商品定價與選購優化模型的對比分析

高曉巍

摘?要：商品的定價與選購是經濟問題中常見的兩類問題。隨著經濟的快速發展，這兩類問題所涉及的現實要素也日益復雜，引入優化模型是解決此類問題的有效途徑。本文從建模的數學理論入手對兩類模型展開對比分析，有利于模型的進一步優化，更好地適應經濟發展的實際需要。

關鍵詞：優化模型;選購優化問題;商品定價問題

中圖分類號：F714.1??????文獻標識碼：A??????文章編號：1008-4428（2018）12-0005-03

一、 引言

隨著科技的發展和社會的進步，人們開始追求更優質的生活方式，無論是工業生產、農業種植、商業決策還是交通運輸都會遇到各種各樣的優化決策問題，合理建立優化模型是解決現實問題的有效途徑。

在云南滇池流域水污染問題中，昆明市委通過構建流域水文水質數學優化模型和湖體水質水動力數學優化模型對這一流域污染負荷總量和湖體水質響應進行預測，加強解決管理的效率，同時優化環境治理的解決方案，為地區的可持續性發展提供了有效指導;李智群將數學優化模型引入到我國的傳統的茶葉種植勞動中，解決了茶葉的品質評估計量和優化;周博等人通過引入數學優化模型，采用定量計算與定性分析結合的方式實現了動車組資源的有效利用，由此可以看出優化模型的建立研究與我們的生活息息相關。

二、 優化模型數學基礎

優化模型是指以達到優化的目的為目標而建立的數學模型，對于不同的實際問題建立不同的優化模型。從數學建模的理論基礎主要可分為如下三種形式：

（一）線性規劃的標準形式

minz=f（x）

s.t. g（x）≤0（i=1，2，…，m）

其中目標函數f（x）和約束條件中g（x）都是線性函數采用的方法：單純性法。

Matlab函數：linprog（）

（二）非線性規劃的標準形式

min=f（X）

s.t. gi（X）≥0?i=1，hj（X）=0?j=1

X=（x1，x2，…，xn）T∈En，f，gi，hi是定義在En上的實質函數，簡記：

f：En→El，gi：En→El，hj：En→El。

（三）整數規劃的一般形式

minz（maxz）=∑nj=1cjxj

∑nj=1aijxj=bi（i=1，2，…，m）xj≥0（j=1，2，…，n）且部分或全部為整數

根據決策變量取整的條件不同，整數規劃可以分為四類，第一類：0-1整數規劃，全部的決策變量只有兩個選擇0、1，它在整數規劃中占據非常重要的地位，分枝定界法是用來求解0-1規劃的最常用的一種方法。第二類：純整數規劃，這類整數規劃的決策變量需要取非負數。第三類：全整數規劃，在純整數規劃的基礎上系數和常數也要取整數。第四類：混合整數規劃，這種規劃方法分兩部分，一部分取非負整數，一部分取可以取非負實數。

三、 商品定價與選購優化模型分析

（一）商品定價問題

在生產經營領域，廠商均要考慮在生產鏈條中合理利用資源獲取經濟利益的最大化，實現企業的長期穩定發展，保持不敗的競爭力。合理制定產品的價格就是其中的一個要素。產品最優價格制定模型是經濟學中比較典型的一個優化模型。

1. 商品定價模型

假設：產品的銷售量與產品的價格相關，產品的成本與產品的產量相關。

設每件產品的價格為p，每件產品成本用c來表示，銷售量用x表示，總收入用I表示，總支出用C表示，利潤為R，利潤=銷售收入-成本支出，總收入和總支出可以表示為

I=px?C=cx

銷售量x是價格p的函數，表示為x=f（p）; f為需求函數。

成本c是銷售量x的函數，表示為c=φ（x）;φ為成本函數，利潤R可以表示為

R（p）=I（p）-C（p）

I（p）=pf（p）?C（p）=φ（x）f（p）=φ{f（p）}f（p）

R（p）=I（p）-C（p）=pf（p）-φ{f（p）}f（p）=f（p）（p-φ{f（p）}）

由一元函數取極值的條件知，當dRdp=0得到的價格p就是最優價格p*，即使利潤R（p）達到最大時的最優價格p*=p。

2. 模型的求解

dIdp表示邊際收入，dCdp表示邊際支出，當dIdp=dCdp時利潤達到最大。

設需求函數為簡單的線性函數，f（p）=m-np（m，n>0）;

設成本函數為φ（x）=α+1/（βx+γ）（α，β，γ>0），其中，α表示最低成本，β表示產品數量增加或減少的幅度，γ為調節常數，即產品的最大成本為（α+1/γ）。

R（p）=I（p）-C（p）=f（p）（p-φ{f（p）}）

=（m-np）p-α-1β（m-np）+γ

=（m-np）p-α-1βm+γ-nβp

由dR（p）dp=0得，

nβp-（2nβγ+2mnβ+nβα）p+（γ+2mβγ+mβ+2mnβα+2nβαγ）p-α（γ+βm）γ=0

得出的方程是一個關于p的三次方程，其中m、n、α、β和γ在已知的條件下即可以求出價格p，即最優價格p*=p。在實際問題的研究中，m和n由價格和銷售量的數據是通過用最小二乘法擬合來確定的。α、γ是已知的常數，β根據產量得出，所以就可以得到最優價格。

