用質(zhì)心動(dòng)能定理巧解一道競(jìng)賽題

周碧華

(上饒中學(xué),江西 上饒 334000)

原題.某根水平固定的長(zhǎng)滑竿上有n(n≥3)個(gè)質(zhì)量相同的滑扣(即可以滑動(dòng)的圓環(huán)),每個(gè)相鄰的兩個(gè)滑扣(極薄)之間有不可伸長(zhǎng)的柔軟輕質(zhì)細(xì)線相連,細(xì)線長(zhǎng)度均為L(zhǎng),滑扣在滑竿上滑行的阻力大小恒為滑扣對(duì)滑竿正壓力大小的μ倍.開始時(shí)所有滑扣可近似地看成挨在一起(但未相互擠壓);今給第1個(gè)滑扣一個(gè)初速度使其在滑竿上開始向左滑行(平動(dòng));在滑扣滑行的過(guò)程中,前、后滑扣之間的細(xì)線拉緊后都以共同的速度向前滑行,但最后一個(gè)(即第n個(gè))滑扣固定在滑竿邊緣.已知從第1個(gè)滑扣開始的(n-1)個(gè)滑扣相互之間都依次拉緊,繼續(xù)滑行距離l(0

此題參考答案的解法非常繁雜,在此不再贅述,下面我們先介紹質(zhì)心動(dòng)能定理.

慣性系中對(duì)質(zhì)心有

(1)

合外力對(duì)質(zhì)心做的功

(2)

由(2)式得

(3)

(3) 式左右兩邊積分得

W合外力對(duì)C=ΔEkC.

(4)

(4) 式就是質(zhì)心動(dòng)能定理:合外力對(duì)質(zhì)心所做的功等于質(zhì)心動(dòng)能的增加量.我們就用質(zhì)心動(dòng)能定理來(lái)解此題,設(shè)每個(gè)滑扣的質(zhì)量為m,滑扣1的初速度大小為v0,對(duì)前面(n-1)個(gè)滑扣,設(shè)合外力對(duì)其質(zhì)心做的功為W,則有

前(n-1)個(gè)滑扣質(zhì)心動(dòng)能的增量為

W=a[12+22+32+…+(n-2)2]-

μ(n-1)mgl.

(5)

利用數(shù)學(xué)公式

12+22+32+…+N2=

(6)

由(5)、(6)式及質(zhì)心動(dòng)能定理得

(7)

(8)

我們發(fā)現(xiàn)此題用質(zhì)心動(dòng)能定理幾乎是“秒解”,為了讓學(xué)生更好地掌握質(zhì)心動(dòng)能定理,我們?cè)倥e一例.

圖2

變式.4個(gè)完全相同的小物體(可看作質(zhì)點(diǎn)),等間距靜止在固定的斜面上,間距為d,斜面的傾角為θ,小物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,現(xiàn)給最上面的物體一個(gè)沿斜面向下的初速度v0,小物體間將發(fā)生的碰撞都是完全非彈性的,求v0滿足什么條件,最后上面3個(gè)小物體恰好停在最下面的小物體處.(如圖2)

解析:設(shè)每個(gè)小物體的質(zhì)量為m,對(duì)4個(gè)小物體,用質(zhì)心動(dòng)能定理有

(9)

由(9)式整理得

(10)

小結(jié):對(duì)于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系,若過(guò)程復(fù)雜,比如多次碰撞,如果質(zhì)點(diǎn)系所受到的合外力已知,且合外力對(duì)質(zhì)心做功可求,我們就可以利用質(zhì)心動(dòng)能定理,巧妙地避開質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力做功的復(fù)雜計(jì)算,從而可以快速輕松地求解相關(guān)問(wèn)題,在競(jìng)賽輔導(dǎo)中有效地開闊學(xué)生的視野,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理競(jìng)賽的興趣,發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì).