定弦定角問題及求最值的應(yīng)用研究

杜幸元

（廣東省深圳市寶安區(qū)松崗中學(xué)，廣東 深圳）

在定弦定角問題中，一般的題目設(shè)置多以某個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的線段的長度的最大值或最小值問題為主，解決這類題型首先要熟知定弦定角的含義及性質(zhì)，掌握原理解題才會(huì)更加清晰簡潔。首先我們需要掌握圓的各種性質(zhì)，并能夠進(jìn)行熟練的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用，其次是觀察動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，一般軌跡是一段弧，然后尋找不變的張角，并找出它的補(bǔ)角，以此為解決問題的突破口。之后根據(jù)張角找出他所對應(yīng)的定弦，三點(diǎn)確定一個(gè)圓，確定好圓心，以此為基礎(chǔ)再進(jìn)一步求最值。下面我們將根據(jù)例題，對問題進(jìn)行具體的分析，總結(jié)相關(guān)的應(yīng)用方法。

一、認(rèn)真分析題目給出的條件

在解決定弦定角及求最值問題時(shí)，首先要認(rèn)真分析題目給出的條件，需要掌握圓的相關(guān)概念和性質(zhì)，這是解決問題的前提。將題目給出的條件與圓的性質(zhì)對應(yīng)起來，與定弦定角的內(nèi)涵對應(yīng)起來，然后再解決下一步的問題。

解：

因?yàn)椤螩DP=∠ACB=45°

所以∠BDC°=135°（定弦定角的最值）

如圖，當(dāng)AD過O時(shí)，AD有最小值

因?yàn)椤螧DC=135°

所以∠BOC=90°

所以△BOC為等腰直角三角形

所以∠ACO=45°+45°=90°

所以AO=5

又因?yàn)镺B=OC=4

所以AD=5-4=1

二、有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

解決這類問題必須要學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合，利用圖形解決問題會(huì)起到事半功倍的效果。將題目中的條件在圖形上表現(xiàn)出來，這樣解題時(shí)會(huì)更加直觀明了。此外很多題目之間可以互相轉(zhuǎn)化，大家在練習(xí)中要注意總結(jié)相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

【例 2】如圖，A（1，0）、B（3，0），以 AB 為直徑作圓 M，射線 OF交圓O于E、F兩點(diǎn)，C為弧AB的中點(diǎn)，D為EF的中點(diǎn)，當(dāng)射線繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，CD的最小值為 （ ）

解：連接DM

因?yàn)镈是弦EF的中點(diǎn)

所以DM⊥EF

所以點(diǎn)D在以A為圓心、OM為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)

當(dāng)CD過圓心A時(shí)，CD有最小值

連接CM

因?yàn)镃為弧AB的中點(diǎn)

所以CM⊥AB

三、做出圓外一點(diǎn)與圓心的連線

在圓的定弦定角及求最值問題中，有一類題型是求圓外的一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最值問題，這類問題其實(shí)是畫出圓外一點(diǎn)與圓心的連線，延長與圓相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)與圓外一點(diǎn)的距離實(shí)際上就是最大值和最小值。

【例 3】如圖，在 Rt三角形 ABC 中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，P是三角形ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP的長度的最小值是 （ ）

解:

因?yàn)椤螦BC=90°，即：∠2+∠3=90°

又因?yàn)椤?=∠2

所以∠1+∠3=90°

所以∠APB=90。

所以∠APB在以AB為直徑的圓上，

如圖，圓心記為O，當(dāng)CP所在直線經(jīng)過圓心O時(shí)，CP最短

此時(shí)半徑OB=2，BC=6

所以在Rt△OBC中，由勾股定理得：

分析：這道題也可轉(zhuǎn)化為求CP的長的范圍，將AB看成定弦，將∠APB看成定角，看做是圓外一點(diǎn)經(jīng)過圓心與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的距離。

總之，定弦定值及求最值問題都有一個(gè)固定的方法和模式，其解題思路其實(shí)是一樣的，需要學(xué)生在認(rèn)真分析問題的基礎(chǔ)上，找出解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，找到問題的突破口，也可進(jìn)行反向思考，要想求出最值，就必須具備什么樣的條件，在猜測的基礎(chǔ)上一步步找出題目給出的隱含條件，幫助解決問題。希望以上定弦定點(diǎn)及求最值問題的應(yīng)用方法和策略能夠?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教師和學(xué)生起到良好的理論指導(dǎo)作用，幫助學(xué)生更快速、更便捷地解決這部分的問題。