將數學建模與數學實驗思想方法融入高職數學教學中的研究與實踐

呂睿星

(吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132022)

眾所周知，《高等數學》是高等職業技術教育教學中的一門公共基礎理論教育必修課程，是為培養我國社會主義現代化建設所需要的高質量工程技術人才以及專業技術人才服務的課程。以往的教學內容和教學模式已不能滿足新形勢下的教學要求，在我校高等職業技術教育過度轉型發展階段[1]，對于高等數學課程這種基礎性學科，在教學當中進行新的實踐與探究顯得尤為重要。以我校航空和汽車學院高職各專業為對象，從學生的實際情況出發，把數學建模和數學實驗思想滲透到高職高等數學中，培養學生應用能力和創新意識，盡可能多的選擇現實題材，結合數學軟件，有效培養學生運用數學知識解決實際問題的能力，對全面提高學生的綜合素質，具有重要的理論和現實意義。

一、高等數學和數學建模

雖然數學建模活動的開展，能夠為應用型人才的培養創造很好的環境和機遇，但是究竟如何開展數學建?；顒?，以及如何將數學建模的思想融入到高職數學教學中去，就成為了非常重要的話題。

傳統的高等數學教學以邏輯關系為主體，內容緊湊，一環扣一環。這樣自然就使得教學方面注重理論的系統性和結構的嚴謹性，必然相對忽視了對基本概念和定理物理意義及幾何意義的講解，進而沒有將很多內容的實際應用價值表現出來，令學生對教材中的內容感到很迷茫，理解不夠充分，自然影響學生學習數學的積極性和主動性，失去了學習數學的興趣。而數學建模主要是面對實際問題時，弄清楚與實際問題相關的材料和數據，找到問題的內在聯系，運用數學手段，將實際問題改寫成數學問題，建立數學模型，之后運用數學中的定義、定理、公式，以及數學軟件，把這樣的實際問題進行理性的解決，最終得出數學的結果，再將結果解釋成實際問題的結論。因此，數學建模是一個橋梁，通過它，可以把數學問題與實際問題聯系到一起，這樣能夠真正體現出數學的實際意義，也會讓學生們感受到學以致用，進而消除他們心中學數學枯燥無味、無用的消極思想。這便意味著將數學建模的思想方法融入高職高等數學的教學中是非常重要的[2-4]。

二、數學建模與高等數學相結合

(一) 數學建模的引入

首先要盡早讓學生們接觸數學建模的相關內容，了解簡單的數學模型。如果從第一節高數課開始，就令學生們了解它，會更好的激發學生學習高等數學的興趣，端正學習態度。比如公平的席位分配問題，雙層玻璃窗的功效問題，雨中行走的策略問題等，這樣的問題會引起學生的求知欲，開闊學生的視野，提高學生學習高等數學的積極性，改變學生們對數學的偏見，為高等數學課程的教學，開個好頭。

(二) 將數學建模案例融入教材內容

在講解高等數學課程過程中，我們就要將數學建模思想融入到教材內容的基本概念、定理中去。比如在講解導數的概念過程中，結合學生們所熟知的物體的自由落體運動，這是位移相對于時間的變化率問題。這就是簡單的數學模型，從實際背景當中提煉出來的，能夠更好的幫助學生們理解導數的概念問題。在講解閉區間上連續函數的零點定理時，以往的學生都會覺得理論性太強而理解不到位，我們可以結合“椅子能在不平的地面上放穩嗎？”這一數學模型進行講解。剛開始接觸數學建模，學生們想不到這個事件與數學問題有何聯系，我們教師可以慢慢對學生進行引導，將思路打開，用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來。利用正方形(椅腳連線)的對稱性，用θ(對角線與力軸的夾角)表示椅子的位置，椅腳與地面的距離為θ的函數，當函數為0時，就是椅子四只腳著地的時候。分別將兩個對腳與地面距離之和設為f(θ),g(θ)，由于地面高度是連續變化的，因此f(θ),g(θ)是連續函數，由于椅子在任意位置至少三只腳著地，故對任意θ，f(θ),g(θ)至少一個為0。分析得出，這個問題就可以轉化為數學問題，即已知f(θ),g(θ)是連續函數，對任意θ，f(θ)·g(θ)=0且g(0)=0,f(0)>0。證明：存在θ0，使f(θ0)g(θ0)=0[1]。只要將這個數學問題解決，就可以很好的完成這個實際問題的解答。通過這樣一系列的實際問題的滲透與解答，讓學生們逐步領悟到實際問題與數學問題的結合點，漸漸提高學生們數學建模的能力與對高等數學學習的興趣。

由于學時有限，想要在每個概念、定理、公式的學習當中都加上一個模型的實例，是不現實的。我們可以選擇以章節為單位，可以在每一章結束時，選擇一個有代表性的，與本章內容能結合上的案例來進行分析，比如在微分方程這一章的習題課時，就可以給同學們簡單講解生物增長模型。例如：小樹剛栽下去的時候長得比較慢，漸漸地 越長越快，但長到某一高度后，它的生長速度趨于穩定，然后再慢慢降下來。這一現象很具有普遍性。我們可以根據所學內容，針對這一現象，建立簡單的數學模型。通過對實際情況的分析，啟發學生們動腦思考，一般都能想到樹的生長速度與它目前的高度成正比，但這并不符合生長初期和后期的規律；但如果假設樹的生長速度正比于最大高度與目前高度的差，則又明顯不符合中間一段的生長過程。我們假定它的生長速度既與目前的高度,又與最大高度與目前高度之差成正比。這樣我們可以設h(t)表示t時刻的樹的高度，顯然，h(t)連續可微(由于樹是連續生長的)，Hm為樹生長的最大高度，則有

