“好玩”的數學不解之緣

哈爾濱師范大學研究生 馬正方

辯證法認為：一切客觀事物都是互相聯系的，都是具有內部規律的。憶往昔，是什么遺傳千古的留念？是什么增添數學的容顏？看今朝，是什么譜成數學的新篇？是什么存在不解之緣？馬躍躍啊路漫漫，我上下求索找答案！

一、數列接龍與幻方的不解之緣

“三項制”（等比等差這兩種數列均為三項）數列接龍以“1、2、4”“1、3、9”“1、4、16”之類開頭的項數無限的數列，該數列和傳統文化的幻方存在莫名其妙的不解之緣！如此這般，可以設計兩種“找朋友”的數學游戲。

第一種“找朋友”：

以幻方（圖1）為參照系，根據數列接龍“1、2、4、6、9、12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90、100、110、121……”之中的任意連續九項的數字“對號入座”。這就是說，該連續九項的數字之中，各個數字按先后次序是第幾個數字，該數字就按參照系所寫的同樣數字所處的位置，在另一個事先準備的空白幻方圖案之中填寫該數字。如此這般，“對號入座”式地填滿整個空白的幻方圖案（如圖2）。進一步具體舉例說明：根據任意選擇的數列接龍之中的九個數字“1、2、4、6、9、12、16、20、25”，這九個數字接先后次序排號分別為第1號、第2號、第3號之列；圖2之中的2是根據圖1這個參照系之中的2所提示的第2號，把九個數字的第2號數字“2”填寫在此位置；圖2之中的16是根據圖1之中的7所提示的第7號，把第7號數字“16”填寫在此位置。如此這般“對號入座”而成為圖2。

圖1

圖2

這里任意的連續九項的數字是前面提出的數列接龍之中靠前的九個數字（這樣比較簡明）。如圖2所示，兩行數字相加之和相等：2+16+12=6+4+20=30；兩列數字相加之和相等：2+25+6=12+1+20=33。如此這般，和數相等可謂“朋友”。

第二種“找朋友”：

圖3

圖4

以幻方（圖3）為參照系，還根據（這樣比較簡明）前面的數列接龍進行，并且“對號入座”式的方法照樣使用。

這里任意的連續十六項的數字仍然是前面提出的數列接龍之中靠前的十六個數字“1、2、4、6、9、12、16、20、25……72”。如圖4所示，兩行數字相加之和相等：56+16+36+2=64+12+30+4=110；1+42+20+49=6+25+9+72=112。兩列數字相加之和相等：56+1+6+64=2+49+72+4=127；16+42+25+12=36+20+9+30=95。兩條對角線數字相加之和相等：2+20+25+64=56+42+9+4=111。如此這般，和數相等可謂“朋友”。

下面再舉三個例子，方法依然如前所述“對號入座”。也就是說，任意截取數列接龍（“三項制”）“1、2、4、6、9、12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90、100、110、121……”之中的滿足項數需要的一段數列（如本兩個例子的十六項數列接龍“12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90、100、110、121”），然后按所截取的數列之中的各個數字的先后次序“排號”,各個數字根據“號數”（如1號、2號、3號等），按照參照系之中相同的數字所處的位置，從而在另一個事先畫好的相同圖案之中相同的位置進行“對號入座”式的填寫（如圖6、圖8、圖10所示）。

圖5

圖6

如圖6所示，兩行兩列數字相加之和相等：16+90+49+72=56+36+110+25=100+72+30+25=81+90+20+36=227；另外兩行兩列數字相加之和也相等：42+81+12+100=121+20+64+30=42+16+121+56=12+49+64+110=235。如此這般，和數相等，可謂平等友好的“朋友”??！

圖7

圖8

如圖8所示，兩行和一條對角線數字相加之和相等：56+16+6+25=20+49+30+4=36+49+6+12=103；兩行和一條對角線數字相加之和相等：1+42+64+12=36+2+9+72=1+16+30+72=119；兩列數字相加之和相等：1+56+20+36=12+25+4+72；42+16+49+2=64+6+30+9=109。如此這般，和數相等可謂平等友好的“朋友”??！

圖9

圖10

如圖10所示，兩行兩列數字相加之和相等：20+36+49+2=64+6+12+25=56+36+6+9=42+49+12+4=107；1+56+42+16=30+9+4+72=1+20+64+30=16+2+25+72=115。如此這般，和數相等，可謂平等友好的“朋友”??！

