“變化了”的智慧數學課堂

范青

摘要：“變式訓練”是創新的重要途徑，也是一種有效的數學教學途徑，所以教師利用“變式訓練”，能引導學生對數學問題多角度、多方位、多層次地討論和思考，使學生更深刻地理解數學知識，引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，最終提高學生的思維能力和創新能力。我們作為教師應該將課堂還原給學生，給學生更多的時間思考和探索，要求我們的課堂要多種多樣、多姿多彩，只要教師把握得好，發揮學生優勢，主動探究，就是一種好的教學方法。

關鍵詞：數學課堂；變式訓練；簡約；智慧；豐盈

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）10-0114

在平時的交流中，經常聽到有教師在抱怨“這種題目已講過許多遍了，學生還是錯”，也有學生的無奈“老師，數學是我的弱勢科目，我一直想通過自己的努力把它給提上來。為了讓我們的學生在數學課中也能學得輕松、學得快樂，我們作為教師應該將課堂還原給學生，給學生更多的時間思考和探索，要一題多解、一題多變，一題激起千層浪，要求我們的課堂要多種多樣，多姿多彩，只要教師把握得好，發揮學生優勢，主動探究，就是一種好的教學方法。

下面就筆者幾個變化的教學片斷，說說自己的收獲，供同行共勉：

一、改變背景，隱藏模型

在復習階段，教師要有意識地引導學生對相關題目進行整理歸類，要從千變萬化的題目中找出共性（即基本圖形），串在一起，使多道題目實質上變成一類題目。然而，現在大量的教輔書充斥市場，練習題不斷推陳出新。茫茫題海，教師要惠眼識真，精選習題，扣緊知識點去粗取精。只有如此，才能真正意義上減輕學生的課業負擔，留給學生自主思考、自主學習、自主發展的空間。這樣的做法，往往節省時間，節省精力，目標明確，收效較好。那么如何去做呢？我們學校數學組集合全體九年級數學教師，建立題庫，把同一類型的題目歸納：

案例：浙教版九年級上冊第四章《相似三角形》的專題復習以一組平行線為載體的設計：引例：如圖1和圖2，點B、E、C在同一條直線上，且∠ABE=∠AED=∠C，我們不妨把具備這種條件的圖形叫做“一線三等角”型基本圖形。得到兩個結論：

（1）△ABE∽△ECD，（2）AB·CD=EC·BE。我們把它們叫做“一線三等角”型基本圖形的一般性質。

問題1：如圖7，已知直線L1∥L2∥L3∥L4，相鄰兩條平行線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則sinα= .

問題2：如圖4，已知直線L1∥L2∥L3∥L4∥L5，相鄰兩條平行直線間的距離都相等，如果直角梯形ABCD的三個頂點在平行直線上，∠ABC=90°，AD∥BC，且AB=3AD，則tanα= .

問題3：如圖5：現有一張寬為12cm的練習紙，相鄰兩條格線間的距離均為0.8cm。調皮的小聰在紙的左上角用印章印出一個矩形卡通圖案，圖案的頂點恰好在四條格線上（如圖），測得∠α=32°。

（1）求矩形圖案的面積；

（2）若小聰在第一個圖案的右邊以同樣的方式繼續蓋印（如圖），最多能印幾個完整的圖案？

（參考數據：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）

品題：以上3個問題表面上各不相同，但其本質相同，都可以通過適當的添線，構造出引例中的“一線三等角”的基本圖形，達到應用基本圖形解決問題的目的，復習階段教師將同類問題像“鏈條”一樣串起來，多題歸一，環環相扣，層層遞進，知其方法。通其變化，真正達到有機重組，追求更輕松的課堂。

二、動手操作，折出簡約

上虞市八年級數學期末考試試卷中有一道關于折紙的試題，后來筆者在進行專題復習時，聯想到折紙也是中考的熱點問題，筆者就以《折紙中的數學問題》給自己的學生來了一節動手活動課，這一內容是當前中考的熱點問題，能選的題目很多。而筆者平時有空時，喜歡翻一翻全國各地區的中考試題，所以選題并沒有花自己多大工夫。以下是筆者所選的幾個例題：

