關于高中立體幾何學習心得的思考

吳潤東

摘要：高中立體幾何是初中平面幾何學習的延續，也是高中數學學習的重點和難點部分。立體幾何的學習，不僅要求學生具備良好的三維立體感知能力，還要求學生在做題中，能夠靈活的運用各種定理。鑒于高中立體幾何的難度，本文主要分享了立體幾何學習的一些心得，提供一些個人認為較為實用的解題技巧。旨在為高中生的學習提供一些有價值的參考。

關鍵詞：高中；立體幾何；難點；技巧

前言：高中立體幾何的考查點主要圍繞基本概念、表面積、體積、點、線、面和與向量的關系等。單獨學習這些模塊時，并不會感覺到太大的難度，只需要運用一些基本定理，掌握一定的做題規律即可解題。但是，當立體幾何知識點混在一起考查時，做題難度將會大幅度增加，需要運用到的知識內容也是多方面的。因此，本文重點分析高中立體幾何知識混合類型題的解法[1]。

一、高中立體幾何學習的重點和難點

對于不同的學生而言，在高中立體幾何學習時，會產生不同的難點認識。例如，一些立體感較差的學生在學習三視圖、求表面積或體積時比較吃力；一些數量關系成績較差的學生，在學習向量模塊時會感覺到難度；一些思維不夠靈敏的學生，在一些需要做輔助線的題型中會遇到阻礙。因此，概括的說，高中立體幾何的每一模塊都是學習的難點，也是考查的重點。當然，由于大部分類型題與教師講解的例題具有相同的解題步驟和方法，并不需要學生過多動腦。但是當部分模塊的知識點混合在一起時，勢必會增加解題的難度。例如，三視圖和幾何體表面積的結合，不僅要求學生通過三視圖判斷幾何體的類型，還需要通過分析三視圖中給出的數據，判斷與幾何體表面積求解公式相對應的值。因此，學生既要有一定的立體觀察能力，還要記住幾何體面積公式。當然，這種知識的結合是高中立體幾何學習的一般內容，并不能稱為難點[2]。

高中立體幾何的學習難點可以通過一道具體的考查題目進行說明：已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、F、G、H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，求證（1）EFGH是平行四邊形；（2）若BD=2√3，AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角，圖如1所示。這種題型是典型的立體幾何難點考察題，解題時既要作多條輔助線，還要結合數形結合思想，通過數量關系挖掘圖形中已給出的隱藏信息，還要掌握相關的定理和異面直線的性質。這種多知識點的混合考查是高中立體幾何學習的難點，也是高考應試的重點。這種難題的特點是給出的圖形較為簡單，題干信息較少，求證部分會給出其它條件。

二、高中立體幾何學習的解題技巧

學習立體幾何，首先要熟練掌握相關的公式、定理和演繹定理等內容，以此為基礎，本文主要通過一些具體的題型，說明不同題型的解題技巧。

1.空間幾何體的三視圖 空間幾何體的三視圖考查也分難度等級，基礎題型如下：給出一個幾何體的三視圖，包括左視圖、主視圖和俯視圖，具體如圖2所示。在圖中標注了解題所需要的尺寸，求解幾何體的表面積。具體解題步驟如下：首先，根據三視圖確定幾何體為正三棱柱。其次，根據三視圖確定原幾何體及其有關數據，最后利用公式求解。

此類題的解題技巧如下：1.由三視圖想象出幾何體的形狀；2.由相關數據得出幾何體中的量，進而求出表面積或體積。掌握三視圖是正確解決這類問題的關鍵，同時也體現了知識間的內在聯系，是高考中常見的基礎題型。

2.幾何體的表面積和體積 當圖形較為復雜時，幾何體的表面積和體積求解是高中立體幾何學習的難點。例如，給出四棱錐P-ABCD，底面ABCD是半徑為R的圓的內接四邊形，其BD是圓的直徑，并給出∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD，求線段PD的長；若PC=√11R，求三棱錐P-ABC的體積。解題思路如下：首先，根據條件得到AB、AD的長，再由相似三角形的性質求得PD的長。其次，證明PD⊥面ABCD，即PD為三棱錐的高，進而求得面積。

求幾何體的體積問題，可以多角度、多方位地考慮問題，對三棱錐，等體積轉化法是常用的方法，轉換底面的原則是為了使高更加容易求得，常常把底面放在已知幾何體的某一面上。求不規則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規則幾何體變化為規則幾何體，易于求解。

3.線線關系類型題 平行關系類型題首先要記憶平行關系成立的一系列條件，共包含12個。在學習過程中要記憶所有平行關系成立的條件，從而保證在解題中能夠引用正確的平行定理。具體而言，如果已知條件是“線面”平行，欲證的結論是“線線平行”，那么就將“線面平行”向“線線平行”轉化，通常可以利用線面平行的性質定理，作輔助平面得到某條或某幾條“面面的交線”來實現的這種轉化。

垂直關系類型題，通常是利用線面垂直證明面面垂直。因此，首先要找到一個平面的垂線，并且這條垂線要在另一個平面內。通過面面垂直判定定理，得出最終的結論。

4.空間向量在立體幾何中的應用 空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離等問題，其方法是不必添加繁雜的輔助線，只要建立適當的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量運算解決立體幾何問題。這樣使問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理問題完全轉化為代數運算，降低了思維難度。

除了上述復雜題型以外，前文中所列舉的難點題型，確實很難總結出具體的解題技巧。因為，偏難的題型對學生的思維能力要求較高，而思維的發展很難通過技巧實現。因此，掌握立體幾何的基本知識點和定義，加強不同題型的訓練，可以有效的提高立體幾何成績。

結論：綜上所述，高中立體幾何知識是高中數學的重點和難點，也是高考中最容易得分和丟分的模塊。在學習時，一方面要重視基礎知識的夯實，另一方面要增加訓練量，在做題的過程中不斷積累方法，掌握技巧。值得強調的是，技巧并不是憑空產生的，而是基于大量的練習。因此，如果想要提高立體幾何學習成績，一定要強化題本的練習。

參考文獻：

[1]魏胤呈，劉丹. 高中立體幾何解題研究[J]. 亞太教育，2016，（29）

[2]孫君海. 淺談如何學好高中立體幾何[J]. 學周刊，2015，（07）：109.

（作者單位：湖南省常德市芷蘭實驗學校 415000）