基于保護映射理論的航空發動機LPV/PI控制

周 黎，葉志鋒，肖玲斐

（南京航空航天大學江蘇省航空動力系統重點實驗室，南京210016）

0 引言

航空發動機是1個強非線性復雜系統，在范圍寬廣的飛行包線內工作時，其工作狀態隨外界變化而不斷變化[1]。傳統非線性系統的控制方法為變增益控制方法，其基本思想是對非線性模型中的一些穩定設計點進行線性化以獲得對應各點的線化模型，然后針對各線化模型分別設計控制器，運用擬合或切換的方法將各控制器聯系起來[2]。在傳統變增益控制器的設計過程中，每個設計點設計的控制器都能滿足控制系統的性能要求，但是難以保證系統的全局控制性能[3]。同時傳統變增益控制方法對所選取的設計點數量依賴程度較大，由于所選取的設計點數目越多，控制效果越好，采用這種控制器的設計過程工作量較大。目前，航空發動機控制方法的研究成果較多，但在工程實踐中，應用最多的仍是原理簡單、可靠性高和易于實現的 PID（Proportion Integration Differentiation）控制[4]。常用的PID控制器的整定方法有經驗法和響應曲線法等，但這些方法僅能使系統在設計點具有較好的動態響應，無法保證整個系統的控制性能。

Saydy等[5]提出的保護映射理論可分析參數化矩陣族和多項式的廣義穩定性；文獻[6]將保護映射理論首次用在飛機控制系統設計中，通過目標穩定區域的確定來表示飛行操縱品質指標；文獻[7]將保護映射理論、LQR技術和遺傳算法三者相結合，設計出1種新的控制方法；文獻[8]將保護映射理論應用在高超聲速飛行器的控制方法設計中，使得高超聲速飛行器在大范圍包線內工作時能夠保持穩定。

本文將基于保護映射理論的控制方法應用于航空發動機控制中，其無需在多個設計點分別進行控制器設計，可通過初始控制器直接獲得整個調度參數變化范圍內的控制器，能夠解決傳統變增益控制方法所存在的難以保證全局控制性能問題。

1 航空發動機LPV模型

航空發動機非線性模型

式中：f（g）和g（g）是連續可微的，其LPV模型為

式中：狀態向量x∈Rn；輸出向量y∈Rm；控制向量u∈Rp；調度參數向量ρ∈Rj，其值隨時間變化不斷改變；A（ρ）、B（ρ）、C（ρ）和 D（ρ）為系數矩陣，其所有元素與ρ存在函數關系[9]。

研究對象為某型雙轉子渦扇發動機。所采用的發動機參數均為相似歸一化后的相對參數，通過對發動機參數進行相似歸一化處理，可以避免因各物理量之間很大的數量級差別而導致建模精度降低。航空發動機為多變量系統，其控制系統存在多個通道。輸入量僅選擇主燃燒室的供油量增量ΔWf，輸出量為高壓轉子轉速增量Δnh，狀態變量為低壓轉子轉速增量Δn1和高壓轉子轉速增量Δnh，建立線化模型，并進行控制器設計。航空發動機的主系統加減速仿真主要包括慢車到中間狀態加減速、85%轉速到中間狀態加減速、中間狀態到慢車以及到中間狀態遭遇加速等過渡過程[10]。在控制器設計時所考慮的發動機狀態過程為85%轉速到中間狀態。

采用的LPV建模方法為雅克比（Jacobian）線性化建模法[11]，首先，選擇高度H=0 km、馬赫數Ma=0的工作點為設計點，高壓轉子轉速nh為調度參數，其變化范圍為[0.85，1.05]，在該區間采用線性化方法[12]得到不同高壓轉子轉速點的狀態變量模型；然后，為提高模型的精確度，將調度參數nh歸一化到[0，1]的范圍內，即∈[0，1]；最后，對狀態變量模型的所有系數矩陣進行多項式擬合，擬合后的模型為

式中：x=[Δn1Δnh]T；u=ΔWf；y=Δnh。

通過大量仿真對比，并綜合模型對擬合精度和效率的要求，進行3階多項式擬合。j=1,2）擬合后為

擬合曲線分別如圖1、2所示。從圖中可見，擬合存在一定誤差，但由于PI控制的強魯棒性，后續仿真表明其對控制效果的影響較小。

圖1 aij的擬合曲線

圖2 bij的擬合曲線

為了對所建LPV模型進行仿真驗證，選擇任意2個轉速點nh=0.9019和nh=0.9840，LPV模型和非線性模型在相同階躍輸入下，計算得到高壓轉子轉速響應曲線分別如圖3、4所示。

