高等數學中幾種重要的求函數極限的方法

河南省質量工程職業學院基礎教學部 趙曉艷

“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這是戰國時期莊子在他的《天下篇》記載的惠施的一段話。也就是說一尺長的木棒，第一天取去一半，還剩二分之一尺，第二天再在這二分之一尺中取去一半，還剩下四分之一尺……按照這樣的方法繼續分下去，原來一尺長的木棒會越來越短，但是即使越來越短，也不能把這根木棒減為零。總之，當分割次數越多，木棒就變短，在長度上越來越接近于零。公元3世紀，我國著名數學家劉徽在解讀《九章算術》時創立了割圓術，他第一次將極限思想引入數學學習當中。具體的步驟為：將圓進行等分，三等分、六等分、十二等分……一直進行下去，圓被分割得越來越細，圓的內接正多邊形的邊長就越短，內接正多邊形的周長越來越接近于圓的周長，當分割無限細時，正多邊形周長就和圓周長之間的誤差就越來越小，直至變為零，這時正多邊形周長就等于圓周長。正多邊形算到了3072邊形，由此求出的圓周率為3.1416，這個數據是當時最精確的數據。劉徽的割圓術是人類歷史上第一次把極限思想引入到數學學習中，在當時具有劃時代的意義，是當時數學界的一個偉大的里程碑。后來我國數學家祖沖之又對圓周率有了更進一步的研究，祖沖之研究出來的成果是當時世界上最早也是最準確的數據，祖沖之用這個方法把圓周率的值計算到小數點后七位。捷克的著名數學家波爾查諾后來在極限思想啟發的基礎上，創立了導數的定義，但是他沒有能對極限思想進行準確描述。直到19世紀，法國著名數學家柯西以前人的工作經驗及成果為基礎，對極限的概念以及它的理論進行了較為完整的論述，即：“當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫作所有其他值的極限值。特別地，當一個變量的數值(絕對值)無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小。”柯西將無窮小看作一個變量，且這一變量的極限值是0，這就使得關于對無窮小的“似零非零”的模糊認識進行了澄清。換句話說，就是指變量在變化的過程當中是趨近于零的，但它的值是非零，只是無限地與零接近。 為了將極限概念當中存在的直觀痕跡徹底排除，維爾斯特拉斯提出了靜態的關于極限的定義，為微積分理論奠定了堅實的基礎。所謂an=A的含義就是如果對任何ε＞0，總存在自然數N，使得當n＞N時，不等式|an-A|＜ε恒成立。這個定義就是以不等式為依據，通過N跟ε之間的關系，具體地、定量地對兩個“無限過程”之間的相互聯系進行了刻畫。我們知道這樣的定義是相當嚴格的，能夠作為進行科學論證的基礎依據，至今仍在數學分析書籍中使用。在這個定義當中，僅僅涉及了數以及數的大小關系，此外，只是給定、存在、任取等詞語，已經不再求助于運動的直觀，成功擺脫了“趨近”一詞。

一、兩個特殊極限（以及對兩個重要極限的重要補充）

在高等數學學習當中，經常會遇到無窮小量商的問題，很多含有正弦函數等類型，下面我們先介紹兩類特殊極限公式，接下來我們給出例子詳細做出解答。

二、等價無窮小代換

在對無窮小比無窮小求極限的過程中，可以把分子或分母中的某個因子用等價無窮小替換，加減時一般不能用等價無窮小替換，求極限時使用等價無窮小的條件：（1）被代換的量，在去極限的時候極限值為0。（2）被代換的量，作為被乘或者被除的元素時，可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。無窮小就是以數零為極限的變量。然而常量是變量的特殊一類，就像直線屬于曲線的一種。確切地說，當自變量x無限接近某個值x0（x0可以是0、∞或是別的什么數)時，函數值f（x）與零無限接近，即f（x）=0，則稱f（x）為當x→x0時的無窮小量。等價無窮小替換只是求極限的一種方法，它能配合其他方法，比如無窮小的性質：無窮小和有界函數乘積仍是無窮小，或者上述的兩類特殊極限配合一起使用，使求函數極限變得簡單可行。下面我們給出幾對常用的等價無窮小替換的式子，還有其他類型公式大家自己推導。第一類推導方法就是求 時，求出兩個函數商的極限為1，近似相等。第二種解釋為用近似計算公式，在此近似計算公式中，令 ， ，即可得到用此變形公式可得到如下解釋等價無窮小替換的另一個方法：當 時，常見的幾對等價無窮小代換，sinx和x，tanx和x，arcsinx和x，arctanx和x，1-cosx和ln（1+x）和x，ex-1和x，

接下來我們再研究一個例子，函數和上例相同，但是x趨近方式不同，運用的方法也就產生了本質的差別用特殊極限的變形公式求得函數極限）

三、洛必達法則

我們知道，在求極限時，常會遇到兩個無窮小之比的極限或兩個無窮大之比的極限，這些極限有的存在，有的不存在，通常稱這類極限為“未定式”。利用第一章的方法求未定式的極限通常是困難的，本節介紹一種簡單而有效的方法——洛必達(L'Hospital)未定式的極限求法。

若當 時，f(x)、g(x)均趨于0或者，則稱相應的極限為型未定式。洛必達法則是解決求解型與型極限的一種有效方法，利用洛必達法則求極限只要注意以下三點：

2.洛必達法則是分子與分母分別求導數，而不是整個分式求導數。

3.使用洛必達法則求得的結果是實數或∞（不論使用了多少次），則原來極限的結果就是這個實數或∞，求解結束；如果最后得到極限不存在（不是∞的情形），則不能斷言原來的極限也不存在，應該考慮用其他的方法求解。

注：洛必達法則條件滿足，則函數極限一定存在（但方法未必采用洛必達法則）（存在或者 ）。如果洛必達法則條件不滿足，并不能說明極限不存在，此時不能用洛必達法則求函數極限，可采用其他方法求出極限。

此篇文章先是介紹了兩類特殊極限，然后又給出等價無窮小替換的方法介紹和例題，最后介紹了洛必達法則運用的條件和類型，然后又介紹了幾種可化為洛必達法則不定型的幾種類型的通常解法，其中包括冪指函數的幾種類型和其解法，使我們對極限的幾種特殊解法有了更加深刻的認識，具有很大的現實意義。

[1]同濟大學數學系．高等數學[M]．北京：高等教育出版社，2011： P138．

[2]伍勝霞．高等數學[M]．北京：北京大學出版社，2011：P86．

[3]劉忠東．高等數學[M]．重慶：重慶大學出版社，2015：P126．

[4]李忠．高等數學[M]．北京：北京大學出版社，2012：P87．

[5]上海大學理學院數學系[M]．上海：上海大學出版社，2006：P87．