如前面的圖1、圖3、圖5、圖7、圖9所示，各個參照系都是從前流傳下來的比較典型的幻方。圖1正是古典的流傳極廣的九宮算幻方，因此，筆者特意選擇這幾個幻方作參照系。參照系不是固定不變的，可以根據掌握的幻方更換參照系。一個幻方作為參照系可供任何“三項制”的數列接龍“對號入座”使用。較多參照系，可以使數列接龍的表現多樣化。

由于作為參照系的幻方存在一定的特殊性，和數相等的等量關系在特殊情況下表現不明顯，因此不容易被人發現。例如有的等量關系表現在中間兩行的8個數之和與兩條對角線的8個數之和相等，兩列的8個數之和與另外兩列的8個數之和相等。

幻方屬于優秀的中華傳統文化，文化自信、理論自信需要繼往開來，不斷創新。數學是基礎學科，數學是宇宙的語言。數學具有精準求是之真，化愚增智之善，簡潔和諧之美。隨著時代的進步和科學的發展，“組合數學”的作用得以彰顯，各類數學互相交融組合，往往產生規模效應。讓數聯合起來成為數列，又讓數列聯合起來成為數列接龍，再讓數列接龍產生上不封頂的高次方程，從而讓數列接龍和幻方聯合起來產生莫名其妙的不解之緣，如此這般的數學組合正是筆者努力創新的激情嘗試。任何創新的初生階段都不會盡善盡美，敬請尊師指教！

穿越時空，讓新生的數列接龍和古老的幻方產生不解之緣：如圖2、圖4、圖6、圖8、圖10統稱數列接龍方陣，數列接龍方陣就是幻方的半成品，幻方的等量關系在數列接龍方陣之中形式不同地存在著。然而，數列接龍方陣的等量關系并不像幻方那樣顯眼直白，需要人的觀察力而好玩，因此，數列接龍方陣不是幻方勝似幻方，真可謂青出于藍而勝于藍。

數列接龍方陣具有可操作性：編制一個數列接龍方陣比編制一個幻方容易得多。只要手中掌握幾個現成的四階（十六個方格）幻方作為參照系，就能夠用以“1、2、4”開頭的數列接龍之中的任意連續十六個數字經過“排號”而“對號入座”地編制成一個乃至無數個數列接龍方陣（由于接龍無限量而數字無窮多）。數列接龍方陣具有趣味性：發現其中不固定而多變的等量關系需要一定的觀察、想象、思考、計算、判斷等能力，還需要一定的情商。數列接龍方陣是寓教于樂、寓科于趣、寓理于情（如“找朋友”）、寓學于玩，從而進行素質教育的好教材！

科學需要猜想、聯想、幻想之類的想象體現參考價值（下文對引力波也是如此），它山之石可以攻玉！數學是宇宙的語言??！作為參照系的幻方恰似生物的基因，基因的改變而使數列接龍的數字落實在方陣上也隨之改變并且規律性的表現發生變化。聯想到“轉基因”農作物，不正是如此嗎？大千世界的生物不正是和基因息息相關嗎？

二、數列接龍與五角星的不解之緣

（1）以1為首項的連續十項的數列接龍“1、2、4、6、9、12、16、20、25、30”按一定次序安排在五角星的十個兩線交點之上，并且組成五角星圖案的五條線段，每條線段上不相鄰（相隔一個數）的兩個數相加之和，較大的和數減去較小的和數所得的差數寫在該線段一側的星角內：

圖11

如圖11所示，（1+20）-（2+16）=3，（6+25）-（9+20）=2，（4+16）-（6+12）=2，（2+30）-（4+25）=3，（1+30）-（9+12）=10，并且3+2+2+3=10。

（2）以2為首項的連續十項的數列接龍“2、4、6、9……36”按一定次序安排在五角星上，以后的程序如同（1）一樣（具體程序從略），請見圖12。

圖12

圖13

（3）以4為首項的連續十項的數列接龍“4、6、9、12……42”按一定次序安排在五角星上，以后的程序如同（1）一樣，請見圖13。

（4）以6為首項的連續十項的數列接龍“6、9、12、16……49”按一定次序安排在五角星上，以后的程序如同（1）一樣，請見圖14。

圖14

如前面的（1）（2）（3）（4）所述，五角星的五個星角上的數字以“3、2、2、3、10”和“3、2、1、4、10”這樣的旋律而循環往復地體現以“1、2、4”開頭的等比等差數列接龍。“3、2、2、3、10”和“3、2、1、4、10”的不同而體現對立統一規律。

