知識視角下的數學核心素養及其生成

陳齊榮

（上饒師范學院數學與計算機科學學院，江西 上饒 334001）

當前，隨著中國學生發展核心素養的學科推進，數學核心素養已成為熱點議題。數學核心素養的概念內涵、要素構成等有關觀點各執一詞、眾說紛紜、莫衷一是，“基本上是一人一個看法，一千個研究者心中有一千種核心素養”[1]。如果相關認識難以達成一致或比較一致，推進數學核心素養的課程改革勢必困難，這也難怪基層教師為什么一聽說核心素養，就覺得頭大。“知識是教育的載體，教育是通過知識進行的，沒有知識的教育不是教育。”[2]知識與素養并非二元對立，知識是素養生長的源泉。[3]同樣，數學核心素養必須依托于數學知識，那么，如何辯證、科學地看待數學知識？數學知識與數學核心素養之間有哪些邏輯關聯？外在的數學知識如何才能轉化為學生內在的數學核心素養？圍繞這些核心問題展開探討，就有了重要的理論價值和現實意義。

一、知識與知識構成

從知識的演變歷史來看，人們對于“什么是知識”的認知至少有三種觀點：一是科學取向的理性主義知識觀，該知識觀以深刻的唯理論為哲學基礎，強調知識的純粹性、真實性、可靠性與客觀性，其代表人物有柏拉圖、笛卡爾等。柏拉圖認為，知識是獨立于時空之外的、純粹的理性的作品，其來源不可感知；笛卡爾以“我思故我在”的哲學命題將感覺經驗驅除知識的殿堂，認為真正的知識只能是來自于“純粹理智”的、具有確定性特征的知識。二是以經驗論為哲學基礎的經驗主義知識觀，以亞里士多德、洛克等為代表，其核心觀點是人的一切知識都是建立在經驗之上，且最終來源于經驗。三是工具取向的知識觀，以杜威的實用主義、皮亞杰的建構主義和布魯納的結構主義等為代表，其核心論點為知識是人們認識世界、改造世界的工具，是主體對客體的符號表征，知識不能以實體的形式存在個體之外。

基于認識論種種問題的分析，托馬斯.E.希爾把知識歸結為認識的性質、認識的證實、認識經驗與認識對象之間的關系等三類。[4]哈貝馬斯則從認識與興趣的視角，提出認識既不是單純的工具，又不是純粹的理性活動，認識主體和認識客體的聯系最初就是借助于興趣而建立。[5]基于知識構成的分析，李潤洲提出任何知識都包括符號表征、思維方法與價值意義等三重含義。[6]

數學是空間形式和數量關系的科學。[7]數學知識是人們對于現實世界空間形式、數量關系的認識與反映。因此，從數學知識的構成來看，所有的數學知識都存在三個維度：內容維度、形式維度、旨趣維度。

數學內容維度主要包括數學概念、數學命題（如數學公理、原理、定理、法則、公式等）以及由概念、命題聯結而成的數學知識體系。數學概念是空間形式和數量關系本質屬性的思維形式，人們通過對現實世界中的數量與數量關系、圖形與圖形關系的抽象，得到了數學的基本概念，數學概念舍棄了具體事物的一切物理屬性。數學知識體系的構建始于數學概念；數學命題源于判斷，具有真或假的唯一性，數學命題由數學概念組合而成，反映了數學概念之間的關系；由概念與概念、概念與命題、命題之間的內在關系而構成的邏輯網絡結構就是數學知識體系。數學內容以其獨特的自然、符號和圖形等數學語言為其表征形式。中小學數學教材中所呈現的主要是數學內容，具有基礎性、外顯性和系統化等特點。

數學形式是指數學的認知方式。認知方式是個體認識世界、處理經驗材料的方式，是知識創生的主觀條件和必要前提，數學形式主要包括數學能力、數學思想與方法。數學能力是順利而有效完成數學活動的個性心理特征，包括運算能力、空間想象能力和數據分析能力。數學思想是人們對數學科學研究的本質及規律的深刻認識，反映的是數學與外部世界、數學內部發展的關系，包括數學抽象、數學推理和數學模型。數學方法是人們認識數學客體過程中某些規律性的程序或手段，主要有等量替換、數形結合、分類討論、化歸、轉化等方法。義務教育階段數學課程標準中的十大核心詞（運算、推理、模型、應用意識、創新意識、數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析）、高中數學課程標準中的六個核心詞（抽象、推理、模型、運算能力、空間觀念、數據分析）是數學形式的具體體現。

