方程（組）中考熱點追蹤

柏黎平

在初中數學的學習中，方程（組）占有重要的地位，它們是解決數學實際問題的基本模型.因此中考會重點考查，其所占分值較大，除單一知識點考查外，也會與其他知識相結合考查.下面將近兩年各地中考題中有關方程（組）的問題追蹤歸類，同學們可以參考使用.

考點一：方程根（解）的意義

例1 （2017·菏澤）關于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一個根為0，則k的值是 .

【解析】把x=0代入原方程，得關于字母k的一元二次方程k2-k=0，解得k=1或k=0，考慮到二次項系數不為0，因此k=0.

例2 （2017·南京）已知關于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，則p= ，q= .

【解析】分別將-3和-1代入方程，得到關于p和q的兩個二元一次方程，組成方程組即可求得p=4，q=3.當然本題也可以利用一元二次方程根與系數的關系求解.

【復習指導】所謂方程的根，即使方程兩邊相等的未知數的值.凡此問題均可直接將已知的未知數的值代入方程，得到關于所求字母的方程，求解即可.此類問題考查時都是基礎問題，屬必得分項目，只要不馬虎，一般都不難解決.

考點二：直接解方程（組）

例3 （2016·臺灣）若二元一次聯立方程式[2x+y=14， ①-3x+2y=21 ②]的解為x=a，y=b，則a+b之值為何？（ ）.

A.[192] B.[212] C.7 D.13

【解析】本題可以有兩種方法解決，第一種方法：可以先用加減消元法解出方程組的解為[x=1，y=12，]再代入求得a+b=13；也可由①得y=14-2x，再代入②消元為關于x的一元一次方程求解.

【復習指導】直接解方程（組）主要包括一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程和分式方程.中考大多放在解答題的前幾題，考查他們的解法.解方程（組）是利用方程解決問題的基本技能，同學們務必要掌握這幾種主要方程（組）的解題思路和解題方法.轉化思想在解方程時最為重要，將復雜的不會解的方程通過數學方法轉化為簡單會解的方程：多元方程組可通過加減和代入兩種方法轉化為一元方程；分式方程通過去分母向整式方程轉化；二次方程可以通過因式分解向一次方程轉化；無理方程可以通過兩邊平方向有理方程轉化.另外在解分式方程時因為容易產生增根，要特別注意，檢驗是必要步驟.

考點三：一元二次方程相關知識

例4 （2017·蘇州）關于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個相等的實數根，則k的值為（ ）.

A.1 B.-1 C.2 D.-2

【解析】一元二次方程根的情況由根的判別式來判斷.根據一元二次方程有兩個相等的實數根，可得Δ=0，即（-2）2-4k=0，解得k=1，故答案選A.

例5 （2017·鹽城）若方程x2-4x+1=0的兩根是x1，x2，則x1（1+x2）+x2的值為 .

【解析】先根據根與系數的關系得到x1+x2=4，x1x2=1，然后把x1（1+x2）+x2展開得到x1+x2+x1x2，然后利用整體代入的方法計算即可得答案5.

【復習指導】一元二次方程的根的判別式和根與系數關系（韋達定理）也是近兩年的高頻考點，不過大多情況出現在填空題和選擇題中，只考查其簡單應用，同學們只要掌握其基本結論即可.

考點四：方程（組）在實際問題中的應用

例6 （2017·揚州）星期天，小明和小芳從同一小區門口同時出發，沿同一路線去離該小區1800米的少年宮參加活動，為響應“節能環保，綠色出行”的號召，兩人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，結果小明比小芳早6分鐘到達，求小芳的速度.

【解析】本題中的等量關系是：小芳用時-小明用時=6.因此設小芳的速度是x米/分鐘，分別用含x的代數式表示小明用時和小芳用時，即可列出方程：[1800x]=[18001.2x]+6，解得x=50，經檢驗x=50是原方程的解，答略.

例7 （2017·瀘州）某校為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種規格的書柜放置新購置的圖書，調查發現，若購買甲種書柜3個，乙種書柜2個，共需要資金1020元；若購買甲種書柜4個，乙種書柜3個，共需資金1440元.

（1）甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元？

（2）若該校計劃購進這兩種規格的書柜共20個，其中乙種書柜的數量不少于甲種書柜的數量，學校至多提供資金4320元，請設計幾種購買方案供這個學校選擇.