數學是宇宙的語言，具有獨特的深刻性和哲理性，數學抽象地述說宇宙萬物所存在的規律性。宇宙萬物不以任何動物的主觀意志為轉移，而按一定的客觀規律存在著。宇宙間所存在的引力波如同旋律圖所示而以一定的旋律波動著，不可能“亂作為”！筆者如此大膽猜想，是由于歷史表明：推動科學的發展需要想象的假說！

定義7 設X為一非空集合，υ1=(A1,λ1),υ2=(A2,λ2)是定義在X上的兩個智立方集，則υ1和υ2之間的可能度公式為

如上所述，以“1、2、4”這樣“三項制”開頭的等比等差數列接龍不僅和幻方存在不解之緣，而且和五角星也存在不解之緣??！難怪數學就是以數和形為主題的學問啊！學問啊學問，學問是什么？學問就是把原本簡單的東西復雜化，又把原本復雜的東西簡單化。當然，如此之化不是瞎化，而是科學化！就拿以“1、2、4”開頭的數列接龍來說吧，如此接龍比較麻煩，但是這樣做的好處是可以鍛煉思維和計算的能力。如果想要把接龍進行得輕松快捷，可以如此對接龍進行簡單化處理。以下揭示該數列的規律：

1、2、4、6、9、12、16、20、25、30……該數列從第二項開始，各項減去前項之差為：1、2、2、3、3、4、4、5、5……掌握了這個規律，就輕而易舉地在30這個數字之后依次對各數加上“6、6、7、7、8、8、9、9……”從而順理成章了。例如：30+6=36，36+6=42,42+7=49,49+7=56……如此這般依照“2、2、3、3、4、4……”這樣成雙成對的自然數列順藤摸瓜，以“1、2、4”開頭的等比等差數列接龍就快捷地實現了。

舉一反三，觸類旁通。如上所述的關于以“1、2、4”開頭的等比等差數列接龍，然而其他關于以“1、3、9”“1、4、16”“1、5、25”之類開頭的所有“三項制”等比等差數列接龍均和如上所述的“1、2、4”開頭者具有類似的規律，并且均和幻方、五角星產生不解之緣。

例如以“1、3、9”開頭的等比等差數列接龍：

1、3、9、15、25、35、49、63……該數列從第二項開始，各項減去前項之差為2、6、6、10、10、14、14……，從而構成以2為首項和以“6-2=4”為公差的關于2和一系列成對的自然數所形成的等差數列。

例如以“1、4、16”開頭的等比等差數列接龍：

1、4、16、28、49、70、100、130……該數列從第二項開始，各項減去前項之差為3、12、12、21、21、30、30……，從而構成以3為首項和以“12-3=9”為公差的關于3和一系列成對的自然數所形成的等差數列。

例如以“1、5、25”開頭的等比等差數列接龍：

1、5、25、45、81、117、169、221……該數列從第二項開始，各項減去前項之差為4、20、20、36、36、52、52……，從而構成以4為首項和以“20-4=16”為公差的關于4和一系列成對的自然數所形成的等差數列。

如上所述，各個數列接龍所形成的等差數列“1、2、2、3、3、4、4……”“2、6、6、10、10、14、14……”“3、12、12、21、21、30、30……”，如此這般，“三項制”數列接龍，所有出現的等差數列必然出現公差成為12、22、32、42這樣一系列情況。

例如以“1、3、9”開頭的等比等差數列接龍：1、3、9、15、25、35、49、63、81、99、121……，如前面關于“1、2、4”開頭的數列接龍一樣，連續十項把“1、3、9、15、25、35、49、63、81、99”和“3、9、15、25、35、49、63、81、99、121”分別按一定次序安排在五角星上，每條線段上不相鄰的兩個數相加之和，較大的和數減去較小的和數所得的差數寫在該線段一側的星角內：

圖15

圖16

如圖15和圖16所示，五角星的五個星角上的數字必然以“12、8、8、12、40”和“12、8、4、16、40”這樣的旋律而循環往復體現以“1、3、9”開頭的等比等差數列接龍。