數學旨趣是數學知識內容創生（知識創造、加工、生產）的動力源。旨趣是認識論的范疇，哈貝馬斯認為個體對知識的認知源自旨趣，旨趣決定活動、指導活動。[8]數學旨趣包括數學知識內容創生過程中的價值取向、目標追求和情感體驗；價值取向是指個體基于自己的價值觀在面對或處理各種矛盾、沖突、關系時所持的基本立場；目標追求是為實現目標而付諸的努力，包括數學精神和數學信念。情感體驗是個體數學知識內容創生過程中的主觀感受，有積極和消極之分，積極的情感體驗能夠激勵人的活動，提高活動效率。

數學內容是數學形式、旨趣的載體，為其提供依附作用，是知識作為客體的表現形式，表現為顯性特點。數學形式和旨趣蘊含在內容之中，是知識作為主體的反映，具有隱性特征。采用不同角度、不同的數學形式對同一知識進行加工，可以得到不同的數學內容表征，如中學數學中“角”的概念，基于靜態視角和動態視角可以分別得到“一個端線引出兩條射線”和“一條射線繞著端點旋轉而成”兩個不同的數學概念。數學旨趣是數學知識創生的內在動力，制約著其內容與形式。數學內容、形式和旨趣從三個維度分別詮釋數學知識“是什么”“怎么辦”以及“為什么”的含義。從知識的創生過程來看，先有旨趣，再有形式，然后才有內容；從其作用于個體的影響來看，數學內容最容易忘記，數學形式不易遺忘，數學旨趣則根植于靈魂。

數學知識三維度與將知識分為陳述性知識、程序性知識和策略性知識的分法很相似，但兩者分類對象不一樣，知識三維度反映的是一個知識的三個方面，如數學命題“三角形內角和為360°”反映的是命題內容（包括自然語言、圖形語言、符號語言的表示及其相互轉換），這一命題的由來過程（包括“畫、剪、拼”探究過程和數學論證過程）是該命題的形式，而參與命題的整個情感活動即命題的動力因素則歸結為旨趣維度。陳述性、程序性和策略性知識則是按知識的類別劃分。

另外，數學知識三維度與數學教學中的三維目標關系極為密切。數學內容反映的是數學概念、命題以及數學知識體系，理解、掌握數學內容實現的是知識與技能目標，即知識與技能目標是數學內容維度的具體體現。過程與方法目標旨在通過數學活動，經歷數學探究過程，感悟數學思想方法，發展數學思維，培養學生用數學的眼睛觀察問題、數學的思維思考問題及數學語言表達問題的能力，因此，過程與方法目標體現的是數學形式維度。知識的旨趣維度反映的是“情感、態度與價值觀”目標。由此可見，數學知識三維度分別與三維教學目標相對應，數學知識三維度的教學有助于數學三維目標的實現。

二、知識視角下的數學核心素養

知識三維視角下的數學核心素養基于這樣一個基本事實，即數學核心素養必須著眼于數學知識。那么，數學知識的三個維度是如何反映學生內在的數學核心素養？它們之間具有哪些內在關聯呢？

李藝等將學科核心素養分三層架構，最底層以基礎知識和基本技能為核心的“雙基層”，中間層以解決問題獲得的基本方法為核心的“問題解決”層，最上層是“學科思維層”。[9]知識三維觀中的數學內容維度強調的是“是什么”的知識，掌握了數學內容也就獲得了相應的數學知識；數學形式維度包含的數學關鍵能力，數學思想、方法，通過知識形式以獲得問題解決的方法、形成數學思維，即數學形式直接指向數學核心素養的“問題解決”的“學科思維”層。李藝的學科核心素養層疊結構很好地解決了以往“四基”“四能”或“知識與技能、過程與方法”等學科目標的并行羅列而產生的誤導之嫌，暗示著學科核心素養是一個從低級走向高級的發展過程。但該結構將學科思維置于學生發展核心素養的終極目標，忽視數學的文化價值對于學生發展的重要意義，忽視學生數學品格的塑造。

