光學三維掃描儀光強傳遞函數的測量和校正

張 旭，邵雙運，祝 祥，宋志軍

(北京交通大學 理學院，北京 100044)

1 引 言

光學三維測量是光學(Optics)、微電子學(Microelectronics)、信息學(Informatics)以及應用數學(Applied Mathematics)等學科交叉發展和融合的成果[1]。光學三維輪廓測量技術具有非接觸、高分辨率、無破壞、數據獲取速度快等優點[2]。因此，光學三維輪廓測量技術在機器視覺、自動加工、工業在線檢測、產品質量控制、實物仿形、生物醫學等領域具有重要意義和廣闊的應用前景。利用光學三維測量技術，獲取三維面形信息的測量方法基本可以分為兩大類：被動三維傳感和主動三維傳感[3]。典型的主動三維傳感方法有飛行時間法、光學三角法和相位測量法等。根據相位檢測方法的不同，相位測量法主要分為莫爾輪廓術(Moire Topography,MT)、傅里葉變換輪廓術(Fourier Transform Profilometry，FTP)和相位測量輪廓術(Phase Measuring Profilometry，PMP)。

相位測量輪廓術是采用正弦光柵投影和相移技術相結合的一種方法[4-5]。相移(Phase Shifting或Phase Step，PS)法是相位檢測技術的重要方法。將規則光柵圖像投射到三維漫反射被測物表面，從另一角度可以觀察到由于受物體高度的影響而引起的條紋變形。通過計算被測物表面某點的相位值，再根據此相位值就可計算出該點的高度值。因此相位計算的準確性直接影響了高度計算的準確性[6]。

由于測量系統非線性響應的存在，變形條紋中會出現高次諧波，這將導致計算所得的相位中出現周期性的變化，對高度測量結果帶來較大的誤差[7-8]。因此必須對測量系統進行非線性校正，減少高次諧波帶來的誤差。Guo等人提出一種適用于數字條紋投影輪廓術的伽瑪校正技術[9]。該技術基于條紋圖像的統計分析，由條紋圖像的歸一化累積直方圖來估計伽瑪值，再通過設定γ常數生成待投射的數字光柵，從而校正這種輸出光強與驅動信號之間非線性關系。Cao等人提出一種基于數字微鏡(Digital Micromirror Device，DMD)的相位輪廓測量系統的非線性校正技術[10-11]。為獲得投影系統的光強傳遞函數，在同一幀投影條紋圖像上由計算機編碼產生0到255的線性的灰度級，并由CCD圖像傳感器采集，在將采集到的圖像光強與輸入的光強比值為該系統的光強傳遞函數ITF，并以查找表的方式隱式存入計算機。投影的光柵在理想平面上試探性的設置一個預期的正弦光場，然后將光場以像素單位離散化，通過查找表，找出對應該像素單元的輸入灰度值，若輸入輸出灰度級具有一一對應的關系，則對該輸入灰度進行編碼，其輸出就是正弦光場分布。

上述兩類校正技術均采用有限的幾幀圖像估計投影系統的強度傳遞參數，Guo的方法需要不斷地進行迭代，進行伽瑪估計和相位評估，最終得到實際的伽瑪值；Cao的方法用灰度連續分布的一幀圖像求解整個系統的全局灰度曲線，由于投影系統各部分的響應并不完全一致，不可避免地會帶來參數估計誤差。

本文采用光強傳遞函數來描述光強信號的傳遞過程，通過逐一投射不同灰度的圖像，分析投影系統輸入灰度級與輸出亮度之間的對應關系，測量出系統的光學強度傳遞信號，分析其非線性效應，基于反函數變換得到系統的光強傳遞函數的校正函數，利用該校正函數計算輸入光柵圖像并投射，提高了光學三維掃描儀的測量精度。

