基于多項式平方和規劃的渦扇發動機切換控制

孫昊博，潘慕絢，黃金泉

（南京航空航天大學江蘇省航空動力系統重點實驗室，南京210016）

0 引言

航空發動機是高度復雜的非線性系統，動態特性隨工作狀態和飛行條件的變化而不斷改變[1]。為了使航空發動機控制系統在整個飛行包線內滿足控制要求，目前多是在線性控制理論的框架內采用傳統變增益方法設計控制器。然而傳統的變增益控制要求系統的參數變化必須是緩慢的，無法滿足航空發動機快速變化的動態特征的要求[2]。針對這一問題，目前工程上廣泛應用線性變參數（Linear Parameter Varying,LPV）增益調度方法進行控制器綜合[3]。LPV變增益控制的控制器增益隨調度參數的變化而變化。與傳統變增益相比，LPV變增益控制不要求系統參數變化是緩慢的。在LPV控制器的求解上，通常將控制器的求解問題轉換成線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality,LMI）約束下的優化問題，然后應用工具箱進行求解[4]。然而對于多項式形式的LPV模型，LMI方法會帶來較大保守性。多項式平方和規劃（Sum of Squares Programming,SOS規劃）作為1種處理多項式形式非線性問題的新方法受到廣泛關注。該方法由Jean首次提出并應用于單個多項式的平方和分解問題[5]。SOS規劃是對LMI方法的補充，可應用于可行性問題和優化問題的求解中[6]。由于SOS規劃在處理多項式形式非線性問題上的獨特性，越來越多的LPV控制器設計問題轉化為SOS規劃問題，相應的SOSTOOLS也被開發出來，極大地推動了SOS規劃在控制領域中的應用[7]。

將LPV控制應用于航空發動機全包線控制中，由于在包線內不同點發動機參數差別很大，單一的LPV控制器很難保證全包線內的控制效果[8]。因此，本文將飛行包線進行分區，分別對每個區域設計LPV控制器，然后結合切換系統相關理論保證切換時的穩定性。目前，眾多學者展開了平滑過渡切換方法的研究。Song等[9]設計了1種基于平滑過渡切換的LPV魯棒控制器，并將其應用于F-18戰機中。江未來等[10]針對機翼后掠角可變飛行器控制問題，通過平滑過渡的方法進行切換LPV控制。

本文將平滑過渡切換應用于航空發動機全包線控制中，并通過SOS規劃方法求解控制器。首先將飛行包線劃分為奇數個子區域，分別建立每個子區域的LPV模型；然后給出閉環切換LPV系統魯棒穩定的條件并將其轉化為便于求解的SOS規劃問題；最終在某型渦扇發動機上進行仿真驗證。

1 航空發動機LPV模型

航空發動機非線性模型可以表示為

式中：x為發動機的狀態變量；u為發動機的控制變量；y為發動機的輸出變量。

選取高壓轉子轉速為調度參數，根據非線性模型式（1）建立的發動機LPV模型

式中：x=[駐nL駐nH]T，駐nL、駐nH分別為風扇轉速增量和高壓轉子轉速增量；u=駐Wf，為發動機燃油流量增量；y=駐nH，為發動機高壓轉子轉速增量。

式中：Nd為多項式階次；[（nH）min（nH）max]為高壓轉子轉速取值范圍的最小值和最大值；θ為調度參數，變化范圍為[0 1]。

最終，航空發動機狀態變量LPV模型可寫作

由式（2）～（5）可知，LPV模型的建立主要依據高壓轉子轉速范圍內不同穩態點系統矩陣的求解，而建立的LPV模型精度主要受多項式階次Nd影響，Nd越大，LPV模型精度越高，但同時模型更加復雜，計算難度更大。

本文在保證模型精度滿足要求的同時，為了不使計算過于復雜，選取Nd=3，以地面工作點（H=0 km，Ma=0）為例建立LPV模型，在高壓轉子轉速變化范圍（nH）min=0.86到（nH）min=1之間，每隔 nH=0.01選取 1個穩態工作點，穩態點對應的轉速及其系統矩陣參數變化如圖1所示。