其中k>0是比例常數[1]。顯然，它是可分離變量的一階微分方程，對于這個方程的求解，恰好是本章我們重點學習的內容之一，帶領學生們求解模型的同時，也可將這一章的內容進行復習。

通過這種改進之后的教學手段，結合實際問題的案例，可以成功的將數學建模的思想融入到高等數學的教學當中，不但能夠激發了學生們學習數學的興趣，還可以調動了學生們的積極性，令他們善于動腦，勇于展開聯想，逐漸學會應用數學知識去分析、解決實際問題，找到他們各自專業與數學之間的結合點，這樣便可以更快更好的解決實際問題。

三、開展數學實驗課程

長期以來，人們都誤以為只有物理、化學、生物等才有實驗課，而數學就是在紙上進行的推理、演算。其實，一直以來，數學實驗都存在于我們的生活和學習當中。隨著計算機技術的迅猛發展，計算工具與數學計算軟件也得到了極大的發展。而在高職高等數學的教學過程中，想要將數學建模融入其中，則穿插數學實驗課程，是必不可少的。在數學實驗中，由于計算機的引入和數學軟件包的應用，為數學的思想與方法注入了更多、更廣泛的內容，使學生擺脫了繁重的乏味的數學演算和數值計算，促進了數學同其他學科之間的結合，從而使學生有時間去做更多的創造性工作。數學實驗課程開展的目的，是為了使學生掌握數學實驗的基本思想和方法，從實際問題出發，通過數學思想，建立相應的數學模型，借助數學軟件，自己動手，真正體驗到解決問題的過程，從實驗中去學習，探索和發現數學規律。進而用數學的結論，去解讀實際問題。當然，有些學生們會錯誤的認為，學習了數學軟件，就可以完全借助軟件去完成題目的求解，其實不論是畫復雜的函數圖像或是用數學軟件求導數求積分等，都可能出現錯誤或者繁瑣費時的情況，數學軟件是有局限性的，有時是需要我們人工干預之后，才能更加準確省時省力的解決問題的。所以，學習豐富的數學知識，才是應用數學軟件解決數學問題的強大后盾，強大的數學理論支撐，是必不可少的[5-8]。

目前，我們在高職數學教學中開展同步的數學實驗，通過數學實驗的過程，使學生多做嘗試，勇于創新，并且對于教學目的和教學內容進行了實踐性的探索，主要是在課程中令學生們了解并掌握簡單的數學軟件，如Maple、Mathcad軟件等，用以解決比較復雜、冗繁的數值計算問題，也能夠直觀的處理三維空間的幾何問題。數學實驗課作為數學建模的預備課程，強化了學生的計算機操作能力、數學軟件的應用能力，培養了學生世家你探索精神和用所學知識解決實際問題的能力，為學生參加全國大學生數學建模競賽打下了良好的基礎[9]。自2014年以來，我校多次組隊參加全國大學生數學建模競賽，先后多次獲得國家一等獎，吉林省一等獎、二等獎、三等獎的優異成績。

四、結 語

中國高職教育多年快速發展的軌跡如今已進入歷史的“拐點”，推進高職持續健康的發展，就是要以人為本，堅持全面、協調的發展。而高職數學的改革，特別是將數學建模與數學實驗的思想方法融入高職數學的教改實踐，無疑會成為促進全面協調可持續發展的素質教育的重要載體，必定能為高等職業教育的又好又快發展發揮積極的作用[10]。

[1] 張秀蘭，林峰.數學建模與實驗[M].北京：化學工業出版社，2013.

[2] 周素靜，張秀英.數學建模思想方法融入高職院校數學教學改革研究[J].商丘職業技術學院學報，2017(6):81-83.

[3] 張學新.數學建模思想與方法融入數理統計課堂教學的研究與實踐[J].新疆師范大學學報，2016(3):63-71+2.

[4] 陸鐳.數學建模思想融入大學數學基礎課的探索與研究[J].科技展望，2016(1):183-184.

[5] 陳戰勝.高等職業教育數學課程教學中數學建模的應用研究[J].教育教學論壇，2016(4):213-214.

[6] 盛光進.將數學建模思想融入“高等數學”教材的研究與實踐[J].高等理科教育，2006(12):16-19.

[7] 惠曉娟.關于高職數學教學中融入數學建模思想的研究[J].數學學習與研究，2016(7):12.

[8] 張曉穎.融入數學建模思想的高等數學教學探討[J].科技展望，2016(9):206-207.

[9] 孫衛，范新會，劉江南.一般院校工科高等數學實驗課的研究與實踐[J].長春理工大學學報，2003(2):78-79.

[10] 施寧清，李榮秋，顏筱紅.將數學建模的思想和方法融入高職數學的試驗與研究[J].教育與職業，2010(3):116-118.