動量定理在完全彈性碰撞中的運用簡化數學運算

陳志杰

（2016全國Ⅱ卷）35.（2）如圖，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時刻小孩將冰塊以相對冰面3m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h=0.3m（h小于斜面體的高度）。已知小孩與滑板的總質量為m1=30kg，冰塊的質量為m2=10kg，小孩與滑板始終無相對運動。取重力加速度的大小g=10m/s2。

（i）求斜面體的質量；

（ii）通過計算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？

本題的第二小題，涉及到完全彈性碰撞的問題。即列出方程組：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′ 和12m1v21+12m1v22=12m1v′21+12m2v′22

正常數學解得：v′1=m1-m2v1+2m2v2m1+m2；v′2=m1-m2v2+2m1v1m1+m2

若v2=0，可得：v′1=m1-m2m1+m2v1；v′2=2m1m1+m2v1

此方程組數學計算對于基礎差的學生是一個難題，通常要求強記結論，但是學生容易把兩個速度結論搞混亂。此次我先給同學們講解如何用物理方法輕松快速的解開這個方程組。

我將講解動量定理在完全彈性碰撞中的運用來簡化數學運算。

如圖，以質量為m1，速度為v1的小球A與質量為m2，速度為v2小球B發生正面彈性碰撞為例。彈開后A、B兩球的速度分別為u1、u2 。

我們假設兩球在相互作用的過程中平均作用力分別為F和F，碰撞時間為t，當兩球的完全彈性碰撞過程中形變量達到最大瞬間，此時兩球速度相同，大小為v共。根據對稱性，這時候碰撞時間已經過了0.5t，對A球來說，F的沖量為：

I1=0.5Ft=m1（v共-v1） ①

兩球從形變量最大到剛剛分開的瞬間也過了0.5t的時間，再次對A球分析，F的沖量為：I2=0.5Ft=m1（u1-v共） ②

聯立1122兩方程可得： u1=2v共-v1 ③

同理對B球運用動量定理分析可得： u2=2v共-v2 ④

此時動量守恒m1v1+m2v2=（m1+m2）v共 得 v共=m1v1+m2v2m1+m2⑤

運用結論③④⑤，我們可以很快的解答出完全彈性正碰的方程組。

接下來我們來解答題目（2016全國Ⅱ卷）35.（2）

（i）規定水平向右為速度正方向，冰塊在斜面上運動到最大高度時兩者達到共同速度。設共同速度為v，斜面體的質量為m3。由水平方向動量守恒和機械能守恒定律得：

m2 v20=（m2+ m3）v 和 12m2v220=12m2+m3v2+m2gh

式中v20=-3m/s為冰塊推出時的速度。聯立并代入題給數據解得

v=-1m/s ； m3=20kg。

（ii）設小孩推出冰塊后的速度為v1 ，由動量守恒定律有m1v1+m2v20=0

帶入數據得v1=1m/s.

設冰塊與斜面體分離后的速度分別為u2和 u3，由動量守恒和能量守恒得：m2v20=m2u2+m3u3和12m2v220=12m2u22+12m3u23 斜面體初速度v30=0m/s

u2=2v-v20=2×（-1）-（-3）m/s=1m/s

u3=2v-v30=2×（-1）m/s=-2m/s

由于冰塊在小孩子后面，速度與小孩子相等，所以冰塊追不上小孩。

【變式訓練】

如圖所示，一個四分之一圓弧斜面固定在小車上，斜面下端與小車水平面相切，小車與斜面的總質量M=9kg。一個質量為m=3kg的光滑小球，以v1= 9.0m/s的速度向右沖上小車平面，同時小車以v2= 6.0m/s 向右運動。小車水平面離地面的高度h= 0.45m，忽略所有摩擦力。求出小球落地瞬間，小球與小車左端的水平距離為多少？（g=10m/s2）

解：由動量守恒可得：

Mv1+mv2=Mv1′+mv2′

由能量守恒可得：

12m1v21+12m1v22=12m1v′21+12m2v′22

v共=Mv1+mv2M+m=6.75m/s

v′1=2v共-v1=2×6.75-9m/s=4.5m/s

v′2=2v共-v2=2×6.75-6m/s=7.5m/s

由h=12gt2 得， t=0.3s

小球落地瞬間，小球與車同向運動，小球與小車左端的水平距離s為：

s=v′2t-v′1t=0.9m

綜上所述，動量定理在完全彈性碰撞中的巧妙運用，可以大大簡化數學運算，減少計算失誤，節約時間。

（作者單位：福建省永春第三中學 362600）