利用常微分方程分析數碼相機市場價格發展趨勢

邱雯昕

【摘要】本文采用常微分方程法，建立了模擬索尼A7系列數碼相機市場價格發展趨勢的數學模型.在實際建模過程中，采用收集并分析索尼A7系列相機市場價格數據—分析影響索尼A7系列數碼相機市場價格變化的主要因素—建立常微分方程模型—求解—分析結果的建模思路.最終，本次研究得出結論，索尼A7系列數碼相機市場價格發展規律與影響其價格變化的因素——供需量之間的相互作用在誤差允許范圍內符合規律，并對模型的缺陷和待改進點加以說明.

【關鍵詞】發展趨勢；常微分方程；相機市場

一、引 言

如今，數碼相機已經取代傳統相機的地位進入普通家庭用戶，經過幾代產品的發展，它的制造技術逐漸成熟，價格更趨于合理，市場競爭更加激烈.在數碼相機行業有佳能、索尼、奧林巴斯、尼康等領頭羊的公司，這幾個公司引導著數碼相機產業的未來，同時，國產品牌的數碼相機公司也在積極追趕，互相之間激烈的市場爭奪也在愈演愈烈.

縱觀整個行業現狀，不難看出，相機市場的整體結構，產品的價格定位，以及產品的普及度和關注度，都已經發生了巨大的變化，而產生這一變化，與人們對于新生事物的追求有關，與廠商大力推廣和促銷有關，更與人們生活水平的提高有關.

面臨競爭激烈的市場情況，如何能正確認識數碼相機發展趨勢，有針對性的提高市場營銷能力，增加市場占有率，對于業界的所有公司都十分重要.而基于一定量市場數據，對數碼相機市場中的某件龍頭產品的行情進行預測分析，往往能夠對其余的產品進行一定指導作用.在眾多對數碼相機市場進行分析的方法中，利用數學建模的方法建立數學模型[1]，將市場情況表征為函數關系式以簡明表示，有較為精準預測市場價格發展的作用，在分析數碼相機市場價格中占有重要地位.

本文基于如上考慮，以索尼公司A7系列數碼相機為主要研究對象，建立市場價格分析數學模型.

二、問題分析

在數學模型建立之前，需要確定加以深入考慮的變量，首先選取索尼A7系列相機在市場中的平均價格數據作為模型建立前的基準.將1月份的數據作為標準值，將其余月份的平均數據加以標準化，繪制折線圖.

對以上曲線結果進行簡單分析，可知：該品牌相機的市場價格和月份具有一定的相關性，結合常識可得，在旅游旺季，數碼相機的價格會相對較高，故選取月份作為主要考慮變量之一.

通過查閱相關資料，可以知道，影響索尼A7系列數碼相機市場價格的因素不僅有市場需求量，還有索尼公司的供應量，以及市場中的相關供應鏈上的供需平衡情況.

此外，由于在收集信息的方面和建模能力方面存在較多的限制條件，所以本次研究忽略了可能對索尼A7系列數碼相機的市場價格造成微弱影響的市場因素，僅考慮在供應鏈和市場需求量方面的變化對索尼A7系列數碼相機的市場價格造成的影響.利用此種類似于簡化法的方式對相關變量進行篩選，可以有效降低模型的復雜度.

三、方法選擇

為了更好地模擬索尼A7系列數碼相機的市場價格發展環境，在建立市場價格發展的數學模型時，需要考慮的要素通常有很多，相應的建立起來的數學模型就具有一定的復雜性，而通過這種方式建立的市場價格發展數學模型雖然能夠較為準確地模擬和預測索尼A7系列數碼相機的市場價格發展情況，但是在更廣泛的區域內不具有適用性，而且在建模過程中的計算量超出了建模的價值意義.在本領域最為常見的方法是基于直接數據進行擬合，但是考慮到本案例的數據獲取具有相當的局限性，且數據內生性無法規避，故棄用本方法[2].

綜合考慮各種因素后，本次研究選用的依據的理論和方法是常微分方程法.

常微分方程法，顧名思義是利用常微分方程對一個復雜系統中的一系列變量進行統合.一般包含如下幾個步驟：

第一步：提出實際問題，加以分析，確定式子中的因變量，自變量，不變量等.