（教學片斷）：

問題1：將矩形ABCD沿對角線AC折疊。

（1）猜想疊合部分是什么圖形？并驗證你的猜想。

（2）若矩形ABCD中AD=4，AB=3，求疊合部分的面積。

問題2：折疊矩形ABCD，讓AB落在對角線AC上。

（1）你能確定折疊后點B的位置？（折一折，想一想）

（2）若矩形ABCD中，AD=4，AB=3，你能求出圖中哪些線段的長度？并與你的同伴交流。

（前面兩個小問題較簡單，同學們都馬上上手了）

問題3：如圖：將邊長為1的正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后BC與交于點G。

（1）若M是CD的中點。求證：DE∶DM∶EM=3∶4∶5

（2）若M是CD上的任意一點，連接AM，猜想AM與EF的關系，并加以驗證。

（3）設DM的長為x，梯形CDEF的面積為S，那么是否存在S的最大值？若存在，請求出這個最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由。

（后面的兩個小問題涉及到的知識較復雜，通過生生交流、師生交流解決）

收獲：由于折紙是日常生活中常見的動手操作活動，以折疊為背景的幾何題，應抓住圖形變換中的某些對應元素（邊或角）相等這一關鍵因素來尋找解題途徑。動手可以讓學生更直觀的進行觀察、驗證、推理、交流等數學活動，動手也能使課堂更加生動活潑、主動和富有個性。所以，筆者在課外讓學生分別準備好兩張矩形紙片、兩張正方形紙片。人人動手試一試，學生學得輕松，真正達到減負目的，真正追求了我們所要的簡約課堂。endprint

三、動靜結合，分類討論

在平時教學中，我們應該多對一個已有的習題進行系列改編變式，形成一個題組或題鏈，在變式探究的過程中，學生的思維逐步深入，有利于促進學生對知識本質的認識，對各種數學思想方法的熟練掌握，有利于培養學生思維的靈活性和深刻性，讓學生體會每個條件所起的作用，從而讓學生明白一般題目變式可以從改變非本質的條件入手，有能力的學習可在平時的學習中嘗試改變題目，體會題目可以變的原因。這樣的嘗試是有價值的，它可以改變學生拿來題就做的習慣，如果能在七年級就開始培養這種習慣，我們不僅可以培養一支會解題的學生，還能培養一支會思考的學生，會編題的學生，會知一而知其二，那將是學生學習方法的一種突破。

我們有許多這樣的素材可以加以改編運用，其中教材的例題、習題就是一個很好的來源。

例如：如圖（1），O為正方形ABCD內一點，過點O的兩條互相垂直的直線與正方形的兩組對邊交于點E，F，G，H，求證：EF=GH。

此題源于浙教版八年級下冊中的一道習題，學生很快就能證明此題。

變式1：在例題中，如果將點O移動到正方形外，如圖（2），其他條件不變，是否還類似的結論？結論如何表述？

解決變式1后，再對例題進行變化，提出如下問題：

變式2：如圖（3），已知O為矩形ABCD內一點，過點O作兩條互相垂直的直線分別交矩形于點E，F，G，H，則EF與GH又存在著怎樣的關系呢？變式3：把點O移到矩形ABCD外（如圖4）是否還有同樣的結論？結論又該如何表述？

類似地，我們還可以進一步探究如下，如把矩形改為平行四邊形，是否還有類似的結論？結論該如何表述呢？如果點O在平行四邊形的外面呢？

體會：在平時的復習教學中，我們若能經常這樣來設計一定量相互銜接和過渡的，具有知識、能力層次、梯度要求的變式問題，必能優化學生的知識結構，提升學生靈活應用知識、分析問題、解決問題的能力。

教學有法，但無定法，貴在得法。從“一圖多變、一題多編、一題多串”等方面改造經典習題，進行適當的變式、引申、拓展，挖掘其潛在的功能，教師解放學生，學生勇于實踐。讓學生成為主體，就要真正地解放學生，而不要用考試、作業壓學生，逼得學生在教師定下的框框里不敢出來。教材中習題變化與拓展后，師生經常一節課只研究一個問題（進行一題多解和一題多變），有時到下課了還沒有研究結束，但這樣的教學效果較好，學生得到的是思想方法，是情感體驗，是個性發展，學生對數學知識理解深刻，獨立性高，知識遷移能力強。它改變了學生對數學解題的恐懼心理，開始從相似度很高、非常機械的試卷練習中解脫出來，激發了學習數學的興趣，在一定體會到了“在多樣的變化中領略數學的魅力，在層層的演變中體會數學的快樂。

（作者單位：浙江省上虞區瀝海鎮中學 312300）endprint