復雜動態網絡指數采樣同步控制

陳剛，王信，肖伸平，羅昌勝

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復雜動態網絡指數采樣同步控制

陳剛1, 2，王信1, 2，肖伸平1, 2，羅昌勝1, 2

(1. 湖南工業大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲，412007； 2. 電傳動控制與智能裝備湖南省重點實驗室，湖南 株洲，412007)

利用Lyapunov?Krasovskii泛函方法以及線性矩陣不等式方法，研究具有時變時滯復雜動態網絡的指數采樣同步控制問題。首先，建立包含更多時滯信息以及采樣間隔信息的Lyapunov?Krasovskii泛函，運用更優積分不等式方法處理泛函導數中的積分二次型項，獲得一種新的保證誤差系統指數同步的穩定性判據。其次，基于此判據設計保證系統同步穩定的采樣控制器。仿真結果表明：所得判據具有更小保守性，且采樣控制器可行。

Lyapunov-Krasovskii泛函；復雜動態網絡；指數采樣同步控制

復雜動態網絡(complex dynamic networks，CDNs)其實質是一種內節點的集合。其中各個節點對應確定的動態網絡，而邊緣連接線則代表網絡之間的聯系。近10年來，復雜動態網絡受到人們極大關注，并且已經廣泛地運用于實際系統如互聯網、萬維網、生態鏈、社交網絡、電力系統網絡、神經網絡等中[1?3]。在眾多網絡動態行為中，同步性是一種典型的集體行為。而在人們的日常生活中，同步現象隨處可見，如數字信號或模擬信號在網絡中的傳輸。目前，已經提出許多同步問題如牽制同步、隨機同步、脈沖同步、自適應同步、分布式同步等等。復雜動態網絡的同步性不僅可以解釋大量的自然現象，而且存在潛在利用價值。人們對復雜動態網絡同步性進行了大量研究[4?14]。由于網絡中信息傳遞速度的限制，時滯現象不可避免，而時滯的存在往往會使得系統變得不穩定、震蕩，因此，對時滯現象的研究具有重要意義。ZENG等[15?16]對時滯現象進行了研究。對于含有時滯的復雜動態網絡，研究其穩定狀態下的最大允許時滯具有重要意義。在研究復雜動態網絡同步控制問題中，已經提出多種控制方法，如狀態觀測器控制[17]、自適應控制[18]、脈沖控制[19]、牽制控制[20]、采樣控制[21]等。另外，在實際應用中，控制策略要求數字反饋以及數字控制具有及時性、小型化、精確性以及低成本等特性，因此，復雜動態網絡的同步控制具有很大的研究空間。采樣控制作為一種實用、簡潔的控制方法，其核心問題是采樣區間的選取。可以通過Lyapunov?Krasovskii泛函方法，獲得保證系統同步的穩定性判據，在此條件下，便可以得到最大采樣間隔。同時，可以設計出保證系統同步的采樣控制器[7?8, 11?12]。指數穩定性作為一種穩定規則，能夠更加全面地解釋系統穩定的特性。在眾多穩定性研究方法中，Lyapunov?Krasovskii泛函方法與其他方法相比更加方便、直觀。其核心問題包括2個方面：1) 構造更加優越的Lyapunov?Krasovskii泛函；2) 對其導數的界定。而在研究過程中，并沒有找到一種固定的、無保守性的方法，在大多數情況下，都是依據個人經驗，因此，仍需對Lyapunov?Krasovskii泛函方法進行研究。為此，本文作者在文獻[8]的基礎上，對于含有時變時滯的復雜動態網絡構建含有更多時滯信息以及采樣間隔信息的增廣Lyapunov?Krasovskii泛函。值得注意的是，文獻[12]中構造的含有采樣點信息的泛函是不連續的，而在泛函中加上(t+1?)，就能很好地避免這一問題。隨后，對泛函求導，并利用積分不等式方法對導數中的積分二次型項進行界定，得到保證誤差系統指數同步的充分性條件。為使獲得的判據條件具有更小的保守性，采用ZENG等[22]推導的新自由矩陣積分不等式方法。基于此判據，設計出保證系統指數同步的采樣控制器。最后，通過數值算例以及狀態軌跡圖證明所推導的判據具有更小的保守性，而且所得控制器是可行的。

