數學課堂的探究性學習

吳學軍

摘要：數學探究學習的一般原理從內涵到形式、從結構到機制、從自身特征到相關因素，涉及眾多的內容。數學探究學習是指學生自己或合作共同體針對要學習的概念、原理、法則或要解決的數學問題主動地思考、探索的學習活動，強調的是一種主動參與的學習方式。數學探究學習的典型活動是數學推理，這是數學學科的探究學習區別于其他學科探究學習的根本所在。

關鍵詞：探究性學習；概念；原理；問題解決

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）10-0075

概括地說，數學探究學習是指學生自己或合作共同體針對要學習的概念、原理、法則或要解決的數學問題主動地思考、探索的學習活動，強調的是一種主動參與的學習方式。對于展開的途徑、問題的程度和類別則不作過多限定。就是說，數學探究學習可以在不同的層次上進行，既可以對一般性的學習內容或問題展開探究，也可以針對數學學科的某個主題由學生形成自己的問題或活動意向，或者由教師提出問題，并創設探索所需的情境和途徑，之后，學生針對問題特點通過直觀思維、邏輯推理、精確計算等數學活動，形成自己的假設，并通過反思、觀察和必要的數學實驗活動檢驗假設，直至解決問題，在探究活動的基礎上建構起對數學知識的理解和有關的方法、技能。

數學探究學習的典型活動是數學推理，這是數學學科的探究學習區別于其他學科探究學習的根本所在。就當前而論，首要的問題是要改變那種把數學探究學習窄化為走出課堂、調查實踐的“專題性研究”的觀點，而應在較為廣泛的意義上，立足于學生的日常學習，將探究學習作為數學學習的基本方式加以提倡，這樣才能真正發揮數學探究學習的效力，改變數學學習中過分倚重模仿、識記和重復演練的現狀。

所謂數學課堂教學中的探究學習是指在數學課堂教學的環境下，學生圍繞正常的教學內容，就某些數學概念、原理、問題，以探究的形式學習新知識的過程。這個過程包括：設置情境，提出問題，思考、探討問題的結論，給出解釋或證明。這種探究學習形式有三個突出特點：一是教師的全程監控指導；二是探究內容的相對穩定性；三是時間和空間的固定性。因此，它屬于一種有結構的“定向式探究”（相對于開放式探究而言），即由教師提供探究內容并確定探究程序，學生尋找答案、發現聯系的探究過程。

雖然在探究過程中需要教師提供大量幫助，但學生在觀察和分析數學事實、建立假設、歸納和演繹推理及做出結論時，教師起著引導而不是包辦代替的作用。也就是說，在定向探究活動中，教師只是為學生的主動探究活動搭建一定的“腳手架”，并沒有鋪平學習的道路，學生需要發揮主觀能動性，親自體驗探索、研究的過程。

根據數學學習內容的特點，數學課堂教學中的探究學習又可大致分為三種主要的類型，即數學概念的探究學習、數學原理的探究學習、數學問題解決的探究學習。由于概念、原理、問題解決的學習各有其特色之處，即便都采用類似的探究模式展開，也會呈現出較為明顯的差異。因此，有必要針對各自的特點進行對比分析。

一、數學概念的探究學習

數學概念學習的基本過程是：接觸到新的數學對象，學生首先根據自己的觀察抽取對象的主要特征，然后提取相關經驗結構與新的數學對象類比，若吻合，則保留原有概念，但擴充了原有概念的范例；若不吻合，則修改原有概念以使其適應新的信息。新概念產生后必須經過應用階段的檢驗才能被學生接受，若運用成功，新概念框架形成；若運用不成功，則還需要進一步的檢驗和修正。可見，這是主動建構、逐漸形成的過程。大多數的數學概念是適于采用探究學習方式進行的。這一探究的過程大致涉及四個階段：

設置相關情境→尋求本質特征→解釋概念框架→精致、拓展與驗證

很明顯，數學概念的探究學習是需要教師設計和引導的。同樣的數學概念既可以通過教師的講授間接獲得，也可以設計成學生的探究活動直接獲得。雖然并不是所有數學概念的學習都適于采用探究的方式，但現實數學課堂中對一些可以而且應該采用探究方式獲取的概念還沒有引導到有效的探究層面。

二、數學原理的探究學習

數學原理的學習主要是在概念學習的基礎上，對概念間的關系或一些并不明顯的數學事實進行“再發現”與認同的過程。如“等腰三角形的兩底角相等”的學習是在掌握“等腰三角形”“底角”等概念的基礎上，對“相等”關系的認識；而“三角形的內角和等于180。”的學習則是要“再發現”這一數學事實。

一些數學原理是在生活實踐或數學實驗的基礎上歸納推理的結果，如“勾股定理”；而另一些數學原理則是對抽象的數學對象演繹推理的結果，如“實系數方程的虛根成對定理”。所有這些數學原理的學習可以通過適當的形式或整體、或局部的通過探究活動進行“再發現”其基本過程如下：

設置情境→展開探究→發現原理→探求證明→證明原理 研究原理

首先根據原理的特點創設合適的探究情境（如實驗情境、辨析情境等）使學生能夠通過自己的努力體驗到原理的合理性，然后探求證明思路，從邏輯上給出嚴格的證明，逐漸過渡到心理意義上的認同，再通過進一步的使用、驗證、分析研究原理。

三、數學問題解決的探究學習

實際上，數學探究可歸類于問題或屬于解難題范疇。而解決數學問題的過程本質上就是一個探究過程。這可以反映在解決數學問題的幾個主要階段中：

理解問題→規劃并施行→反思與拓展

理解問題，即是要探尋問題所呈現的信息的實質以及相關聯系，這是一個反復揣摩、逐步精致的求索過程；規劃并施行，即是根據對問題的理解調動自己頭腦中已有的“解題知識塊”，并進行必要的重組或“再構造”，規劃出解題路徑并嘗試執行，這是深入思考、不斷摸索的過程。

需要說明的是，雖然數學課堂學習中可以探究的內容不外乎概念、原理、問題解決等方面，但并不是所有的概念、原理、問題解決等內容都是適于采用探究學習方式進行的。而且由于課堂時間和空間的限制，即使一些適于探究的學習內容也不見得就能全面鋪開，有時只可能是部分地進行。

（作者單位：江蘇省新沂市新店中學 221400）endprint