采用Melnikov方法的齒輪傳動系統的分岔及混沌分析

周 杜，樂 源

(西南交通大學 力學與工程學院， 成都 610031)

齒輪機構被廣泛應用于機械系統當中，是機器產生振動和噪音的主要來源之一，所以對齒輪系統振動特性的研究具有重要的理論及現實意義。國內外許多學者[1-3]對齒輪系統的非線性特性進行了大量的研究，結果表明：系統表現出了豐富的動力學特性，如分岔和混沌。王建軍[4]深入研究了系統參數振動的主要特征。唐進元[5]利用圖胞映射方法對單自由度非線性齒輪系統進行了全局特性分析。蘇程[6]研究了單對齒輪系統隨參數變化時的頻響規律。衛一多[7]考慮了摩擦作用下周期雙參變激勵齒輪系統。王曉筍[8]對含磨損故障的齒輪傳動系統進行了非線性動力學特性研究。李應剛[9]利用增量平衡法研究了外部動態激勵作用下齒輪系統的動力學響應。A.Farshidianfar[10]利用Melnikov方法對非線性齒輪系統中混沌狀態進行了解析預測和控制。

本文考慮了含齒側間隙、時變嚙合剛度和綜合嚙合誤差等因素下的單自由度齒輪傳動模型，以分岔與混沌作為非線性現象的分析手段，在文獻[10]的基礎上利用Melnikov方法對系統同宿軌線出現分岔及馬蹄混沌[11]的參數區域進行預測，給出系統隨參數變化的最大李雅普諾夫指數圖。結合相軌線、龐加萊截面對系統的動力學響應進行分析，并和Melnikov方法預測的系統出現同宿分岔和混沌的參數區域進行對比。

1 含間隙齒輪傳動模型

圖1 齒輪副動力學模型

如圖1所示，單對齒輪間隙非線性動力學模型考慮了時變剛度、齒側間隙、粘彈性阻尼和外部激勵力等因素，不考慮齒輪傳動時的橫向運動，其運動只有扭轉運動。不考慮運動時由支承軸承所產生的摩擦的影響。其中：θi(i=1,2)為主被動齒輪的扭轉角位移；Ii(i=1,2)為主被動齒輪的轉動慣量；rbi(i=1,2)為主被動齒輪的基圓半徑；c為齒輪副的嚙合阻尼；e(τ)為齒輪嚙合綜合誤差；k(τ)為齒輪副的嚙合綜合剛度；Ti(i=1,2)為作用在主被動齒輪上的轉矩；mi(i=1,2)為主被動齒輪的質量。

利用牛頓定律可得到系統的運動微分方程：

(1)

引入齒輪嚙合線的相對位移坐標x=rb1θ1-rb2θ2-e(τ)，將式(1)中的方程組化簡得到系統的相對扭轉方程：

(2)

(3)

間隙分段線性函數為：

(4)

若剛度和嚙合綜合誤差均取1階諧波分量，則有：

(5)

(6)

2 Melnikov分析

Melnikov方法可用來解析地判定擬哈密頓系統出現Smale意義上的混沌。如果一個Hamilton系統存在同宿或異宿軌道，考慮弱的周期性擾動，使其對應的周期軌道的不動點的穩定流形和不穩定流形分裂，可用Melnikov積分來判定兩流形之間的距離。如果這個距離有簡單的零點，則可判定系統存在Smale馬蹄意義上的混沌。本文將通過引入小參數ε構造出擬Hamilton系統，并用Melnikov方法進行求解。

(7)

(8)

其中a=c=0.166 7。令ε=0，獲得對應的Hamilton系統的同宿軌道為

(9)

(10)

(11)

將式(10)代入式(11)得：

(12)

整理可得：

(13)

如果M±(t0)具有簡單零點，則系統的穩定流形和不穩定流形橫截相交，即方程(8)存在Smale馬蹄意義上的混沌。

3 數值模擬

令M±(t0)=0，取fe為控制參數。依據Melnikov函數理論，系統產生混沌的必要參數條件為：

(14)

(15)

固定參數值ε=0.01，ωh=1，k1=6，fm=10，可將式(14)(15)寫為：

fe(1)>2.345ζ1+1.1555

(16)

fe(2)<-2.345ζ1-1.1555

(17)

由式(16)(17)得到兩條分界線L1、L2如圖2所示。當系統參數取分界線L1上方的區域A2或者分界線L2下方的區域A3時，系統同宿軌線發生橫截相交，將出現馬蹄混沌；當位于分界線L1、L2所夾的A1區域時，系統為周期運動。

圖2 系統同宿軌出現馬蹄混沌的參數區域

對于一個系統是否出現混沌，目前一個公認的標準就是系統的李雅普諾夫指數。總體來說，李雅普諾夫指數是系統任意相鄰軌線平均發散或收斂程度的一種度量，是目前判斷混沌運動最可靠的一種定量的方法。本文將在Jacobi方法[12]的基礎上，直接利用李雅普諾夫指數的定義，計算系統的最大李雅普諾夫指數及第二李雅普諾夫指數，并將計算的結果與龐加萊截面進行比較。

為驗證上面的分析結果，將式(3)轉化為狀態方程：

(18)

其中，

(19)

圖3 內部誤差激勵力

圖4 內部誤差激勵力

圖5 內部誤差激勵力

圖6 內部誤差激勵力

圖7 內部誤差激勵力

圖8 內部誤差激勵力

圖9 內部誤差激勵力

圖10 內部誤差激勵力

圖11 系統隨內部誤差激勵力變化的分岔圖和李雅普諾夫指數圖

4 結束語

利用Melnikov方法對單自由度齒輪系統同宿軌線出現分岔及馬蹄混沌的參數區域進行了預測。利用變步長Runge-Kutta法對系統進行了數值求解，給出了系統隨內部誤差激勵力變化的分岔圖以及最大李雅普諾夫指數圖，并結合相軌線、龐加萊截面分析了內部誤差激勵力變化時系統復雜的動態響應。

Melnikov方法預測的系統出現同宿分岔及馬蹄混沌的參數區域和數值模擬的結果基本吻合，表明在一定的參數范圍內，隨著內部誤差激勵力的變化，系統通過倍化分岔進入混沌運動。

在工程實際當中，結合系統同宿軌線出現分岔及馬蹄混沌的參數區域，選擇合適的參數取值范圍能有效地控制系統的碰撞行為，使其不會產生混沌激勵，確保齒輪系統保持穩定運行狀態，減少對齒輪機構的磨損，保障齒輪系統更加安全有效地工作。

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