1 問題描述

采用如下標號：矩陣上標“T”和“?1”分別表示轉置矩陣以及逆矩陣；R和R×分別代表維向量和×維矩陣；矩陣＞0代表矩陣是正定的；diag{1，…，b}表示塊對角矩陣；和分別表示1個合適維度的零矩陣以及合適維度的單位矩陣；符號○表示張量積；sym{}代表矩陣T+；標記“*”表示塊對陣矩陣中的對稱項。

考慮下面的時變時滯復雜動態網絡，此系統含有個耦合節點，每個節點都是1個維動態系統：

其中：= 1，2，…，；()以及()分別表示節點狀態向量和控制輸入；為恒定耦合強度；=(a)×∈R×，為連接節點之間的恒定內部耦合矩陣；=()×N，為網絡拓撲結構的外部耦合組態矩陣。定義如下：若存在節點到節點(≠)的連接，則＞0；否則，= 0。矩陣中的對角元素滿足：

()表示離散時滯，并且滿足以下條件：

其中：和都是正常數。

假設1為連續的向量函數且滿足以下區間有界條件：

其中：和為合適維度的定值矩陣。

假設誤差系統(4)的狀態向量在時間點0＜0＜1＜…＜t＜…是可測的，并且在采樣間隔t≤＜t+1中，(t)是存在的。于是，針對于誤差系統(4)，將采樣狀態反饋控制器設計成為以下形式：

其中：為采樣反饋控制增益矩陣。假設在利用零階保持函數生成的控制信號下，采樣量是同步的，并且2個采樣點之間滿足：

其中：為正標量，代表最大采樣間隔。這里并不要求采樣間隔是周期性的，而只需滿足控制器以式(5)的形式可行，且其最大采樣間隔不大于。

隨后，將(5)代入系統(4)，可以得到下列誤差系統：

其中：=1，2，…，。于是，式(7)可以寫成

其中：=diag{1，2，…，}；()=[1()，2()，…，()]T；(())=[(1())，(2())，…，(())]T。

在給出主要結論之前，下面先介紹幾個引理。

其中：

引理2[12]：對于所有對稱正定矩陣以及可積函數{() |∈ [,]}，有

引理3[22]：對于任意正定對稱矩陣，2個標量和滿足＞＞0，任意向量∈R，以及任意矩陣1，2∈R×，則

引理4[24]：對于任意合適維度矩陣1和2，1個對稱矩陣3＜0以及函數()∈[0，]，滿足

引理5[25]：存在合適維度的矩陣1，2和3，其中，1為對稱矩陣，2為對稱正定矩陣，則有

定義1 若誤差系統(8)是指數穩定的，則復雜動態網絡系統(1)是指數同步的。換言之，存在2個常數＞0，＞0，有

2 主要結果

利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及線性矩陣不等式的形式推導并給出保證誤差系統(8)指數漸進穩定的充分條件，并給出式(5)的采樣控制器。為了使表達更加簡潔，有下面的定義：

定理1：在條件(C1)下，給定正常數，，以及常數，若存在正定對稱矩陣∈R2n×2n，∈ R2n×2n(=1, 2)，∈R×(=1，2，3，4)，1∈R2n×2n，2∈R3n×3n，對稱陣∈R2n×2n，∈R×(= 1，3)，5∈R×，正定對角陣∈R×(= 1，2)，以及任意矩陣∈R×，2∈R×，∈R×(= 1，2)，∈ R×(= 1，2，…，)，∈R×(= 1，2，…，)，∈R×(= 1，2，…，)，∈R×(=1，2，3，4)。=diag{1，2，…，}，=diag{1，2，…，}，=diag{1，2，…，}，且有

