一種妙解液體對物體壓力的創新方法

王偉民 辛存良

(1. 安徽省太和縣宮集鎮中心學校，安徽 太和 236652； 2. 山東省陽谷縣西湖中學，山東 陽谷 252311)

圖1

這道題目的原始出處為張大同、彭大斌兩位教師主編的《物理競賽教程》．原書對該問題的分析和解題過程如下.

假設有一半徑為R、高為R的水圓柱體立于水平面上,則平面對此水圓柱體的支持力等于此圓柱體的重力,即為πR3ρg(ρ為水的密度),和圖1相比較,由于上述水圓柱體對支持面的壓強與圖1中的水對支持面的壓強相等,而兩者底面積相等,故支持面對兩者的支持力相等．又在圖1中,支持面的支持力應等于漏斗中水的重力與漏斗重力之和．以m表示漏斗的質量,則有[注:原書解答過程對應插圖的序號為8-5,跟上面的圖1一樣,所以,筆者把原解答中出現的“圖8-5”都改成了“圖1”]開口向下的半球狀漏斗內裝滿水時,漏斗內表面各部分都要受到水的壓力．因為漏斗內表面是曲面,所以,內側面上各面積元所受水壓力的方向均不相同,由于圖1所示的半球面是以過球心的豎直線為對稱軸的旋轉對稱圖形,因此,水對漏斗內側各面積元壓力的合力,方向一定豎直向上,當開口向下裝滿水的漏斗剛開始浮起時,水對漏斗壓力的合力與漏斗重力相等,因此,從這一受力角度來分析,欲求漏斗的質量,只需求出水對漏斗壓力的合力即可．

故得漏斗質量為

由于曲面上深度不等的各面積元所受水的壓強不等,所以,直接用中學數學和物理知識計算水對漏斗內表面各面積元壓力的合力大小,有一定的困難(用微積分知識可求,但也比較麻煩),上述原書給出的解答過程,借助于建立的“水圓柱體”物理模型作為“媒介”進行求解,的確是一種非常簡潔的方法．實際上,我們也可以借助浮力產生的原因并結合阿基米德原理來巧妙求解——浸在液體中的物體所受液體浮力的大小,一方面等于液體對物體下表面和上表面的壓力之差(當上表面或下表面是曲面時,液體對曲面的壓力指的是曲面上各面積元所受液體壓力的合力),同時還等于物體排開液體的重力．建立合適的物理模型,同樣可以用中學知識方便快捷的求解液體對曲面上各面積元壓力的合力．

圖2

解析:建立如圖2所示的物理模型——取一個底面半徑為R,高也為R的圓柱體,從下面挖去一個半徑為R的半球,將剩余部分放入水中,并使其上表面(是平的圓面)與水面相平,則該物體的下表面(半球面)所受水的作用力跟圖1的漏斗內表面所受水的作用力完全相同．圖2中,水對物體下表面(半球面)各面積元壓力的合力豎直向上,大小等于物體所受水的浮力(因為物體的上表面與水面齊平,不受水的壓力)為

所以,漏斗的質量為

再看該方法在相關力學求解過程中的應用.

應該說,例1給出的問題情境非常的“巧合”——開口向下的漏斗裝剛滿水時,漏斗恰好被水頂起來．在實際問題中,這種巧合情形出現的幾率應該非常的小．那么,如果漏斗的質量不是那么的“巧合”,我們也可以根據這種現象求出漏斗的質量嗎?

圖3 圖4

解析:仿照例1的解法,建立如圖4所示的模型——取一個底面半徑為R,高為h的圓柱體,從圓柱體的底部挖去一個與圓柱體等底、等高的圓錐體,將剩余部分放入水中,且使其上表面與水面相平．依題意可知,圖3中漏斗與盛沙容器的重力之和等于水對其壓力的合力,大小等于圖4中浸在水中的物體所受水的浮力

所以,漏斗的質量為

如果漏斗質量較大,漏斗裝滿水無法浮起,那么,應如何確定漏斗質量呢?

圖5 圖6

解析:由于該問題與例2給出的問題相似,但條件不同,在不考慮漏斗細管的截面積的情況下,我們可以建立跟例2解法相似但又略微不同的物理模型．如圖6所示,取一個底面半徑為R,高為3h/2的圓柱體,在下面挖去一個底面半徑為R,高為h的圓錐(如果考慮細管的截面積,可在圖6的上部再挖去一個跟細管截面積相同的圓柱體即可),將物體放入水中,且使其上表面與水面相平,仿照例1和例2的解法,有

所以,漏斗質量為

上面給出的幾個例子,漏斗的水平截面積大小隨高度的增加而單調減小,水對漏斗內側各面積元壓力在豎直方向上的分力方向均向上．那么,除此之外的情形,該方法還適用嗎?再看漏斗截面積隨高度不是單調變化的情形．

圖7 圖8

解析:建立如圖8所示的物理模型——取一個底面半徑為R,高為h的圓柱體,在圓柱體的底部挖去一半徑為R,高為h并與圓柱體的上表面相切的球缺,將挖去球缺后的剩余部分放入水中,使其上表面與水面相平.

圖9

本問題與例1給出的問題看似一樣,其實并不同,開口朝下的球缺狀漏斗裝滿水時,其內表面各面積元所受水的壓力,方向不全是向上的,在過球心的水平面之下的部分,內側面各面積元所受水的壓力方向傾斜向下,所以,我們有必要將圖8所示的物理模型分成兩部分,綜合進行豎直方向上的受力分析(單分析水對各部分壓力的合力).

如圖9所示,過球缺的球心O作水平面,將物體分成上下兩部分,設在豎直方向上水對上半球壓力的合力為F1(合力方向豎直向上),水對下部分向下和向上的壓力的合力分別為F2和F3(合力方向均為豎直方向．由于對稱,水對物體水平方向上的壓力,合力為0,所以不再考慮)．則,水對物體的浮力大小為(F1+F3-F2)

因為F1+F3-F2=G排,

所以F1-F2=G排-F3=ρgπR2h-

所以,圖5中,漏斗的重力等于水對球缺狀漏斗豎直向上的作用力,其大小為

因此,漏斗質量大小為

1 張大同,彭大斌.物理競賽教程(第四版)[M].上海:華東師范大學出版社,2012:275-276.