回顧我國數學教學目標發展歷史，無論是以往的“教學大綱”，還是現行的“課程標準”，均把數學品格的培養作為重要目標。1951年的《普通中學數學科課程標準草案》將培養學生的“科學習慣”作為四大目標之一。1952年《中學數學教學大綱（草案）》提出的“重視數學思想”，培養“愛國主義和民族自尊心”“堅強的意志和性格”以及“辯證唯物主義世界觀”，明確數學教學要完成思想教育的一般任務。1986年的《全日制中學數學教學大綱》提出“重視結合教學內容對學生進行思想教育”，重視“培養學生對數學的興趣”和“科學態度”。1988年頒布的《九年制義務教育全日制初級中學數學教學大綱（初審稿）》提出“培養學生良好的個性品質”,包括了信念、思想、情操、意志、興趣、獨立思考、勇于創新等。1996年《全日制普通高級中學數學教學大綱（供試驗用）》形成了“雙基+能力+非智力因素”比較完整的三足鼎立結構，提出了學習目的、創新精神、科學態度、獨立思考及學習信心的培養目標。

現行的數學課程標準對于學生品格培養用詞更為豐富。如課程目標旨在“提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信息，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度”，“認識數學的科學價值……，形成批判性習慣……體會數學的美學意義”；并將“情感、態度與價值觀”課程目標予以單列；在對“過程與方法”目標修正的基礎上，把“基礎知識”“基本技能”擴充到四基，提出“基本思想”“基本活動經驗”；另外，闡述了如“感知”“體會”“養成”“體驗”“嘗試”“形成”等學生品格教學更為具體的目標行為動詞。

2016年發布的《中國學生發展核心素養》提出的六個素養綜合表現：人文底蘊素養表現的“情感態度和價值取向”“審美情趣”，科學精神素養表現的“價值標準”“批判質疑、勇于探究”，學會學習素養表現的“學習意識”“樂學善學、勤于反思、信息意識”，健康生活素養表現的“珍愛生命、健全人格”，責任擔當領域的“責任擔當”，實踐創新素養表現的“創新意識”“勞動意識”，都無一例外地包含著學生的“必備品格”。

我國著名的數學教育家張奠宙教授指出，數學核心素養不只是數學能力，還應包括情感態度、價值觀，數學核心素養有“真、善、美”三個維度，其中包括數學的文化價值，欣賞數學智慧之美。[10]

基于上述分析，我們將數學核心素養界定為數學雙基、數學思維和數學品格三個層面，分別反映著數學內容、形式和旨趣三個維度，數學核心素養與數學知識之間存在一種對應關系（如圖1所示）。

圖1 數學核心素養與數學知識對應關系

首先，學生數學核心素養的發展呈現由數學雙基到數學思維，再到數學品格的層次發展特征，數學雙基是數學核心素養發展的底層，數學思維是中間層，而數學品格（包括工具品格、文化品格）則是數學核心素養的頂層。所以，學生發展數學核心素養必須始于數學雙基，經歷數學思維，直達數學品格的塑造。這也從側面佐證了“擁有知識不一定就有素養，而有素養的人一定擁有知識”。

其次，學生由數學內容獲得數學雙基，由數學形式形成數學思維，由數學旨趣塑造數學品格。因此，“數學雙基——數學思維——數學品格”這一學生數學核心素養的發展暗線完全可以通過“數學內容——數學形式——數學旨趣”的知識明線予以實現，符合數學核心素養“可教”“可學”“可測”等特點。

最后，學生對于數學知識三維度的學習方式側重點不同。數學內容側重于“記”，數學形式強調“做”，數學旨趣則側重“悟”。“記——做——悟”的學習方式是數學知識三維轉向學生數學核心素養的對應法則，這為學生數學核心素養的生成提供了可實現的操作空間。

反觀國內有關數學核心素養的觀點，“數學核心素養包括數學人文、數學意識和數學思想三大要素及諸多二級細分”[11]，缺乏要素間的內在邏輯關系的考察；將數學課程標準的核心詞抽象、推理、建模、直觀想象、數學運算、數據分析等作為數學核心素養的全部[12]，恰恰忽略了學生數學品格的塑造；數學核心素養是“人的關鍵能力與思維品質”，把數學核心素養限定在智力范圍，缺少智力活動的動力學考察。