【解析】第（1）小題有兩種不同計算方法造成的兩個等量關系，需求兩個未知量.設甲、乙兩種書柜每個的價格分別是x元和y元，可列方程組[3x+2y=1020，4x+3y=1440，]解得[x=180，y=240，]答略.第（2）小題涉及兩個不等關系式，所以用不等式（組）解決.設甲種書柜購買m個，則乙種書柜購買（20-m）個，由題意得：[20-m≥m，180m+24020-m≤4320，]解得：8≤m≤10.因為m取整數，所以m可以取的值為：8、9、10，故有三種可選方案，答略.

【復習指導】用方程（組）解決實際問題考查的是同學們的數學應用能力.此類問題近幾年在江蘇中考中出現的頻率很高，比較多見的是行程類問題和經濟利潤類問題，主要以考查列二元一次方程組和用分式方程解決問題為多.解決問題的關鍵在于兩個方面：讀懂題意并找出題中的等量關系，設合適的未知數并用未知數表示出等量關系中的相關數量.其中更為重要的是用含未知數的代數式表示題中的相關數量，因為等量關系就是一個等式，一旦用含x的代數式表示出等式中的數量，那么方程（組）就能較為輕松地列出了.

考點五：方程（組）與其他知識的綜合運用endprint

例8 （2017·連云港）設函數y=[3x]與y=-2x

-3的圖像的交點坐標為（a，b），則[1a]+[2b]的值是 .

【解析】函數圖像問題與方程（組）有著密切聯系，本題前半個題目翻譯成方程語言則是：已知方程組[y=3x，y=-2x-3]的解為[x=a，y=b.]于是可以將a、b代入方程得[b=3a，b=-2a-6，]整理得[ab=3，2a+b=-6，]將所求代數式通分得[1a]+[2b]=[2a+bab]，整體代入得-2.

例9 （2017·青島）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如圖1擺放（點P與點B重合），點F，B（P），C在同一條直線上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°.如圖2，△EFP從圖1的位置出發，沿BC方向勻速運動，速度為1cm/s；EP與AB交于點G.同時，點Q從點C出發，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s.過Q作QM⊥BD，垂足為H，交AD于M，連接AF，PQ，當點Q停止運動時，△EFP也停止運動.設運動時間為t（s）（0

（1）當t為何值時，PQ∥BD？

（2）設五邊形AFPQM的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S五邊形AFPQM∶S矩形ABCD=9∶8？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（4）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點M在PG的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

【解析】本題是一個較為復雜的動點問題，考查的知識點眾多，但方法較為明確：圖中所有的線段除已知的，其他線段的長都可以用含t的代數式表示出來，然后根據題意列出相應的方程或函數即可求解.第（1）題先用含t的代數式表示PC、CQ的長，再利用△CPQ∽△CBD對應邊成比例構造方程即可得解t=[247]；第（2）題同樣先用含t的代數式表示△ABF、矩形ABCD、△CPQ和△DMQ的面積，再利用面積的和差關系即可求得y=[18]t2-[52]t+[1172]；第（3）題利用（2）中表達式和S五邊形AFPQM∶S矩形ABCD=9∶8列出一元二次方程[18]t2-[52]t+[1172]=54，解得t1=2，t2=18（舍去）；第（4）題作MN⊥BC，構造矩形MNCD，根據AG2+AM2=PN2+MN2，用含t的代數式表示涉及線段，即可構造關于t的方程[6-34t2]+[34t+722]=[72-t42]+62，求解得t1=0（舍去），t2=[3217].

【復習指導】從上面的兩個問題我們可看出，綜合性問題有起點不高、要求較全面的特點，許多綜合題常常以不同的問題背景，需用含字母的代數式表示題中的相關數量，然后利用題中的等量關系，最終劃歸為構造方程求解.主要構造方程模型的情況有：代數型問題以函數、實際應用題等形式構造方程（組）；幾何型問題主要以基本圖形為背景結合勾股定理、相似三角形對應邊成比例、三角函數等知識構造方程.而許多問題一旦從方程的角度思考，建立方程模型去解決問題，往往就容易理解了.當然在解決綜合性問題的過程中還不能忘記初中數學中最重要的數學思想方法，如：數形結合、分類討論和幾何運動變化等數學思想.

（作者單位：江蘇省太倉市雙鳳中學）