說明GARCH族模型在股票的波動性以及收益率的預(yù)測上具有一定的實(shí)用性。但有幾個問題仍待解決：

（一）被選用的GARCH族模型均為單變量GARCH模型，只能研究單一的市場，而當(dāng)出現(xiàn)多個市場時，市場與市場之間是有相互影響的，這是需要進(jìn)一步探究的問題。

（二）Eviews軟件只能輸出預(yù)測的圖像，而不能輸出具體的預(yù)測值，而在投資中，投資者更想得到確切的數(shù)值。通過R軟件以及Matlab軟件編程能夠得到具體的預(yù)測值，這也是需要進(jìn)一步探索的問題。

[參考文獻(xiàn)]

[1]李嫣怡，劉榮，丁維岱.Eviews統(tǒng)計(jì)分析與應(yīng)用（修訂版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2013：207.

[責(zé)任編輯：潘洪志]endprint