其中：

則誤差系統(8)是指數穩定的，其衰減率為。另外，系統(8)中的可行控制增益矩陣求得為=?1。

證明：構建下面的增廣泛函：

其中：

通過對()的各項求導，可以得到一系列矩陣以及積分式。而要求得線性矩陣不等式條件，其關鍵在于對導數中積分進行處理。下面將分別介紹對不同積分項的處理方法。

對4()和5()求導，將會產生下面2個積分二次型：

同樣，對6()和7()求導，出現下面2種積分二次型：

對8()求導，出現下面的二次型。依據基本不等式原理，當存在任意對稱陣∈R2n×2n時，有下面不等式成立：

對7()利用同樣的方法處理。進一步對10()導數中含有采樣信息的積分項進行估計，當存在任意矩陣1和2時，有

根據條件(6)，式(17)可以寫成

另一方面，存在常數＞0，假設1中的條件(3)寫成如下形式：

基于系統(8)的等式描述，可以引入2個合適維度的矩陣和，有下面的零項等式成立：

將(19)和(20)代入泛涵()的導數中，并將(14)，(15)，(16)和(18)應用于()的導數估計，于是，當t≤＜t+1時，()的導數可以寫成

因此，誤差系統(8)是指數穩定的，其衰減率為。根據定義1，系統(1)是指數同步的，其指數同步率為。證明結束。

注釋1：相比于文獻[8]中方法，本文構建1個新的增廣Lyapunov?Krasovskii泛函，并且引入8和9，增加了更多的采樣信息，使得所得判據具有更小的保守性。

注釋2：若=0(即無線趨近于0)，條件(10)，(11)以及(12)可行，則系統(8)擁有足夠小衰減率的指數同步，且據系統(8)中的可行控制增益矩陣求得=?1。

其中：

則誤差系統(8)是指數穩定的，其衰減率為。且據系統(8)中的可行控制增益矩陣得=?1。

證明：構建增廣泛函

其中：()，1()和9()含義見定理1，且

根據以上構建的泛函，并利用Lyapunov- Krasovskii泛函方法(與定理1同理)，可以推導出定理2的結論。

注釋4：若=0(也就是無限趨近于0)，定理2可行，則系統(8)擁有足夠小衰減率的指數同步，且據系統(8)中的可行控制增益矩陣求得=?1。

注釋5：對比(C1)與(C2)這2種條件下的復雜動態網絡指數同步條件，顯然條件(C2)含有更多的時滯信息。其后的數值算理結果表明條件(C2)條件下所得的指數同步條件具有更小的保守性。

3 仿真實例

例1：對于誤差系統(8)，其內耦合矩陣與外耦合矩陣分別為

假設=0.25，=0.5，則非線性函數為

很顯然，此函數滿足條件(3)，且

利用定理1與定理2中的充分判據，在 matlab工具箱中計算，可以得到在不同允許下的最大采樣間隔，其計算結果見表1。從表1可以看出：與文獻[6?10]中結果相比，本文所得最大采樣間隔都明顯增大；在文獻[11]中，當=0.75時，其采樣間隔大于本文結果。當=0.5時，本文所得采樣間隔提高非常顯著。同時，定理2與定理1相比，所得也提高，這說明耦合強度以及時滯導數條件對最大允許采樣間隔的獲得都有一定影響，同時說明本文所得判據具有一定優越性。

表1 定理1中不同c下的最大允許h

下面用仿真圖來闡明所用方法的有效性。利用定理1，當=0.75，=0.944 9，=0.5，()=0.125+ 0.125 sin(4)時，利用Matlab中的SeDuMi工具箱可以計算得到采樣控制器為：

在以上狀態反饋控制器的基礎上，當初始狀態時，在該控制器下，無控制輸入誤差系統(8)的狀態軌跡見圖1，誤差系統(8)的控制輸入軌跡和狀態軌跡分別見圖2和圖3。從圖1~3可以看到：當無控制輸入時，系統是發散的；而當系統增加本文推導的數字輸入控制器時，狀態軌跡則將趨近于平衡點。這證明了本文方法推導的數字控制器是可行的。