圖3 n h=0.9019時模型的高壓轉速響應曲線

圖4 n h=0.9840時模型的高壓轉速響應曲線

從圖3、4中可見，將LPV模型與非線性模型的轉速階躍響應進行比較，跟蹤效果較好，雖存在一定的穩態誤差，但是穩態誤差較小，可利用控制器消除其對控制系統的影響。

2 保護映射理論

矩陣廣義穩定性集合S（Ω）定義為

式中：Ω為復平面內的開集；Λ（M）為矩陣M的所有特征值的集合[13]；S（Ω）表示所包含的矩陣在Ω區域內保持穩定。

定義1：矩陣Rn×n到復數域C的映射表示為v。?S表示集合S的邊界，如果矩陣M∈?S（Ω）的充分必要條件為 v（M）=0，則映射 v是 S（Ω）的保護映射，其實質為n×n實矩陣上的標量映射[13]。

保護映射的典型區域如圖5所示。

圖5 保護映射的典型區域

如圖 5（a）所示區域（即 Re（z）＜α）的保護映射為

式中：⊙為運算Bialternate積。

如圖5（b）所示與虛軸負半軸夾角為θ的2條射線所組成的區域的保護映射為

式中：ξ=cosθ。

如圖5（c）所示半徑為ω的圓形區域的保護映射為

其它區域的保護映射表達式可以根據典型區域通過相關的性質獲得，例如：設 S（Ω1），S（Ω2），…，S（Ωh）相應的保護映射為 v1，v2,…，vn，則 S（Ω1∩Ω2…∩Ωh）的保護映射為 v=v1v2…vn。

引理：M（x）=M0+xM1+…+xkMk，表示矩陣多項式，式中：x為未知的參數；Mi為已知的常數矩陣。M（x0）相對Ω區域穩定，vΩ為S（Ω）的保護映射，則根據式（9）、（10）可獲得達到控制要求的x最大范圍為x∈（x-,x+）[14]

3 參數整定算法

3.1 活動區域定義

不同類型的區域如圖6所示。

圖6 不同類型的區域

如圖6（a）所示的穩定集合區域Ω的定義為

式中：ξ（λ）為 λ 的阻尼比。

如圖6（b）所示的不穩定集合區域Ψ的定義為

定義2：矩陣M為Hurwitz穩定矩陣，其所有特征值為 Λ={λ1，λ2，…，λn}，區域 ΩΛ⊙Ω（αΛ，ξΛ，ωΛ），其中αΛ=max{Re（λi）}；ξΛ=min{ξ（λi）}；ωΛ=max{|λi|}。區域Ωt=Ω（αt，ξt，ωt）為目標區域，則定義區域Ωu=Ω（αu，ξu，ωu），其中，αu=max{αt，αΛ}；ξu=min{ξt，ξΛ}；ωu=max{ωt，ωΛ}[15]。

定義3：矩陣M為Hurwitz穩定矩陣，其所有特征值為 Λ={λ1，λ2，…，λn}，區域 Ψ⊙Ψ（αΛ，ωΛ），其中αΛ=max{Re（λi）}；ωΛ=max{|λi|}。區域Ωt=Ω（αt，ξt，ωt）為目標區域，則定義區域 Ψu=Ψ（αu，ωu），其中，αu=αΛ；ωu=max{ωt，ωΛ}[15]。

3.2 目標區域增益預置算法

系統的動態性能主要取決于系統極點的位置，其不僅決定系統的穩定性，還決定系統的動態性能。因此，若能通過控制器設計將閉環系統的極點配置到目標位置，則相當于使系統具有期望的性能?；诒Ｗo映射理論的目標區域增益預置算法[16]流程如圖7所示。運用該算法可根據任意選擇的初始控制器增益，計算得到控制器增益向量K，使控制系統的閉環極點位于目標區域Ωt=Ω（αt，ξt，ωt）內，從而獲得期望的性能。

圖7 增益預置算法流程

算法的具體步驟為：

（1）設K=[Kj（]j=1，…，m）表示控制系統的增益向量，K0=[]表示初始增益向量，Ωt=Ω（αt，ξt，ω）t表示目標區域，q=r=0，此時 Kq=Kr=K0；

（2）計算閉環系統狀態矩陣A（clKq）的特征值Λq={λ1，λ2，…}，若 Λq?Ωt則跳出循環；

（3）根據A （clKq）的穩定性來構建新的區域：若穩定，則采用第 3.1 節中的定義 2 構建 Ωq=Ωu=Ω（αq，ξq，ωq）；若A（clKq）不穩定，則采用第3.1節中的定義3構建 Ωq=Ψu=Ψ（αq，ωq）；

（4）根據構建的新區域Ωq和Kq，進行如下循環迭代過程：

當||Kr-Kr+1||≤ε（K1+||Kr||）（εK為一較小的正數）時，則跳出循環，令Kq+1=Kr+1；否則，r=r+1，繼續求解；

（5）當 ||Kq-Kq+1||≤ε（K1+||Kq||）時，循環結束，否則，q=q+1，返回到（2）繼續運行。

3.3 單參數模型控制過程

設計滿足控制性能要求并與調度參數ρ∈[ρmin，ρmax]相關的全局控制器是LPV模型控制器設計的關鍵?；诒Ｗo映射理論的單參數LPV模型的全局控制器設計流程[17]如圖8所示。