2 投影系統光強傳遞函數的測量與校正

2.1 三維掃描測量系統

本文所用的光學三維掃描測量系統原理如圖1所示，系統由一臺LCD投影儀，一臺CCD攝像機，一塊標準平板和一臺計算機構成。

圖1 光學掃描儀系統結構圖 Fig.1 Structure of optical profilometry system

測量時，計算機控制投射裝置(LCD投影儀)按照測量需求投射光柵條紋，CCD攝像機采集參考面上的條紋圖和被測物表面的條紋圖，由計算機處理這些條紋圖，從中抽取出相位信息，并由相位與高度關系恢復出物體高度。

2.2 投影系統光強傳遞函數的校正

投影系統的光強傳遞函數的校正過程如圖2所示，校正過程分兩大步驟：(1)輸入線性光強信號，投影儀投射到光屏的信號為非線性信號，用光功率計接收投出的信號，再經過歸一化和擬合處理后，得到投影系統的光強傳遞函數即投影系統的輸出輸入關系函數；(2)對得到的光強傳遞函數進行逆運算，求其反函數，得到輸入輸出關系函數，當輸出為0到1的線性輸出時，求解輸入信號大小，最后根據輸入信號函數得到待投射的光柵圖像。

圖2 光強傳遞函數校正流程 Fig.2 ITF′s calibration process

在本文實驗中，編程生成256張16 bit的灰度圖片，灰度從0變化到255，以255為間隔等距抽樣，再將灰度圖像通過LCD按順序投射出來，形成一個線性的數字輸入信號。利用光功率計測量LCD投影儀輸出的光強信號，得到LCD投影儀的光強傳遞函數的測試曲線[12]，具體數字信號的傳遞過程如圖3所示。

圖3 信號傳遞過程示意圖 Fig.3 Signal transfer process

通過光功率計測得的LCD投影儀的光強傳遞函數曲線如圖4所示。

圖4 數字投影系統歸一化光強傳遞函數曲線 Fig.4 Normalized ITF curve of digital projection system

可以看出，對于計算機輸入的線性變化的光強信號，光功率計接收到的信號的光功率曲線不是線性變化的，這說明LCD投影儀具有非線性輸出的響應特性，因此，如果直接對LCD投影儀輸入標準的正弦光柵信號，由于LCD投影儀光強傳遞函數的影響，輸出的信號將不再是標準的正弦型光柵信號。

對圖4信號進行高階擬合，可得公式:

P=-0.454 6x4+1.002 2x3+

0.443 5x2+0.083 1x-0.010 3

對上式做反函數變換，可得到輸入輸出關系函數。其輸出值在(0,1)之間的數值解如表1所示，所得反函數曲線如圖5所示。該圖表示當投影儀的輸出為線性變化，即輸出值為(0,1)之間線性變化，其輸入的灰度變化情況。該函數曲線即為投影儀的光強校正函數曲線。

表1 反函數數值解表

圖5 反函數曲線(即 ：數字投影系統光強校正函數曲線) Fig.5 Inverse function curve(namely ITF′s calibration curve of digital projection system)

3 實驗驗證

3.1 校正效果驗證

本文采用兩種方法驗證了提出的校正方法的有效性。

(1)利用校正函數生成一組預期輸出為線性光強分布的256張灰度圖片，輸入的灰度變化如圖5所示，經投影系統投射，再利用光功率計接收，得到輸出的光強曲線，歸一化處理后得到圖6所示光強分布，可以看出，經過校正后，LCD輸出的灰度等級為線性。

圖6 校正后LCD投影儀線性輸出 Fig.6 Linear output of LCD projector after calibration

(2)利用實驗獲得的數字投影儀光強傳遞校正函數對輸入的正弦信號進行校正，得到輸入的非正弦光柵圖像，如圖7(b)所示，再用LCD投影儀投影，用相機拍攝投影的條紋，得到輸出信號，并與不經過校正的原始正弦光柵輸出進行比較。結果如圖7所示。

