橢圓焦點三角形的幾個性質

陳雯娟

摘要： 橢圓焦點三角形是高中數學學習的重點也是難點，也是高考容易丟分的題型。我通過學習和日常練習的積累，就橢圓焦點三角形的性質進行了詳細的探討，希望能幫助到同學們克服學習橢圓焦點三角形時的困難、突破瓶頸。

關鍵詞： 橢圓；焦點三角形；性質

橢圓焦點三角形以橢圓的兩個焦點F1、F2與橢圓上任意一點P組成的三角形。也就是橢圓上的任意一點與兩個焦點構成的三角形。如下圖所示：F1、F2是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的焦點，P是橢圓上的任意一點，這三點組成的三角形△F1PF2就是橢圓的焦點三角形。橢圓焦點三角形是高考的熱門考題型靈活多變，涉及橢圓定義、三角形內角和定理、正弦定理等知識，對學生的綜合素質要求比較高。本文分析橢圓三角形的常見問題，并結合橢圓焦點三角形的性質，希望幫助大家提高答題的速度和正確率。

性質一：若F1、F2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，P是橢圓上一點，且∠F1PF2=α，則S△F1PF2=b2tanα2

問題1：如圖，F1、F2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，P是橢圓上一點，且∠F1PF2=α，求ΔF1PF2的面積.

解：設|PF1|=m，|PF2|=n，由余弦定理得：

m2+n2-2mncosα=|F1F2|2=4c2，又m+n=2a，

所以（m+n）2-2mn（1+cosα）=4c2

即4a2-2mn（1+cosα）=4c2，得mn=2（a2-c2）1+cosα=2b21+cosα （1）

所以S△F1PF2=12mnsinα=b2sinα1+cosα=b2tanα2

性質二：已知F1、F2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，P是橢圓上一點，且∠F1PF2=α，則cosα≥1-2e2（當且僅當P為短軸端點時取等號），此時α有最大值。

證明：由（1）知：1+cosα=2b2mn， 又0 所以1+cosα≥2b2a2，

則cosα≥2b2a2-1=2（a2-c2）a2-1=1-2e2（當且僅當m=n取“=”） （2）

問題2：已知F1、F2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，橢圓上存在一點P，使∠F1PF2=120°，求離心率e的取值范圍。

解：法1：由性質二知只要∠F1P0F2≥120°，則只要θ≥60°

所以sinθ=ca≥sin60°=32，

即e≥32，又0 法2：由性質二知只要cos120°≥1-2e2，即-12≥1-2e2，得2e2≥32，所以e2≥34，又0 性質三：已知F1、F2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，橢圓上存在一點P，使∠F1PF2=α，則離心率e∈[sinα2，1）。

證明：法1：由性質二知只要∠F1P0F2≥α，則只要θ≥α2

所以sinθ=ca≥sinα2，

即e≥sinα2，又0 法2：由（2）知cosα≥1-2e2，2e2≥1-cosα=2sin2α2

所以e2≥sin2α2，即e≥sinα2，又0 法3：設P（x0，y0），由性質一，SΔF1PF2=b2tanα2=122c|y0|，得|y0|=b2tanα2c，因為|y0|≤b，所以b2tanα2c≤b，得bc≤1tanα2，又e2=c2b2+c2=1（bc）2+1，所以e2≥11tan2α2+1=11sin2α2=sin2α2，

所以e≥sinα2，又0

（作者單位：湖南省長沙外國語學校2015屆高三K1501班 410004）