整體法在力學問題中的應用剖析

□江蘇省南京市田家炳高級中學 耿若蕾

力學是物理知識體系的重要組成，也是高中物理的重要學習內容。在分析力學問題時存在一種關鍵的分析方法——整體法。運用整體法解題時將多個研究對象作為一個整體，忽略整個體系的內部因素，而重點分析體系的運動狀態和外界條件對體系的影響，從而獲得問題突破的關鍵條件。該方法在具體使用時同樣離不開物理定律，有時也需要融合其它方法共同使用。合理利用該方法可以從研究對象的整體層面揭開其本質和規律。下面將深入剖析整體法的解題內涵，并結合考題從定律融合和方法融合角度剖析方法運用。

一、整體法的解題內涵

整體法是物理解題中廣泛應用的一種思想方法，如力學問題中常涉及到眾多的力和對象，利用整體法則可以避免對每個力的作用效果進行分析，而把研究對象看作是一個整體，只分析外力的作用效果，因此使用整體法可以把握問題的重點，降低思維難度。［1］

使用整體法求解力學問題時可以遵循一定的解題思路：首先確定研究目標，找準受力點，繪制受力圖；然后將研究對象視為一個整體，針對性分析外力的作用，可以靈活變換研究對象；最后根據受力，考慮外界因素，結合力學規律，分析對象的運動狀態，構建解題模型。

二、整體法的定律融合

整體法作為研究力學問題最為重要的思想方法之一，常與力學的重要定律相融合構建完整的研究體系，如牛頓運動定律、守恒定律等。解題時首先利用該方法的整體思想對研究對象進行力學分析，然后結合對應的定理分析整個研究體系，構建解題模型。［2］

1.與牛頓定律融合。

例1：右圖所示的光滑水平面上有兩個木塊A和B，質量分別為m和M，兩木塊之間用輕繩相連接，且在水平向右的力F的作用下向右加速運動，若設兩木塊之間輕繩的張力為T，試求T的大小？

解析：首先將木塊A和B看作是一個整體進行受力分析，如圖（a）所示，根據牛頓第二定律可得F=（m+M）a，則然后單獨分析木塊A的受力，如圖（b），可得T=ma，將上式代入則可得。

教學指導：在實際解題教學中，教師應首先指導學生理解整體法，然后指導學生忽略木塊之間的作用力，將其作為研究對象的內力，并繪制整體研究對象的受力圖，最后根據受力圖，結合牛頓定律知識進行力學分析。

2.與守恒定理融合。

例2：右圖所示，質量均為m的劈A和木塊B位于光滑水平面上，物塊B的左端固定著一個彈簧（質量忽略），現有一個質量也為m的小球C從劈A的弧面尖端靜止釋放，若釋放點與水平面之間的高度為h，試求運動過程中彈簧的彈性勢能所能達到的最大值？

解析：小球C從尖端釋放后重力勢能會轉化為動能，然后與木塊B相碰撞，從而壓縮彈簧，同時使木塊B向右運動，最終木塊B和C以相同的速度運動，此時彈簧的彈性勢能最大。上述運動過程可以分為小球C與劈A的分離和小球C與小球B碰撞兩個過程，若將每個過程中的運動對象看作是一個整體，則每個體系均不受外力的影響，始終滿足動量守恒和機械能守恒。

設小球C和劈A相分離時，小球C的速度為UO，劈A的速度為UA，若將兩者看作是一個整體，由動量守恒可得mUO=mUA，由機械能守恒可得。小球C和木塊B碰撞后彈簧的彈性勢能最大時兩者的速度相等，設為U，將兩者看作是一個整體，則由動量守恒可得mUO=2mU ，由機械能守恒可得，綜合兩式可得彈性勢能E p=mgh，則彈性勢能所能達到的最大值為mgh。

教學指導：守恒定律的得出本身就是基于整體思想，因此在教學中有必要讓學生回顧守恒定律的得出條件和研究過程，然后引導學生對整個運動過程進行分解，讓學生思考每個過程的能量轉化，并分析轉化過程是否存在外力做功，是否有能量的損失，思考是否滿足定律的使用條件。定律使用的關鍵一環就是對適用條件的分析，因此教學中需引導學生掌握定律解題的正確步驟。

三、整體法的方法融合

在實際解題中有時研究的對象和所受的力較多，使得整個研究體系過于復雜或抽象，此時就可以考慮采用多種方法相結合的方式，即實現整體法與其他方法的融合使用。在使用時可以根據具體的情形進行分步使用，也可以將兩種方法相結合綜合使用，與整體法相融合的常見方法有隔離法、等效法。［3］

1.與隔離法融合。

例3：右圖所示的勻強電場中有兩個帶正電的小球A和B，兩者均可以視為點電荷，位于同一豎直的直線上，在電場的作用下，兩個小球會勻速下落且兩球保持相同的距離，若小球A的質量為4m，電荷量為Q，小球B的質量為m，電荷量為4Q，試求兩個小球下落時的距離和電場的場強大小？

解析：由于兩個小球是勻速下落兩者之間的距離保持不變，首先將兩者看作是一個整體，豎直方向滿足受力平衡，則有5mg=5QE，所以電場強度然后采用隔離法，對小球A進行受力分析，則小球受到自身的重力和場強力以及兩個電荷之間的洛倫茲力，。教學指導：教學時應首先引導學生理解何為整體與隔離，然后指導學生辨析整體與隔離過程中所研究的力有何不同，在此基礎上講解兩種方法融合解題的具體步驟。另外在解題結束后可以讓學生思考何種情形下需要 采用整體與隔離的方法，引導學生明確求解多個對象之間的作用力或與對象作用力相關的物理量時需要結合隔離法，幫助學生在思想上建立隔離法使用的條件。

2.與等效法融合。

例4：右圖所示的粗糙水平面上放置有一個三角形斜劈，質量為m0，且斜劈的兩個斜面均為粗糙斜面，若在斜劈的左右粗糙斜面上分別放置質量為m1和m2的木塊，則斜劈和木塊m1仍然靜止，而物塊m2則沿斜劈加速下滑，加速度為a，試求水平面對斜劈的摩擦力和支持力？

解析：根據題干信息可知，斜劈和物塊m1處于平衡狀態，而物塊m2存在沿斜面下滑的加速度，此時我們可以先將三者看作是一個整體，則可以將物塊m2所受的加速度a等效轉移到整個體系上，將物塊m2的加速度a沿豎直方向和水平方向進行分解，如上圖所示，則有ax=a cosθ2，ay=a sinθ2，則整體上體系有向右的加速力F=m2ax=ma cosθ2，但整個體系是沒有移動的，故存在水平面對體系的摩擦力與加速力的平衡，即Ff=F，同時水平面對斜劈的摩擦力就為Ff，摩擦力的大小為ma cosθ2，方向為水平向左。

分析水平面對斜劈的支持力同樣從整體上分析，豎直方向存在失重m2ay，水平面對斜劈的支持力就等于對整體體系的支持力，則FN=（m0+m1+m2）-ma sinθ2，方向為豎直向上。

教學指導：講解整體法與等效法融合時，首先在思想上使學生理解整體法實質上就是對研究對象等效的過程，然后結合該題使學生理解加速度通過分解，也可以等效為力，從失重與超重角度對物理的狀態進行等效，從而幫助學生掌握加速度分解的解題技巧。