計算機數學公式的立體結構運算算法

周超

摘 要 在數學的學習研究，以及一切用到數學的地方，數學公式是無法離開的東西，數學公式使抽象的數學具體化成為了一種人類可以理解并交流的語言。然而在數學發展的幾千年中，參與者只有人類自己，自然而然的數學公式的發展也是向著符合人類思考方式的方向發展。本文結合計算機技術對數學公式的立體結構進行了研究。

【關鍵詞】數學公式 計算機 立體結構

1 結構概述

在數學的學習研究，以及一切用到數學的地方，數學公式是無法離開的東西，數學公式使抽象的數學具體化成為了一種人類可以理解并交流的語言。

然而在數學發展的幾千年中，參與者只有人類自己，自然而然的數學公式的發展也是向著符合人類思考方式的方向發展。

現在隨著計算機的發展，數學的研究已經不止人類一個參與者，從幾十年前數學就已經離不開“計算機”這個強有力的參與者，然而這幾十年中計算機的參與過程一直強行使用人類的數學語言，導致處理過程較為復雜。

現在使用的主要數學公式由阿拉伯數字，英文字母，希臘字母，以及一些專用符號組成，其結構為線性的字符組合。

我所構建的結構其組成元素與傳統數學公式沒有太大不同，其區別主要在于結構上是立體的樹形圖，而不是線性結構（數組）。這樣做的優點是式使公式更加接近數學本身，舉例來說：

如圖1所示，（a+b）*（a-b）在傳統的表現形式中是這個樣子，其數學含義是兩個部分相乘，但是從公式來看他是一串沒有本質差別的信息，人類可以方便的通過*將其分割成兩部分并且明白兩部分間的關系，然而計算機處理就需要強行模仿人類的這一過程，找到“*”并且將其分割為兩部分。如果再加上“+”，“-”括弧等處理起來將會十分麻煩，而在我的結構中這個公式是一棵樹，首先是分為（a+b）與（a-b）這兩部分，（a+b）又分為a，b兩部分（a-b）同理。

通過這種結構能夠節省計算機資源，開發人員在開發相關程序時也能更加輕松，簡單。當然，因為進行各種工作的過程中離不開人的參與，所以必然會牽扯到傳統類型公式的處理，采用我的結構后這種處理只需要進行一次，既將字符串轉化為立體公式的過程，這一過程可以采用統一的封裝起來的方法，開發人員需要操作的只有適合計算機處理的立體結構了。

2 立體結構公式詳解

首先，我們需要了解運算符，我將運算符分為兩種，第一種：表示數據關系的關系類型，即四則運算與括弧。第二種：對單個數據進行處理的操作類型，如乘方運算，三角函數運算等。對于第二種又分為兩類，有操作數的：如乘方運算，無操作數的：如三角函數運算。

構建立體結構公式的第一步是根據關系類型運算符建立主要框架：

關系類型運算符所代表的關系并不是數據之間的關系而是與整個公式的關系，如“a+b”中的“+”并不是說“a”與“b”之間的關系是加，是指“b”與公式的關系是公式整體加上了“b”，“a”前其實隱含一個加號也就是“+a+b”，“a*b”也是如此。

乘除運算的優先級高于加減運算，也就是說乘除符號代表的是更加細致的數學結構，如“a+b*a”這個公式中‘*表示的是“a”與“b*a”這部分的關系，而‘+表示的是“b*a”與整個公式的關系。建立框架的第一步自然是要首先分析更宏觀的部分即加減運算，首先分析加減號（同級括弧外），在這個例子中存在兩個加號，第一級也就是由兩個加號分割而來的兩部分這樣也就形成了+a這個葉子與+（b*a）這棵子樹，圖2‘*又將（b*a）分割為*b與*a兩個葉子圖3。那么整體的結構也就構建完成圖4。

考慮括號后構建會稍微復雜一些，括號會獨立成為一棵子樹并使其中的節點深度加一，因此在構建框架時要注意區分分隔符是否在同級括號內，如a+b+c圖5a+b+（c）圖6a+（b+c）圖7。

每一個葉子都含有兩部分信息，即運算符與基本元素，而子樹節點上的內容只有運算符本身，其他信息包含在其孩子內。

構建立體結構公式的第二步是根據操作類型運算符完善結構：

操作類型運算符所操作內容必定是一個葉子或一棵子樹，因為一棵子樹中可以只包含一個葉子，所以為了方便默認操作類型運算符所操作內容是一棵子樹。如“a+sin23”圖8“a+sin（20+a）”圖8。

對于有操作數的操作類型運算符，操作數與操作內容類似為一棵子樹，然而操作數只是運算符的一個屬性所以不能算作主要樹的一部分，因此結構需上升到的三維結構如“a+b^（b+20）”其中包含兩棵樹圖10、圖11，相互關系為包含關系，但并不是樹與子樹的關系，而是通過一個運算符建立的間接的包含關系圖12。

自此已經可以完整的構建比較復雜的數學公式如“a+b+（sin（x^2）-（z/b）+ab）”圖13。

注：“節點”“樹”等相關名詞為“數據結構”相關內容

作者單位

青島理工大學（臨沂） 山東省臨沂市 273400