圖1 系統矩陣擬合

從圖中可見，矩陣元素 a11、a12、a21在轉速 nH=0.86、0.90、0.95時發生突變，這是由于發動機非線性部件級模型是依據轉速特性圖插值獲得的，而nH=0.86、0.90、0.95均為插值端點，因此矩陣元素存在突變。擬合后得到LPV模型系統矩陣

為了檢驗所建立的LPV模型精度，分別在（H=0 km，Ma=0）、（H=10 km，Ma=1）2 個工作點任意選取 2個不同的高壓轉子轉速，將LPV模型轉化為線性模型，然后將線性模型與同一轉速下的非線性模型分別作單位階躍響應，其對比如圖2、3所示。

圖2 H=0 km、Ma=0處LPV模型與非線性模型階躍響應對比

從圖中可見，在不同高度、馬赫數下LPV模型的階躍響應與非線性模型的階躍響應的擬合情況良好，穩態誤差小于0.01%，說明設計的LPV模型在調度參數變化范圍內能夠精確地反映非線性模型動態響應的變化規律，因此該LPV模型能夠滿足建模精度要求。

針對上文所建立的LPV模型，設計狀態反饋控制器，使轉速閉環控制系統的高壓轉子轉速可以較快地跟蹤指令信號，同時H∞性能指標小于γ∞。考慮航空發動機存在外部擾動，則LPV系統為

式中：xp、up、yp含義同式（2）中 x、u、y；ωp為外部擾動輸入。

設控制指令為r，則輸出偏差可表示為e=r-yp，偏差的積分xe=乙e d t，將偏差的積分增廣為狀態量以消除系統的穩態誤差。得到廣義被控對象的狀態方程

針對系統（7），設計狀態反饋控制律 u=K（θ）x，可得閉環狀態空間方程

式中：Acl（θ）=A1（θ）+B2（θ）K（θ）；Bcl（θ）=B1（θ）；Ccl（θ）=C1（θ）；Dcl（θ）=D11（θ）。

2 切換LPV控制器設計

針對閉環LPV系統（8），采用Lyapunov函數保證各子系統的穩定性，同時根據LMI魯棒穩定性條件及弱對偶定理將LPV控制器求解轉換為SOS規劃問題。

2.1 基于SOS規劃的控制器設計

弱對偶定理[11]：考慮如下優化問題

式中：X為Rn的1個子集；f（x）、gi（x）為給定的關于x的函數，則f*≥q*，f*與q*的差值稱為對偶間隙。

由弱對偶定理可知，如果存在s≥0使得L（x,s）≥0，則f*≥q*≥0。通過此定理可以將帶約束的矩陣不等式條件轉換為SOS規劃問題，即將LMI的矩陣非負定條件轉換為SOS的條件。

定理1[12]：對于系統（8），存在1個狀態反饋H∞控制器，給定H∞性能指標γ∞＞0當且僅當存在1個實數對稱矩陣X和實數矩陣W，使得下列不等式

成立，則 K（θ）=WX-1是系統（8）1個狀態反饋控制器。N（θ）=A（θ）X+B2（θ）W+（A（θ）X+B2（θ）W）T。

定理1中Lyapunov矩陣不隨調度參數變化而變化，雖然計算簡單，易于處理，但保守性較大，很難求解出合適的控制器。

定理2：對于閉環系統（8），存在1個狀態反饋H∞控制器，給定H∞性能指標γ∞＞0，如果存在SOS多項式矩陣 X（θ）、W（θ）、M（θ），使得下列多項式矩陣為SOS

則K（θ）=W（θ）X-1（θ）是1個能保證系統（7）穩定，且H∞性能指標為γ∞的狀態反饋控制器。式中N（θ）=A（θ）X（θ）+B2（θ）W（θ）+（A（θ）X（θ）+B2（θ）W（θ））T。

2.2 包線區域劃分

航空發動機的動態特性及狀態空間模型均與進口條件有關[13]，對飛行包線進行劃分時，首先應考慮劃分后同一區域內發動機狀態空間模型盡可能相似，使該區域內不同工作點均有良好的控制效果，可根據下式來量化包線內不同高度、馬赫數下發動機性能差異

