精心設計習題 提高數學能力

高元國

摘要：習題的不同呈現方式能激起學生各種不同的學習策略。設計操作型習題、探究型習題、應用型習題習題等，是實現學生知識建構、促進學生發展的重要手段，是廣大數學教師完成數學課程任務的重要環節。

關鍵詞：數學習題；設計；建構；發展

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）11-0082

《數學課程標準》指出，義務教育階段數學課程應實現：人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學。提倡現實的、有教育價值的數學，應以“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的基本模式展開內容，讓學生經歷“數學化”與“再創造”的過程，形成自己對數學的理解。本文就數學習題的設計談一些筆者的拙見。

一、設計操作型習題

絕大多數學生反映，初中數學枯燥無味，事實也是如此。以本為本的課堂教學方法有時很難激起學生的學習興趣。我們在解決這個問題時，可以以教材為載體，通過對教學內容的加工、處理和再創造，設計操作性習題，讓每個學生都積極參與學習數學的精神、思想和方法。

例如“線段的垂直平分線”這一節，我們可以選在了室外做練習，劃定一條“線段”，讓每個學生去找一個“到線段兩端點距離相等的點”站上，全班學生站完后，很明顯他們都站在了同一條直線上。這條直線就是這條線段的垂直平分線。僅用10分鐘左右的時間，就使學生理解了“到一條線段兩端點相等的點在這條線段的垂直平分線上”這個定理。還有像“對稱”“軌跡”“函數的圖像”這些知識的傳授都可以設計這種操作性課堂。

這些數學習題的優越性是顯而易見的。首先調動了學生參與的積極性，體現了學生的主體地位。學生能較順利地實現知識建構。其次是創設的問題情境充分調動學生的形象思維，所學知識非常容易理解和記憶。第三是教師學生都是教學的組織者和參與者，通過這種主動學習，有利于后進生的發展。

二、設計探究型習題

以建構主義理論為指導的數學課程標準，要求數學課堂開展必要的建構性探究活動，這樣有利于學生把握知識系統和建構知識網絡，形成良好的認知結構。

例如習題：已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形.求證：AN=BM.

請同學們研究這個題目的特征，探究是否可以適當改變題目的條件，問題的結論會發生什么變化？并體會蘊涵其中的數學規律。

情境思路：在直接證明原問題后，可以探究改變題目的條件，使圖形發生變化。在運動變化中觀察相關的圖形的變化，發現隱含其中的不變量，從中發現規律。

可以探究點C位置的變化；等邊△ACM、△CBN與線段AB相對位置的變化；三角形圖形的變化，如變化為正方形、正五邊形、正六邊形，或變化為等腰三角形等；從有公共頂點的兩個等邊三角形到任意正多邊形的旋轉變化等。

還可以從上述各種情況的組合上進行變化，探究其對題目的結論的影響。

探究方案1 點C的位置發生變化。

（1）點C為線段AB延長線上的一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，且在線段AB的同側。

（2）點C為線段AB外一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，且在線段AB的同側。

探究方案2 由等邊三角形到正多邊形的變化。

探究性習題能引導學生開展探究性學習，是實現學生學習方式轉變的最直接的策略。其重要程度不言而喻。

三、設計應用型習題

著名數學教育家弗羅登塔爾認為：數學是現實世界的抽象反映和人類經驗的總結，數學教育應該源于現實，用于現實，應該通過具體的問題來教抽象的數學內容，應該從學習者的經歷所接觸的客觀實際中提出問題，然后升華歸結為數學概念，運算法則或數學思想。新教材特別注重了這些問題，我們認為實際問題也可以由教師收集設計，例如在教學一次函數的性質，我們設計了下例：

為加強公民的節水意識，某城市制定了以下用水收費標準：每戶每月用水未超過7立方米時，每立方米收費1.0元并加收0.2元的城市污水處理費；超過7立方米的部分每立方米收費1.5元并加收0.4元的城市污水處理費。設某戶每月用水量為x（立方米），應交水費為y（元）

（1）分別寫出用水未超過7立方米和多于7立方米時，y與x的函數關系式。

（2）如果某幢樓共有用戶50戶，某月共交水費541.6元，且每戶的用水量均未超過10立方米，求這個月用水未超過7立方米的用戶最多可能有多少戶？

此題的背景是日常生活中的交水費問題，學生非常熟悉。解決此題的關鍵是如何從具體的問題中抽象出數學內容，數學地思考問題，并用數學識模、析模、建模、解模和驗模：

①當x≤7時，y=（1.0+0.2）x 即y=1.2x

當x>7時，y=（1.5+0.4）（x-7）+（1.0+0.2）×7 即 y=1.9x-4.9

②設這個月用水未超過7立方米的用戶最多為x戶，根據題意得：

50×7×（1+0.2）+（50-x）（10-7）×1.9=541.6

解得 x=29

像上例的應用性習題設計，能使學生體會到數學與自然及人類社會的密切聯系，體會數學的應用價值，培養數學的應用意識，增進對數學的理解和應用的信心。

總之，數學能力是通過解決數學問題體現出來的，數學問題又是數學知識的載體，好的數學習題更是數學教學中“創新”的載體。貼近生活、貼近實際、具有時代感，這不僅僅是一種教學理念，也是設計數學習題的一種理念、教師應從學生的實際出發，根據《數學課程標準》設計習題，引導學生通過實踐、探索、交流，獲得知識，形成能力，發展思維。

（作者單位：浙江省樂清市柳市鎮第一中學 325600）endprint