3. 模型應用

設某種商品銷售中的市場需求函數為

f（p）=3-p4

在銷售的過程中商品因受到擠壓碰撞等會有損失，每件商品的成本隨產品數量增減的變化幅度是0.03，調節常數為2，商品的最低成本為5。

設成本函數為φ（x）=α+1/（βx+γ）

由題知α=5，β=0.03，γ=2

R（p）=I（p）-C（p）=f（p）（p-φ{f（p）}）

=（m-np）p-α-1β（m-np）+γ

=（m-np）p-α-1βm+γ-nβp

由dR（p）dp=0得，

nβp-（2nβγ+2mnβ+nβα）p+（γ+2mβγ+mβ+2mnβα+2nβαγ）p-α（γ+βm）γ=0

由題知需求函數為f（p）=3-p/4，則m=3，n=1/2

12×0.03p-2×12×0.06+2×32×0.03+12×0.15p+（2+2×0.18+0.09+2×32×0.15+0.3）p-5（2+0.09）2=0

p≈6.99，即p*=p=6.99。

通過模型的分析與求解，該商品定價為6.99元時，商家可獲得最大利潤。

（二）商品選購問題

一般情況下，在商品價格及消費者收入一定的條件下，消費者在商品選購中用無差異曲線來描述其對兩種商品的偏好和滿意程度，實現資金的合理分配。

1. 商品選購模型

假定消費者的收入水平是不變的，市場中的商品的價格已知，消費者購買商品，則它的邊際效用與價格之比相等。

記消費者的既定收入是C，要購買2種商品。用x1，x2分表來表示2種商品的數量，消費者的滿意程度是x1，x2的函數，U（x1，x2）=m（m為常數），這在經濟學中稱為效用函數。

如圖1所示U（x1，x2）=m的圖像是無差異曲線，在同一條無差異曲線上，對于不同的x1，x2，效用函數值總是相同，商品對消費者的效用增加或減少可以通過曲線向右上方或左下方移動表明，消費者對兩種商品的偏愛程度則可以通過曲線的彎曲程度來表示。

假定有兩種商品，它們的價格分別為p1、p2，消費者有C元，消費者選擇什么樣的方法用C元購買兩種商品使得效用U（x1，x2）最大，即經濟學中的消費者均衡。

消費者購買兩種商品的花費分別為p1x1、p2x2，因此消費者最優購買問題就是在p1x1+p2x2=C的條件下求p1x1p2x2使得 U（x1，x2）得最大值。根據數學計算知最優解應滿足Ux1Ux2=p1p2。

2. 模型求解

當U（x1，x2）給定的條件下，上式可確定最優比例p1x1p2x2。假定效用函數

U（x1，x2）=xa1xb2

U/x1U/x2=axa-11xb2bxb-12xa1=ax2bx1=p1p2

p1x1p2x2=ab

當消費者收入水平不變時，商品的價格已知，消費者購買商品時商品的邊際效用與價格之比相等，滿足p1x1p2x2=ab，就能使得U（x1，x2）得最大值。

3. 模型應用

假設消費者的固定收入是5000元，要用來全部進行購買2種商品A、B。我們用x1，x2是購買2種商品A、B的數量，U（q1，q2）=x31x22，兩種商品的價格分別為100元、50元，消費者選擇什么樣的最優購買方式購買兩種商品A、B使得效用U（x1，x2）最大？

購買兩種商品用的花費分別為100x1、50x2，在100x1+500x2=5000的條件下求100x1/50x2的值，使得U（x1，x2）得最大值。

根據數學計算知最優解應滿足

Ux1Ux2=10050=2

已知U（x1，x2）=x31x22

Ux1=3x21x22

Ux2=2x12x31

U/x1U/x2=3x21x222x12x31=3x22x1=10050=2

2x1x2=32

x1x2=34

設購買B種商品的數量為x

100×34x+50x=5000

x=40

購買商品A、B的表數量比為3∶4時，即購買A的數量為30，購買B的數量為40時使得效用U（x1，x2）最大。

四、 結論

在經濟領域中，優化模型的引入有效地解決了很多棘手的問題，但同時，隨著經濟的進一步發展，各類復雜的問題相繼不限，在問題的解決過程中不得不在原有模型的基礎上進行優化和推廣，使得模型的建立與求解更加符合實際需要，因此，其已成為不斷學習研究的關鍵。

參考文獻：

[1]李智群.論數學優化模型在茶葉品質估算誤差分析中的應用[J].福建茶葉，2017（6）：14.

[2]周博，李文.動車組運用方式的數學優化模型分析[J].智能信息技術應用，2010（11）：288-291.

[3]楊能良，黃鵬.教育扶貧——我國扶貧的財政學思考[J].福建財會管理干部學院學報，2002（1）：14-15.

[4]陳守煜.梯級水電站工作深度優選的模糊非線性規劃模型[J].水電能源科學，1986（1）：18.