由圖7可以看出，未經過校正時，用投影儀投射，則光功率計接收到的正弦光柵信號發生形變，上小下大，不是標準正弦信號。經過校正后，光功率計接收到的正弦光柵信號接近標準。為了分析信號的正弦性，對圖信號分別做傅立葉變換，結果如圖7(e)、7(f)所示。對于校正前輸入的正弦信號，只含有基頻，不含有高次諧波，投到待測平面上，接收到的信號中出現了明顯的二次諧波和其它高次諧波；對于校正后的正弦輸入信號，其輸出信號的高次諧波被有效抑制，從而降低了系統非線性響應所帶來的高次諧波誤差。

圖7 灰度校正結果 Fig.7 Gray level calibration results

3.2 實物測量

為進一步說明校正的效果，采用等間隔滿周期算法(正弦光柵20像素，5步相移算法)構建三維測量軟件。測量系統利用校正前的光柵和校正后的光柵分別進行標定，然后分別測量標準平板和標準量塊，比較測量結果的差異。

3.2.1 標準平板的測量

將標準平板垂直于測量系統CCD的光軸方向放置，用精度為10 μm的精密移動平臺帶動平板沿CCD光軸方向進行平移，每次移動20 mm，共移動8次，得到9個平面位置。保證測量環境不變的情況下，在9個位置點分別投射校正前和校正后的正弦光柵，求出相應位置處的高度值，和標準移動距離比較計算誤差，其結果如表2和圖8所示。

表2標準平板測量結果

Tab.2Measurementresultsofstandardpanel(mm)

123456789標準020406080100120140160校正前0.1118.6739.1659.3379.50101.02119.35138.84160.10誤差0.111.330.840.670.501.020.651.160.1校正后-0.2921.2239.7360.0879.86101.05119.17140.89160.22誤差0.291.220.270.080.141.050.830.890.22

圖8 誤差對比 Fig.8 Error comparison

由表1和圖8可知，校正前的平均絕對誤差為0.71 mm，校正后的平均絕對誤差為0.55 mm，部分位置誤差偏大的原因，初步分析是由于電動平移臺的控制誤差以及待測平板與移動方向不垂直造成的。

3.2.2 標準量塊的測量

對厚度均勻的標準塊用游標卡尺測量兩個臺階平面的厚度，其厚度差作為這兩個面的高度差，取其平均值12.20 mm作為量塊厚度的真值。在同樣條件下，三維測量系統采用校正前的光柵和校正后的光柵對標準塊分別進行測量，結果如表3所示, 測量精度提高了3.75%。

表3 標準量塊測量結果比較

3.2.3 小結

前述兩個實驗結果明顯表明，經過校正后的測量系統位置測量精度高于校正前的測量精度，標準量塊的校正后的測量結果優于校正前的測量結果，說明本文提出的光強傳遞函數校正方法可以有效提高測量系統的測量精度。校正后，用該測量系統對實際物體進行測量，其測量精度優于校正前的測量精度，充分證明了該方法在實際測量中的有效性。

4 結 論

本文提出了一種新的光學三維測量系統數字光柵投影儀的光強傳遞函數測量和校準方法，首先測量了數字投影儀輸入灰度級與輸出亮度之間的非線性關系。對于輸入的線性信號，測得光柵投影儀在線性輸入下的光強傳遞函數，并利用逆向變換求得光強傳遞校正函數，以此校正了數字投影儀的光強傳遞函數的非線性。Guo等人提出的方法需要不斷的進行迭代，以求得實際伽瑪的值。Cao等人提出的方法，由于投影系統各部分響應不完全一致，容易造成參數估計誤差。本文提出的方法只需對投影系統的光強傳遞函數進行校正，進而即可校正數字投影儀的非線性響應，方法具有簡便性和適用性。對于標準平板的測量，校正前平均誤差為0.71 mm，校正后平均誤差為0.55 mm,對于標準量塊測量，校正前誤差為0.62 mm，校正后誤差為0.15 mm，測量精度提高了3.75%。實驗結果證實了校正方法的有效性。

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