反思以前的數學教育，我們對于數學知識的理解過于狹隘，缺乏全面的知識觀，把數學內容當成數學知識的全部；疏漏了數學形式，特別是數學旨趣維度，數學知識的教學演變為數學內容的教學，教師成了知識的化身，數學內容的“傳道”成了數學課堂教學的主要形式，忽視知識形式，特別是知識旨趣的領悟過程。讓學生“一看便知、一聽就懂、一練就會”“刷題”式的教學行為無法指向學生數學核心素養的發展。

三、數學核心素養的生成策略

數學核心素養的生成過程就是由數學內容、形式和旨趣到學生數學雙基、思維和品格的轉化過程，轉化的途徑與方法就是“記中學”“做中學”和“悟中學”。

雙基的特點之一就是理解、掌握數學基礎知識內容，學習與記憶密切相關，沒有記憶就沒有學習，學習從記憶開始。學生要獲得數學知識，就必須記住相關數學內容，如數學概念內容、命題內容等。強調數學內容記中學，包括三層含義：一是倡導理解記憶、有意義記憶。反對死記硬背式的機械記憶，提倡在深入、透徹理解知識的基礎上識記其內容的真正含義，記中學要求在學生原有知識、經驗基礎上進行，新知識內容要同學生原有認知結構發生“反應”，并形成新認知結構。二是強調本質內容的記憶，而不是非本質、表面、形式化的內容。小學數學“分數”概念從平均分引入分數的份數定義，比較自然，符合“幾分之幾”稱謂，但并沒有擺脫自然數的表示，沒有反映分數概念的本質特征，因此，分數的學習要盡快過渡到“商”定義，分數作為商，顯示它是一個“新”的數，有大小，在數軸上介于兩個自然數之間，反映了分數的本質。三是要厘清知識之間的關系，把握知識間的脈絡結構，形成融會貫通的知識網絡，而不是零散、孤立的知識點。

數學內容的記中學，只能實現底層的數學核心素養，中間層和頂層的數學核心素養生成，還必須通過“做”中學和“悟”中學。倡導數學思維“做中學”，就是要反對被動消極靜坐式的聽中學行為，通過創設各種數學活動，如測量、折紙、剪紙、度量、試驗、游戲、畫圖等形式，還原知識的發現過程。讓學生親歷操作實驗、自主探索、大膽猜測、合作交流、積極思考等活動，感受數學基本思想、體會數學學習的基本方法，積累基本活動經驗，發展數學思維、獲得解決問題能力，感受數學的魅力，領悟數學文化，形成數學品格。

“記”“做”“悟”作為數學核心素養生成的途徑，它們之間不是并列關系，而是推進關系。“記中學”解決的是“學會”的問題，“做中學”解決的是“會學”的問題，“悟中學”達到的是“樂學”的境界。因此，通過數學知識的“記——做——悟”過程，就是學生“學會——會學——樂學”的過程，這個過程就是學生的數學智慧的生成過程，即數學核心素養的生成過程。

[1][3]周序.核心素養：從知識的放逐到知識的回歸[J].課程·教材·教法，2017，37（2）:61-66.

[2]李潤洲.知識與教育——兼評由應試教育向素質教育轉軌所引發的論爭[J].全球教育展望，2005，34（2）:15-17.

[4]托馬斯.E.希爾.現代知識論[M].劉大椿，李德榮，高明光，等，譯.北京:中國人民大學出版社，1989:1-2.

[5][8]哈貝馬斯.認識與興趣[M].郭官義，李黎，譯.上海:學林出版社，1999:11-12.

[6]李潤洲.學生學習力提升的知識論透視[J].教育科學研究，2015（11）:5-11.

[7]史寧中,孔凡哲.關于數學的定義的一個注[J].數學教育學報，2006（4）:37-38.

[9]李藝,鐘柏昌.談“核心素養”[J].教育研究，2015（9）:17-23，63.

[10]洪燕君，周九詩，王尚志，等.《普通高中數學課程標準（修訂稿）》的意見征詢——訪談張奠宙先生[J].數學教育學報，2015，24（3）:35-39.

[11]劉曉萍,陳六一.小學數學核心素養的構成要素分析[J].課程教學研究，2016（4）:42-45，48.

[12]華志遠.數學核心素養的內涵與構成[J].教育研究與評論(中學教育教學)，2016（5）:41-44.