在定理2所得判據下，當=0.5，=1.121 2，=0，()=0.15+0.01cos(5)時，采樣控制器為：

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

初始狀態為：

在該控制器以及初始狀態下，無控制器下的狀態軌跡見圖4，控制輸入軌跡見圖5，誤差系統(8)的狀態軌跡見圖6。同樣，與之前的結論相同，對于發散系統，當增加了前面所推導的數字采樣控制器時，系統軌跡以及輸入軌跡都將趨于平衡點。這說明該控制器是可行的。

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

1—r11；2—r12；3—r21；4—r22；5—r31；6—r32。

4 結論

1) 對含有離散時滯的復雜動態網絡進行研究，討論其在采樣控制下的指數同步問題，不僅得到保證網絡指數同步的充分性條件，而且給出了采樣控制器設計方法。

2) 基于減少穩定性條件保守性的目的，在泛函中增加采樣信息，以及利用更優積分不等式估計泛函導數中的積分二次型數值對比，在所得定理條件下，可以獲得更大采樣間隔，表示本文的方法是有效的，并且系統軌跡圖顯示所得采樣控制器能夠實現系統的穩定性，證明了控制器設計方法可行。

[1] 張敏, 羅安. 一類非線性系統魯棒控制及應用[J]. 中南大學學報(自然科學版), 2003, 34(2): 188?191.ZHANG Min, LUO An. Robust control for a class of nonlinear systems and its application[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2003, 34(2): 188?191.

[2] YU Jianjiang, ZHANG Kanjian, FEI Shumin. Improved results on passivity analysis of discrete-time stochastic neural networks with time-varying delay[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2009, 40(Z1): 63?67.

[3] BOCCALETTI S, LATORA V, MORENO Y, et al. Complex networks: structure and dynamics[J]. Physics Reports, 2006, 424(4/5): 175?308.

[4] LI Kun, GUAN Shuguang, GONG Xiaofeng, et al. Synchronization stability of general complex dynamical networks with time-varying delays[J]. Physics Letters A, 2008, 372(48): 7133?7139.

[5] LI Hongjie, YUE Dong. Synchronization stability of general complex dynamical networks with time-varying delays:a piecewise analysis method[J]. Journal of Computational & Applied Mathematics, 2009, 232(2): 149?158.

[6] LI Nan, ZHANG Yulian, HU Jianwen, et al. Synchronization for general complex dynamical networks with sampled-data[J]. Neurocomputing, 2011, 74(5): 805?811.

[7] WU Zhengguang, PARK J H, SU Hongye, et al. Exponential synchronization for complex dynamical networks with sampled-data[J]. Journal of the Franklin Institute, 2012, 349(9): 2735?2749.

[8] WU Zhengguang, SHI Peng, SU Hongye, et al. Sampled-data exponential synchronization of complex dynamical networks with time-varying coupling delay[J]. IEEE Transactions on Neural Networks & Learning Systems, 2013, 24(8): 1177?1187.

[9] WANG Junyi, ZHANG Huanguang, WANG Zhanshan. Sampled-data synchronization for complex networks based on discontinuous LKF and mixed convex combination[J]. Journal of the Franklin Institute, 2015, 352(11): 4741?4757.

[10] SU Lei, SHEN Hao. Mixed H∞/passive synchronization for complex dynamical networks with sampled-data control[J]. Applied Mathematics & Computation, 2015, 259: 931?942.

[11] LIU Yajuan, GUO Baozhu, PARK J H, et al. Nonfragile exponential synchronization of delayed complex dynamical networks with memory sampled-data control[J]. IEEE Transactions on Neural Networks & Learning Systems, 2016, 29(1): 118?128.

[12] LIU Yajuan, LEE S M. Improved results on sampled-data synchronization of complex dynamical networks with time-varying coupling delay[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 81(1/2): 931?938.

[13] WANG Jianan. New synchronization stability criteria for general complex dynamical networks with interval time-varying delays[J]. Neural Computing & Applications, 2017, 28(4): 805?815.

[14] WANG Jianan, ZENG Chan, WEN Xinyu. Synchronization stability and control for neutral complex dynamical network with interval time-varying coupling delay[J]. Circuits Systems & Signal Processing, 2017, 36(2): 559?576.

