物理考試命題數據自洽分析
——以導體棒切割磁感線運動為例

吳廣國 黃琭琰 鄒 斌

(1. 北京景山學校,北京 100006; 2. 中央民族大學理學院,北京 100081)

導體棒(導體框的一部分)在磁場中切割磁感線而形成感應電流時,由于導體棒(導體框)受到安培力而減速運動,由于導體棒(導體框)所受安培力的大小正比于它的速度,所以它做的是加速度逐漸減小的減速運動.[1]導體棒(導體框)速度的嚴格求解是隨時間減小的指數函數,一旦其受力條件和邊界條件是確定的,則其運動是唯一確定的.[2]因此,在高考題以及各類模擬題中,雖然命題對象是中學生,不要求嚴格求解速度和位置的表達式,但題目所給出的都應該是經過嚴格求解后的數據,不能為了計算方便而隨意設置數據.[3, 4]下面以一道某地2018年模擬題為例,進行詳細討論分析.

圖1 金屬導軌示意圖

如圖1所示,間距為L=1m的兩條足夠長的平行金屬導軌與水平面的夾角為θ=37°,底端用電阻為R=0.8Ω的導體MN相連接,導軌電阻忽略不計.磁感應強度為B=1T的勻強磁場與導軌平面垂直,磁場區域上下邊界距離為d=0.85m,下邊界aa′和導軌底端相距為3d.一根質量為m=1kg、電阻為r=0.2Ω的導體棒放在導軌底端,與導軌垂直且接觸良好,并以初速度v0=10m/s沿斜面向上運動,到達磁場上邊界bb′時,恰好速度為0.已知導軌與棒之間的動摩擦因數為μ=0.5,g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8.求:

(1) 導體棒通過磁場過程中產生的焦耳熱.

(2) 導體棒從進入磁場到達上邊界所用的時間和回路中產生的感應電流的有效值.

(3) 微觀上導體中的電子克服因碰撞產生的阻力做功,宏觀上表現為產生焦耳熱.試從微觀角度推導:當棒運動到磁場中某一位置時(感應電流為I),其電阻的發熱功率為P熱=I2r(推導過程用字母表示).

在此我們不對題目進行解答,而只關注導體棒進入磁場后的運動情況.

設導體棒從最低點運動到aa′,進入磁場時速度為v1,由動能定理得

(1)

解得v1=7m/s.

要求導體棒進入磁場后的運動情況,假設磁場足夠大,從進入磁場時開始計時(t=0),以磁場邊界aa′為坐標原點,建立沿導軌向上的坐標軸Ox,如圖2所示,設任意時刻t導體棒速度為v.

圖2 導體棒進入磁場后的運動情況

(2)

代入數據后

(3)

利用初始條件t=0,v=7m/s得到該微分方程的解為

v(t)=17e-t-10. (SI)

(4)

繼續利用導體棒位置與其速度的表達式

(5)

并考慮到初始條件t=0,x=0,可以進一步得到在磁場區域內導體棒位置函數

x(t)=-17e-t-10t+17. (SI)

(6)

假設磁場在aa′以上足夠大空間存在.由(4)式和(6)式很容易計算出當導體棒速度減小到0時,所需要的時間為t1=ln1.7,此時的位置為x(t1)=1.7m.

即通過解導體棒運動的微分方程可以嚴格計算出導體棒進入磁場后減速到0時,磁場寬度至少應為1.7m,而非題干所給出的d=0.85m.

利用(5)式和(6)式,我們也可以計算在現有各參數不變的情況下,當導體棒到達磁場上邊界bb′時(即d=0.85m),從下邊界aa′導體棒運動到上邊界的時間約為0.146s,此時導體棒的速度為4.69m/s,導體棒的速度并不為0.通過以上的數據分析和嚴格的數值求解,命題者認為導體棒在磁場中沿導軌向上運動d=0.85m以后速度為0是不恰當的,題目數據可以修改磁感應強度B的大小也可以通過增加磁場寬度,來達到導體棒恰好通過磁場區域時,速度為0.這種運動速度或者位置函數為指數函數相對較為復雜的運動形式,命題時需要預判位移、速度和時間的數值關系式,避免出現題目數據的不自洽.