式中：T10、P10為標稱點總溫、總壓；T1、P1為計算點的總溫、總壓；著為距離閾值，反映了子區域間不同工作點發動機動態性能的差異。

以（H=0 km，Ma=0）點為標稱點，求取包線內所有工作點的 Γ 值，選取 著=0.25、0.50、0.75、1.00 將包線劃分為6個區域，如圖4所示，陰影區域為平滑過渡區。

2.3 平滑過渡切換LPV控制器

為緩解控制器間邦邦切換產生的抖振現象，提升切換時的控制效果，設計1種平滑切換LPV控制器。

考慮切換LPV系統閉環狀態空間方程

式中：Acl,滓（θ）=A1,滓（θ）+B2,滓（θ）K滓（θ）；Bcl,滓（θ）=B1,滓（θ）；Ccl,滓（θ）=C1,滓（θ）；Dcl,滓（θ）=D11,滓（θ）；σ為系統的切換信號，其變化受高度和馬赫數影響，由于高度和馬赫數具有漸變特性，所以切換只發生在子區域邊界處。

圖4 包線區域劃分

設 NJ={1，3，5，…，J} 為控制器求解區域，NO={2，4，6，…，J-1}為平滑過渡區域，其中 J表示包線內劃分的子區域數目。當j∈NJ時，控制器為Kj（θ）；當j∈NO時，控制器為Kj-1,j+1（θ），由相鄰2區域控制器Kj-1（θ）、K,j+1（θ）、插值獲得。綜上所述，全包線內的平滑過渡切換LPV控制器可表示為

其中Kj（θ）=Wj（θ）Xj（θ）-1，

Kj-1,j+1（θ）=Wj-1,j+1（θ）Xj-1,j+1（θ）-1，

Wj-1,j+1（θ）=CWj-1（θ）+（1-C）Wj+1（θ），

Xj-1,j+1（θ）=CXj-1（θ）+（1-C）Xj+1（θ）。

C為平滑切換系數，在此取

式中：ts為系統進入平滑過渡區域的時間。

定理3：針對航空發動機切換系統（14），存在1個狀態反饋H肄控制器，給定H肄性能指標γ＞0，如果存在實數對稱矩陣X（θ），實數矩陣W（θ）和SOS多項式矩陣Mj（θ），使得下列多項式矩陣為SOS

對任意j∈NJ均成立，則航空發動機閉環系統漸進穩定，且滿足H肄性能指標γ肄。式中N（θ）=Aj（θ）X（θ）+B2,j（θ）W（θ）+（Aj（θ）X（θ）+B2,j（θ）W（θ））T。

證明：為方便闡述，選取飛行包線內相鄰的3個區域 J1、J2、J3，其中 J2為平滑過渡區域，設

則根據定理3可得如下不等式

式中X1（θ）=X3（θ）=X（θ），采用式（15）中平滑切換系數，對式（18）中2不等式作線性疊加可得不等式

成立，則對于平滑過渡區域J2中任意一點，在相同的Lyapunov矩陣下,控制器K1（θ）、K3（θ）的任意線性疊加所獲得的新控制器均可保證在區域J2內的系統穩定。

根據上述證明，能滿足閉環LPV系統漸進穩定的控制器為K1（θ）、K3（θ），而對于區域J2，能滿足閉環LPV系統漸進穩定的控制器為K1（θ）、K3（θ）及其任意的線性疊加，并且對于飛行包線內任意子系統有相同的Lyapunov矩陣使系統穩定，由此可知平滑過渡區域No內系統漸進穩定。

定理3中要求切換系統中所有的子區域都具有相同的多項式Lyapunov矩陣X（θ），顯然，這種方式保守性大，當子區域數量過多的時候，很難找到1個合適的Lyapunov矩陣使所有子區域均滿足控制要求。

對于切換LPV系統，假設存在1組正定矩陣{Xj（θ）}j沂NJ，每個矩陣可以保證在其對應的子區域J變化的連續性。則多參數依賴Lyapunov函數可寫為

通過切換信號σ確定當前所處的子區域J以及對應的Lyapunov矩陣Xj（θ）。

一般而言，如果有合適的切換邏輯保證Vσ在其當前對應的子區域J內單調遞減，則即使在整個參數軌跡上Vσ不是單調遞減的，也可以保證切換LPV系統的穩定性[14]。

定理4：對于系統（14），存在1個狀態反饋H∞控制器，給定H∞性能指標γ＞0，如果存在實數對稱矩陣Xj（θ），實數矩陣W（θ）和SOS多項式矩陣Mj（θ），使得下列多項式矩陣為SOS

