聚焦數學核心素養：高考數學命題的新趨勢

吳道春

摘 要：所有數學核心素養都是在數學基礎知識、基本技能、基本思想的基礎上經歷數學基本活動（四基）逐步達成的.學生是學習活動的主體，要讓學生體驗知識發現和問題解決的全過程，積累數學基本活動經驗.

關鍵詞：數學核心素養；高考命題；趨勢

近年，數學核心素養成了國內外數學教育理念和課程改革的共同聚焦點.正在修訂的《普通高中數學課程標準》對數學核心素養做出明確的界定：數學核心素養是具有數學基本特征、適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現.它是在數學學習的過程中逐步形成的，包括數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象、數學建模和數據分析六大要素.

這兩年（2016～2017）高考數學命題的趨勢已經悄然地轉向聚焦數學核心素養，試題重點考查學生的數學核心素養水平，呈現新的特征.下面，我們借助對2016～2017年江蘇高考數學試題的分析，研究聚焦數學核心素養的高考數學試題的結構特征，探索性地提出教學建議.

一、數學抽象的考查

例1 （2016年第20題）記[U={1，2，…，100}.] 對數列{an}和U的子集T，若T=[Φ]，定義ST=0；若T=[{t1，t2，…，tk}]，定義ST=[at1+at2+…+atk].現設{an}是公比為3的等比數列，當[T={2，4}]時，ST=30.（1）求數列{an}的通項公式；（2）對任意的正整數[k（1≤k≤100）]，若[T?{1，2，…，k}]，求證：[ST

例2 （2017年第14題）f（x）是定義在R 上且周期為1的函數，在區間[0，1]上，[f（x）=x2， x∈D，x， x?D，]其中[D]=[{x|x=n-1n ，n∈N?}]，方程f（x）[-]lgx=0的解的個數是 .

結構特征：這兩題都是將數列、函數等核心概念與集合相結合，構造的數學對象具有高度的抽象性，考查學生的數學抽象核心素養，如例1中的[SC，SD，SC?D]，例2中的f（x）.

教學建議：（1）首先，在平時的概念教學中，必須讓學生經歷數學核心概念的形成過程，學生要“悟透”概念的本質特征，在大腦中形成清晰的認知結構；（2）解決抽象問題的關鍵是化抽象為直觀，要引導學生恰當地“表征”問題.表征即問題在大腦中是如何表現出來的[1]，是大腦對問題包含的信息進行加工和重構后形成的對問題的本質特征的認知和表達.為使這種認知和表達簡潔而清晰，有利于分析和解決問題，應盡可能選用數學的語言、工具和結構或者熟悉的實物表示.例如，我們將上面兩題中的[SC，SD，SC?D]和f（x）分別用圖1、圖2表示.

由圖1易得“[SC≥SD]”等價于“[SE≥SF]”，“[SC+SC?D≥2SD]”等價于“[SE≥2SF]”，其中，[E=C??UD]，[F=D??UC].圖2是函數f（x）一個周期的圖象（本題表征的關鍵），通過平移可得區間（0，10]上的圖象，“f（x）-lgx=0的解的個數”等價于“函數y=f（x）與函數y = lgx在（0，10]上的圖象的交點的個數”.

二、邏輯推理的考查

例1略解：（1）[an=3n-1].（2）[ST≤a1+a2+…ak=3k-12<3k=ak+1.]

（3）當[E=Φ]或[F=Φ]時，易證[SE≥2SF]；當[E≠Φ]且[F≠Φ]時，設k，l分別為E，F中的最大數，則[3k=ak+1>SE≥SF≥al=3l-1]，[k>l-1]，又易知[k≠l]，所以[k≥l+1].

[2SF≤2（a1+a2+…+al）=3l-1<3l≤3k-1=ak≤SE]，即[SE≥2SF].綜上，[SE≥2SF]，

[（SE+SC?D）+SC?D≥2（SF+SC?D）]，即[SC+SC?D≥2SD].