[15] ZENG Hongbing, HE Yong, WU Min, et al. Free-matrix-based integral inequality for stability analysis of systems with time-varying delay[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2015, 60(10): 2768?2772.

[16] ZENG Hongbing, HE Yong, WU Min, et al. New results on stability analysis for systems with discrete distributed delay[J]. Automatica, 2015, 60(C): 189?192.

[17] JIANG Guoping, TANG W K, CHEN Guanrong. A state-observer-based approach for synchronization in complex dynamical networks[J]. IEEE Transactions on Circuits & Systems, 2006, 53(12): 2739?2745.

[18] LI Xiaojian, YANG Guanghong. Adaptive fault-tolerant synchronization control of a class of complex dynamical networks with general input distribution matrices and actuator faults[J]. IEEE Transactions on Neural Networks & Learning Systems, 2017, 28(3): 559?569.

[19] YANG Xinsong, CAO Jinde, LU Jianquan. Stochastic synchronization of complex networks with nonidentical nodes via hybrid adaptive and impulsive control[J]. IEEE Transactions on Circuits & Systems, 2012, 59(2): 371?384.

[20] WANG Jinliang, WU Huaining, HUANG Tingwen, et al. Pinning control for synchronization of coupled reaction-diffusion neural networks with directed topologies[J]. IEEE Transactions on Systems Man & Cybernetics Systems, 2015, 46(8): 1109?1120.

[21] WU Zengguang, SHI Peng, SU Hongye, et al. Exponential synchronization of neural networks with discrete and distributed delays under time-varying sampling[J]. IEEE Transactions on Neural Networks & Learning Systems, 2012, 23(9): 1368?1376.

[22] ZENG Hongbing, TEO K L, HE Yong, et al. Sampled-data synchronization control for chaotic neural networks subject to actuator saturation[J]. Neurocomputing, 2017, 260: 25?31.

[23] PARK P G, KO J W, JEONG C. Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays[J]. Automatica, 2011, 47(1): 235?238.

[24] ZHANG Yijun, YUE Dong, TIAN Engang. New stability criteria of neural networks with interval time-varying delay: a piecewise delay method[J]. Applied Mathematics and Computation, 2009, 208(1): 249?259.

[25] RAKKIYAPPAN R, LATHA V P, ZHU Quanxin, et al. Exponential synchronization of Markovian jumping chaotic neural networks with sampled-data and saturating actuators[J]. Nonlinear Analysis Hybrid Systems, 2017, 24: 28?44.

Sampled-data exponential synchronization for complex dynamical networks

CHEN Gang1, 2, WANG Xin1, 2, XIAO Shenping1, 2, LUO Changsheng1, 2

(1. School of Electrical and Information Engineering, Hunan University of Technology, Zhuzhou 412007, China; 2. Key Laboratory for Electric Drive Control and Intelligent of Hunan Province, Zhuzhou 412007, China)

By using Lyapunov?Krasovskii functional method and linear matrix inequality method, the problem of sample-data exponential synchronization for complex dynamic networks with time-varying delays was studied. Firstly, the Lyapunov?Krasovskii functional with more information and the sampling interval delay information was constructed. Then, the preferable integral inequality methods were used to estimate the integral quadratic terms among derivative of Lapunov?Krasovskii functional and a new criterion was formulated to ensure the exponential synchronization of the error system. Secondly, a sampling controller was designed based on this criterion to ensure the synchronization of the system. The simulation results show that the derived synchronization criterion is less conservative and it is feasible.

Lyapunov?Krasovskii functional; complex dynamic networks; sampled-data exponential synchronization

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.12.013

TP273

A

1672?7207(2018)12?2993?09

2018?01?10；

2018?03?15

湖南省自然科學基金資助項目(2018JJ4075)；國家自然科學基金資助項目(6167225, 61304064)(Project(2018JJ4075) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province; Projects(6167225, 61304064) supported by the National Natural Science Foundation of China)

陳剛，博士，副教授，從事時滯系統、魯棒控制研究；E-mail：drchengang@163.com

(編輯 陳燦華)