第二步：根據實際問題的相關規律建立數學模型，即列出相關的常微分方程式.

第三步：嘗試解出該常微分方程，由于常微分方程的形式總是相對固定，所以其通解的形式和方法也相對固定，解決起來往往并不復雜.

第四步：解出方程的最終結果，分析之，來解釋或者對實際問題的發展進行預測，即通過數學語言總結實際情況，是重中之重[3].

四、模型建立

首先，假設在某一時刻t，所考慮的物品的單價為x（t）.而物品單價這一變量與這一時刻t中此種物品的市場需求量n（t）和供應量g（t）有關，并且，供需差和此種物品的單價之間具有相關性，相互影響，相互調節.拋開其他影響因素先不加以考慮，在這一時刻，列出此種物品的價格x（t），市場需求量和供應量之間的關系，如下式：

dx（t）dt=k×[n（t）-g（t）]，

其中，k為比例系數，在這里是一個常數.同時，可以知道，當t的取值趨向于無窮大的時候，滿足式子x（t）=x′，此處的x′也為一個常數，我們將它定為穩定價格，即相機的價格不變量.

通過對上述式子的簡要分析，可得出第一階的結論，即在t時刻這種物品的單價的變化率與供需差之間成正比關系.也就是說，在不考慮影響市場價格變化的其他因素時，就供需差而言，市場價格發展可以建立的數學模型就是最基本的常微分方程[4].

五、模型數據檢驗

為了驗證模型的準確性，選取2015年全年度數據作為主要數據集加以考查，其中供給量數據由廠商財務報告查詢得到，需求量數據由公司預測數據得到，銷量由年報得到，并將數據帶入最后式子，可得

x（t）=[1412.2-78.3]×e-0.3243+t+78.3，

再將結果與實際值進行比較，得出平均誤差率為219%，即準確率為68.1%，這一結果對于本模型來說，是相當不錯的結果.

六、模型缺陷和改進點

縱觀整個模型，主要缺陷在于模型的復雜度不能滿足實際需求，在一個衡量市場的復雜系統中，僅僅通過時間，需求量和供給量幾個簡單變量加以確定銷量的函數，并不能稱得上是完全準確的.在對本模型的進一步深入研究中，必須要考慮競爭者的存在來完善模型.在該研究層面上，將考慮多種外界因素的協同作用和反饋作用.同時，數據量的不足也會造成結果的準確性評估不具有一定的參考意義，這也是值得考慮的問題.

七、結 論

綜合以上的推導過程和函數結果，并進一步結合實際情況分析，我們可以得出結論，在以索尼A7系列為代表的一般數碼相機市場中，當時間推演趨近于無窮大時，其平均單價將會始終趨近于一個穩定值x′，這代表了通過整個市場的調節，一件商品的價值始終會圍繞一個固定值上下擺動，該固定值即為物品使用價值的一個表征.

利用數學語言加以說明，即如果在開始研究的時刻，即0時刻，初值即到了該穩定值，那么在研究過程中這種物品的單價將穩定在這個常數左右，沒有外力干擾時，不再變化.

在建立索尼A7系列數碼相機市場價格發展數學模型的過程中，運用常微分方程建立模型具有思路簡單，條理清晰的特點，但同時應用常微分方程法建模時，忽略了供應量和需求量之間的互相調配關系，也存在一定的不足.在僅考慮市場的需求量和供應量對某種物品的單價的影響的時候，通過常微分方程理論體系建立的某種物品的市場價格發展數學模型在誤差允許范圍內可以說是準確的，即可以用此模型預測某種物品的市場價格發展趨勢.

建立市場價格發展數學模型，不僅可以通過常微分方程進行模擬，也可以通過其他方式建立數學模型，但是經過對很多文獻的總結分析，可以發現，通過常微分方程的方法建立數學模型的過程最為方便準確.

【參考文獻】

[1]方芳.常微分方程理論在數學建模中的簡單應用[D].合肥：安徽大學，2010.

[2]張秋生.單步法求解常微分方程初值問題[J].科技通報，2012（2）：7-9.

[3]李寶萍.常微分方程在數學建模中的應用[J].赤峰學院學報（自然科學版），2012（21）：1-2.

[4]任瑞芳.常微分方程理論的形成[D].西安：西北大學，2008.