例2略解：數形結合知在區間[1，2）上，函數y= lgx與函數f（x）的圖象有唯一交點（1，0）；在區間[2，3）上，設函數y= lgx與函數f（x）上部分圖象交點的橫坐標為[x0]，則[lgx0=（x0-2）2]，[x0]=[10（x0-2）2]，由[x0-2∈D]且為有理數知，左邊的[x0]為有理數，右邊為無理數，矛盾，交點不存在，函數y= lgx只與函數f（x）下部分圖象有一個交點.同理可得在區間[3，4），…，[8，9）上各有1個交點，共8個.

結構特征：（1）推理的起點是數學核心概念，如集合、數列、不等式、函數與方程、周期、數系等；（2）推理的執行需要具備數學基本技能，如畫（作）圖、集合的運算、數列的求和、不等式的證明、比較大小、周期性的應用、矛盾分析法等；（3）推理的方法源于數學基本思想，如數形結合、分類討論、轉化、極端化、函數與方程思想、矛盾思想、對應思想等.

教學建議：（1）核心概念的教學，必須留給學生充分的“思辨”時間，學生必須理解清楚數學核心概念的內涵和外延，理解概念之間、概念和建立在它本身基礎上的命題之間的關聯；（2）摒棄“題海戰術”，開啟“精準練習”模式，掌握“通性通法”；（3）結合特定的問題，引導學生感悟數學基本思想，這是學生數學素養的養成和解題能力提升的關鍵，是數學教學活動的點睛之處.

考查邏輯推理的試題很多，由于文章篇幅有限，不再列舉.我們把2016～2017年江蘇高考數學試題涉及的數學基本思想羅列如下：數形結合、分類討論、轉化、函數與方程思想、概率與統計思想、歸納與類比思想、分析與綜合思想、特殊化與一般化思想、整體與局部思想、猜想與論證思想、坐標思想（直角坐標、空間坐標、向量坐標、極坐標等）、極端化思想（極端、極限或臨界情形，最大化，最小化等）、有序化思想、矛盾思想、對應思想、消元思想、算兩次思想、補集思想、遞推思想、對稱思想、變換思想、組合思想、模型思想等.我們建議教師可以嘗試以這些基本思想為主題開設系列專題課.

三、數學運算的考查

例3 （2016年第13題）在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，[BC]·[CA=4]，[BF·][CF=-4]，則[BE·CE]的值是 .（圖略，下同）

例4 （2017年第12題）平面內向量[OA]，[OB]，[OC]的模分別為1，1，[2]，[OA]與[OC]的夾角為[α]，tan[α]=7，[OB]與[OC]的夾角為45°.若[OC]=m[OA]+n[OB]，則m+n= .

例5 （2017年第17題）橢圓E：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦點為F1，F2，離心率為[12]，準線之間的距離為8.點P在橢圓E上且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2.（1）求橢圓E的標準方程；（2）若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標.

結構特征：（1）運算的方法是關鍵，如例3，關鍵是要把向量用基底表示，歸根結底考查的是向量的一個核心運算思想——坐標思想，例4也可用坐標思想；例5考查的主要是方程思想；（2）運算的方向（從哪里開始算，往哪里算）需要探究，如例5，可以選擇設點P的坐標，從點P開始往點Q算，也可以選擇其他的方向；（3）運算的執行需要熟練運用公式、一定的技巧、耐心、細心，輕松地算出結果不容易，如例4、例5；（4）解析幾何題，如例5以及2016年第18題，題目的結構很“簡明”，都是以基本對象（如橢圓、圓、直線等）和基本特征（如焦點、離心率、準線、交點、弦、平行、垂直等）為元素進行“簡明的組合”而成，考查的是基本運算，但對運算素養的要求較高.

教學建議：（1）數學運算的方法源自數學運算基本思想，在平時的教學過程中，教師要引導學生感悟數學運算的基本思想，如坐標思想、函數思想、方程思想、整體思想、換元思想、消元思想、參數思想、類比思想、對稱思想、遞推思想等；（2）不管是運算方法的選擇，還是運算方向的探究，一是靠“經驗”，二是靠“靈感”，三是靠“試誤”，試誤即不斷地嘗試和改進，最后成功，它是探究活動的形式和特征；（3）在一定量的運算訓練中，提高數學運算的熟練程度，發現技巧，培養耐心和細心的習慣等；（4）摒棄“繁、難、偏”的題型，在提高學生基本運算的素養上下功夫.

四、直觀想象的考查

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的思維過程.主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、