微積分思想方法及教學(xué)思考

舒斯會(huì) 易云輝

摘 要：微積分思想方法是微積分的基礎(chǔ)和精髓。在教學(xué)過程中，應(yīng)盡早地讓學(xué)生接觸和了解微積分思想方法。文章總結(jié)了微積分思想方法的三個(gè)步驟，并介紹了在微積分教學(xué)中，怎樣引入和應(yīng)用微積分思想方法，為讀者講授微積分思想方法提供參考。

關(guān)鍵詞：微積分；微積分思想；教學(xué)思考

中圖分類號(hào)：O172

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

微積分思想方法是微積分的基礎(chǔ)和精髓，是微積分創(chuàng)立和發(fā)展的基石，所以學(xué)好微積分的關(guān)鍵是要理解和掌握好微積分思想與方法。所以在教學(xué)過程中，要盡早地讓學(xué)生接觸和了解微積分思想方法。建議在講完數(shù)列極限后，就對(duì)微積分思想方法進(jìn)行較為系統(tǒng)的介紹。

微積分思想方法來(lái)源于現(xiàn)實(shí)并能廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，特別是平面圖形面積、曲線的切線和非勻速運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度計(jì)算等問題在微積分的建立過程中起到極其重要的作用，毫不夸張地說(shuō)微積分就是當(dāng)初為了解決這些方面的問題而產(chǎn)生的。在教學(xué)過程中，我們可以通過微積分的上述幾個(gè)方面經(jīng)典應(yīng)用來(lái)引出微積分思想方法，這樣能幫助學(xué)生了解微積分思想方法產(chǎn)生的過程及其應(yīng)用。下面是我們?cè)谖⒎e分思想方法的過程。

一、微積分思想方法的引入

我們通過觀察以下現(xiàn)象導(dǎo)出微積分思想方法并對(duì)微積分思想方法進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)，使學(xué)生對(duì)微積分思想方法有完整系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。

（1）引入：如圖1，設(shè)L是一條連續(xù)曲線，在曲線上任取很小的一曲線段A1A2，發(fā)現(xiàn)它很接近直線段。而且不難理解曲線段分（取）的越細(xì)，它越接近直線段。

我們可以將任意的曲線段進(jìn)行不斷的細(xì)分，如不斷用曲線段的中點(diǎn)對(duì)它們進(jìn)行不斷的細(xì)分，使得每個(gè)細(xì)分的曲線段的長(zhǎng)度無(wú)限接近零，那么這些曲線段也就無(wú)限接近直線段。

根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了一種先對(duì)曲線段無(wú)限細(xì)分，再用直線來(lái)近似代替細(xì)分后的每曲線段（即以直代曲），然后取極限（看無(wú)窮趨勢(shì)）的數(shù)學(xué)方法。由此，歸納出下列微積分思想方法。

（2）微積分思想方法：第一步無(wú)限細(xì)分；第二步近似（以直代曲）；第三步取極限。

這三個(gè)步驟缺一不可，近似是微積分方法的精髓，它主要包括用直線來(lái)近似代替曲線（簡(jiǎn)稱以直代曲）和以不變的量來(lái)近似代替變化的量（簡(jiǎn)稱以不變代變）。 無(wú)限細(xì)分是近似的前提，沒有無(wú)限細(xì)分，近似不可能通過無(wú)限接近（求極限）達(dá)到準(zhǔn)確。第三步需要通過看近似的極限得到準(zhǔn)確，也是我們要求的結(jié)果。

這樣讓學(xué)生在開始學(xué)習(xí)微積分時(shí)就對(duì)微積分思想方法有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，明白微積分思想方法包含三個(gè)步驟，不能片面的理解微積分思想方法只是“以直代曲”或 “以不變代變”。

緊接著我們講述微積分思想方法在曲邊圖形的面積、曲線的切線計(jì)算等問題的應(yīng)用，讓學(xué)生知道微積分思想方法的強(qiáng)大作用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣。

二、微積分思想方法的應(yīng)用

在講微積分思想方法應(yīng)用時(shí)，要緊扣其三個(gè)步驟。

1.曲邊圖形的面積

例1，求由曲線y=x²， 0≤x≤1，和直線x=0，x=1，y=0所圍曲邊梯形的面積S。

解：（1）無(wú)限細(xì)分，即將x軸的區(qū)間[0，1]細(xì)分成n等分，然后過各分點(diǎn)作平行y軸的直線與曲線y=x²相交，這樣將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形S_i，其面積仍記為 S_i（如圖2）；