對任意j沂NJ均成立，則航空發動機閉環系統在飛行包線內漸進穩定，且滿足H∞性能指標γ∞，K（jθ）=W（θ）X（θ）是保證系統（14）穩定，且 H∞性能指標為γ∞的狀態反饋控制器。式中N（θ）=A（jθ）X（jθ）+B2（,jθ）W（θ）+（A（jθ）X（jθ）+B2（,jθ）W（θ））T。

證明：由于式（20）為SOS多項式矩陣，所以

又知Mj（θ）為SOS矩陣，即Mj（θ）＞0，將弱對偶定理推廣到多項式矩陣（21）中，可得

式（23）說明在θ∈專的整個區間內定理4均成立，即閉環切換系統（14）穩定且滿足H∞性能指標γ∞。

根據定理4可知，系統（14）的控制器求解可以轉化為SOS規劃問題，控制器求解的具體步驟如下。

（1）對于非平滑過渡區，給定H∞性能指標γ∞，利用MATLAB中的SOSTOOLS工具箱分別求取每個子區域對應的SOS多項式矩陣Xj（θ）、W（θ）和Mj（θ），然后通過定理4求解出各子區域內滿足要求的切換LPV控制器。

（2）對于平滑過渡區，采用式（15）中的平滑切換系數對相鄰2個非平滑過渡區域的控制器進行插值，定理3中相關證明可保證平滑過渡區控制器的穩定性。

（3）將求得的切換LPV控制器在某型渦扇發動機上進行全包線仿真驗證，相應的控制系統控制結構如圖5所示。

3 仿真驗證與分析

針對某型渦扇發動機在全包線內高度、馬赫數和轉速大范圍漸進變化的情況，采用依據定理4設計的平滑切換LPV控制器進行閉環系統仿真驗證。

圖5 全包線LPV切換控制系統結構

3.1 仿真分析1

在全包線內發動機高度、馬赫數和轉數的變化曲線如圖6所示。從圖中可見，在整個運行軌跡中共有4 次切換，分別是 16.5～18.75 s、24～26 s、37～39.5 s、43～47.5 s控制器經過平滑過渡切換區域。采用上述平滑過渡切換LPV控制器進行仿真驗證，仿真結果（圖6）切換區域局部放大如圖7所示。

圖6 飛行高度、馬赫數和轉速變化

圖7 切換區域局部放大

從圖6中可見，隨著高度、馬赫數的變化，高壓轉子轉速可以很好地跟蹤指令信號，響應時間約為3 s，且穩態誤差小于0.5%，滿足控制要求。

從圖7可見，在上述4個切換區域中，控制器發生切換時，系統狀態變化平穩，無跳變。

3.2 仿真分析2

對平滑過渡切換和邦邦切換方法作對比仿真驗證，如圖8所示。

從圖中可見，采用邦邦切換時存在約3%的跳變，而平滑過渡切換很好地解決了這一問題。

3.3 仿真驗證3

在全包線內選取11個多胞頂點，結合多胞理論設計全包線單一LPV控制器，與所設計的平滑過渡切換LPV控制器作對比。仿真結果如圖9所示。

圖8 切換方法對比

圖9 控制方法對比

從圖中可見，雖然單一LPV控制器不存在控制器間切換的跳變問題，但由于包線內不同工作點發動機性能參數存在較大差異，故相比于平滑切換LPV控制器跟蹤響應更慢，且存在約4%的超調。

4 結論

本文針對航空發動機在全包線內轉速大范圍變化下的控制器設計問題，提出了1種基于SOS規劃的平滑過渡切換LPV控制器。通過SOS規劃的方法降低了傳統LMI優化方法的保守性，同時采用平滑過渡切換解決邦邦切換時控制器存在的跳變問題。通過該方法設計的控制器可以精確跟蹤指令信號，具有良好的魯棒性，同時切換時不存在跳變，穩定性更強。