又例如以“1、4、16”開頭的等比等差數列接龍：1、4、16、28、49、70、100、130、169、208、256……，如同前例關于“1、3、9”那樣處理，如圖17和圖18所示：

圖17

圖18

如圖17和圖18所示，五角星的五個星角上的數字必然以“27、18、18、27、90”和“27、18、9、36、90”這樣的旋律而循環往復地體現以“1、14、16”開頭的等比等差數列接龍。另外，如圖11、圖15、圖17所示，五角星左下角內的數字分別是10、40、90，如果是以“1、5、25”開頭的等比等差數列接龍，那么左下角內的數字必然是160；如果是以“1、6、36”開頭者，那么左下角內的數字必然是250。總而言之，各個數字均為自然數的平方數和零所組成的數字。

前面已經指出，所有的“三項制”等比等差數列接龍都和幻方有不解之緣。再舉一例如下：

以幻方（圖3）為參照系，以“1、3、9”開頭的數列接龍前十 六 個 數 字“1、3、9、15、25、35、49、63、81、99、121、143、169、195、225、255”對號入座地填寫至圖19之中。

圖19

如圖19所示，中間兩行兩列的數字之和分別相等：1+143+63+169=15+81+25+255=376，49+143+81+35=121+63+25+99=308；其余兩行兩列的數字之和分別相等：195+49+121+3=225+35+99+9=368，195+1+15+225=3+169+255+9=436；兩條對角線上的數字之和相等：3+63+81+225=195+143+25+9=372。

綜觀全篇文章，分中有合，合中有分。分中有合就是把等比等差兩種數列合在一起成為等比等差數列接龍；合中有分就是把等比等差數列接龍分成各段數字，從而把每段按一定次序安排在幻方圖案和五角星圖案之中來分析驗證一定的規律。如此這般，數形結合，指點圖案，激揚數字，數學世界的新大陸任你盡情游玩。正如數學大師陳省身所說：數學好玩。

再例如以“1、2、4”“1、3、9”“1、4、16”之類開頭的項數無限的數列，該數列之中的任何連續十項的奇數項（或偶數項）按一定次序安排在五角星上，每條線段上不相鄰的兩個數相加之和，較大的和數減去較小的和數之差寫在該線段一側的星角內。例如把“1、2、4”開頭的這樣“三項制”數列之中的奇數項1、4、9、16、25、36、49、64、81、100以及偶數項 2、6、12、20、30、42、56、72、90、110分別安排在圖20和圖21之中進行如上所述的加減處理（如（1+64）-（4+49）=12）：

圖20

圖21

如圖所示，兩圖之中星角內的五個得數一模一樣，并且和以前介紹的五角星存在同樣的規律性：12+8=6+14，12+8+6+14=40。其他“三項制”等比等差數列接龍也具有如上所述的類似情況。

如此這般，充分體現出數學的和諧之美！如圖21所示，五角星的左下角內的數字是40。如果是以“1、3、9”開頭的等比等差數列接龍，那么該角內的數字必然是160；如果是以“1、4、16”開頭，那么該角內的數字必然是360。總而言之，各個數字均為2、4、6之類偶數的平方數和零所組成的數字。

例如：以“1、3、9”開頭的等比等差數列接龍“1、3、9、15、25、35、49、63、81、99、121、143、169、195、225、255、289、323、361、399……”，把該數列的連續十項的奇數項1、9、25、49、81、121、169、225、289、361按一定次序安排在五角星上（如圖22）并且如圖20所示進行處理：

圖22

又例如：以“1、4、16”開頭的等比等差數列接龍“1、4、16、28、49、70、100、130、169、208、256、304、361、418、484、550、625、700、784、868……”，把該數列的連續十項的偶數項4、28、70、130、208、304、418、550、700、868按一定次序安排在五角星上（如圖23）并且如圖21所示進行處理：

圖23

如圖22所示，如果是連續十項的偶數項，星角內的五個得數也是同樣。如圖23所示，如果是連續十項的奇數項，星角內的五個得數也是同樣，都一模一樣??！

大江入海，君者自來。望大江南北、長城內外，無限風光多氣派！日月放光明，數學天地帥。數海蕩舟多好玩，快樂人生唱豪邁！