圖8 單參數模型控制流程

算法的具體步驟為：

（1）設Ac（lρ，K）為閉環系統狀態矩陣，K=[Kj（]j=1，…，m）為控制系統增益向量。設 ρ＝ρ0=ρmin，則控制對象變為固定參數的模型；

（2）利用第3.2節中的算法求得滿足控制要求的增益向量Ki；

（3）令K=Ki，此時A （clρ，K）中的變量僅為調度參數ρ，根據引理，可計算得此時Ki對應的滿足控制要求的最大調度參數的范圍為

4 控制器設計與仿真

4.1 控制器設計過程

本文選擇PI控制器結構，因為其能使系統性能滿足零穩態誤差的要求并具有良好的動態響應。閉環系統的結構如圖9所示。

圖9 控制器結構

PI控制器的傳遞函數為

本文運用上述基于保護映射理論的算法進行控制器K（s）設計，使LPV系統在整個調度參數的變化范圍內達到控制要求。

在航空發動機控制系統設計過程中，最重要的是所設計的控制系統應滿足性能指標要求。本文的控制器設計指標考慮衰減系數α、阻尼比ξ和自然頻率ω，該設計指標可對閉環系統的穩態和動態性能進行表征。為保證系統具有良好的性能，本文根據航空發動機控制的目標要求，確定3個設計指標的取值分別為 α≤-1.7，ω≤8，ξ≥0.85，通過式（11）構建目標區域。根據保護映射性質，目標區域保護映射為

對已建立的H=0 km，Ma=0點LPV模型進行控制器設計，首先，令=0，任意選取PI控制器的初始值為Kp=Ki=1，通過第3.2節的算法可以得到控制器參數Kp=6.9735，Ki=15.5318，該控制器參數可將閉環系統的極點限制在目標區域內，從而獲得期望的性能。其次，通過第2章中的引理可以得到該控制器參數能夠使系統關于 Ωt穩定的最大區間為[-0.0154，0.1308]，在該調度參數變化區間內，閉環系統的極點均位于目標區域中。再次，取上限值=0.1308，根據第3.3節中方法獲得新的PI控制器參數值，以及與之對應的穩定區間，按照這樣的流程進行循環計算，直到∈[0,1]中所有的均有與之對應的控制器。控制器設計的迭代運算結果見表1。從表中可見，每次計算出的穩定區間存在一定的重合，為了保證系統在整個調度參數變化范圍內均相對于穩定區域穩定和控制器的控制效率，本文選擇在重合區間的中點進行控制器的切換，切換過程如圖10所示。

表1 控制器設計結果

圖10 控制器參數K隨n?h的變化規律

根據所設計的控制器計算不同轉速下的閉環系統極點，其分布如圖11所示。從圖中可見，閉環系統極點均位于目標區域內，達到了預期設計目標。

圖11 閉環系統極點分布

4.2 仿真結果分析

為了避免航空發動機轉速大范圍變化時，系統產生較大的超調量，本文采用積分分離控制[18]，即：在e＞0.6（rt-r0）（e 為閉環系統偏差值；rt為閉環系統目標值；r0為閉環系統初始值）時忽略積分控制，僅采用比例控制。選取傳統變增益PI控制器作為比較對象，其設計方法為：在相對高壓轉子轉速變化區間內等間距的10個點處，通過遺傳算法整定PI參數值[19]，最后擬合出PI參數的多項式。在H=0 km、Ma=0點的階躍仿真結果如圖12、13所示。在H=3.5 km、Ma=0.5點采用相同的方法設計控制器并進行階躍仿真，其仿真結果如圖14、15所示。

圖12 在H=0 km、Ma=0時高壓轉速仿真結果

圖13 在H=0 km、Ma=0時高壓轉速大范圍變化仿真結果

圖14 在H=3.5 km、Ma=0.5時高壓轉速仿真結果

圖15 在H=3.5 km、Ma=0.5時高壓轉速大范圍變化仿真結果

從圖12～15中可見，在基于保護映射理論設計的PI控制器控制下，系統響應曲線的調節時間小于2 s，超調量小于0.8%，穩態誤差為0。在傳統變增益控制方法設計的PI控制器控制下，系統響應曲線的調節時間和超調量均較差，其調節時間小于3 s，超調量高達7%。由仿真分析可知，基于保護映射理論設計的PI控制器的控制效果比傳統設計方法設計的PI控制器的控制效果具有更好的動態響應，在超調量和調節時間等性能上均有明顯改善。

5 結論

（1）本文將基于保護映射理論的控制方法用于航空發動機控制系統設計中，在航空發動機非線性模型上的仿真結果表明，系統動態響應的調節時間小于2 s，超調量小于0.8%，穩態誤差為0，具有良好的控制效果；

（2）本文將保護映射理論及其相關算法進行了詳細說明，并將其運用在航空發動機控制系統設計中，采用PI控制器，具有工程易用性；

在后續研究中，可針對航空發動機更多變量，采用基于保護映射理論的方法進行控制器設計，進一步驗證該方法在航空發動機控制中的有效性。同時，在控制器參數切換過程中，可采用加權法等進行重合區域控制器的切換，并進行控制系統性能分析。