微專題之數列分類偶討論試題研究

趙軍

高考背景：（2014·高考課標全國卷Ⅰ）已知數列{an }的前n項和為Sn，a1=1，an≠0，

anan+1=λSn-1，其中λ為常數.

（1）證明：an+2-an=λ；

（2）是否存在λ，使得{an }為等差數列？并說明理由.

[解] （1）證明：由題設知anan+1=λSn-1，an+1an+2=λSn+1-1，兩式相減得an+1（an+2-an）=λan+1，

由于an+1≠0，所以an+2-an=λ.

（2）由題設知a1=1，a1a2=λS1-1，可得a2=λ-1.

由（1）知，a3=λ+1.

令2a2=a1+a3，解得λ=4.

故an+2-an=4，由此可得{a2n-1}是首項為1，公差為4的等差數列，a2n-1=4n-3；

{a2n}是首項為3，公差為4的等差數列，a2n=4n-1.

所以an=2n-1，an+1-an=2，

因此存在λ=4，使得數列{an}為等差數列.

小結：

（1）判斷等差數列的解答題，常用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷.

（2）用定義證明等差數列時，常采用兩個式子an+1-an=d和an-an-1=d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n=1時，a0無定義.

（3）第二問分奇偶討論，達到同一性。

通過該試題，可見全國卷比較喜歡考查學生分類討論的數學思想，而數列這章的知識通常會考查n分奇偶來討論問題，很多學生對此會感覺較為困難，沒有方向，本文就通過一些有代表性的習題來探索一下這類問題的規律。

1.數列{an}的前n項和為Sn，已知Sn=1-2+3-4+…+（-1）n-1·n，則S19=（ ）

A.10 B.9

C.17 D.16

解析：選A.S19=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17—18+19=1+（-2+3）+（-4+5）+（-6+7）+…+（-14+15）+（-16+17）+（—18+19）=1+1+1+…+1=10.

思考：還可改編成求Sn的解答題

必須討論n的奇偶性，否則難以順利解答！

當n為偶數，Sn=—，當n為奇數，

所以，

2.在數列{an}中，a1=2，a2=2，an+2-an=1+（-1）n，n∈N*，則S60的值為（ ）

A.990 B.1 000

C.1 100 D.99

解析：選A.n為奇數時，an+2-an=0，an=2；n為偶數時，an+2-an=2，an=n.故S60=2×30+（2+4+…+60）=990.

3.已知數列{an}滿足a1=1，an+1·an=2n（n∈N*），則S2 017=（ ）

A.22 017-1 B.21 010-3

C.3·21 009-1 D.3·21 009-2

解析：選B.

所以.所以a1，a3，a5，…成等比數列；a2，a4，a6，…成等比數列，

所以S2 017=a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2 015+a2 016+a2 017=（a1+a3+a5+…+a2 015+a2 017）+（a2+a4+a6+…+a2 016）==21 010-3.故選B.

4.在數列{an}中，已知a1=1，an+1+（-1）nan=cos（n+1）π，記Sn為數列{an}的前n項和，則S2 017=________.

解析：因為an+1+（-1）nan=cos（n+1）π=（-1）n+1，所以當n=2k，k∈N*時，a2k+1+a2k=-1，所以S2 017=a1+（a2+a3）+…+（a2 014+a2 015）+ （a2 016+a2 017）=1+（-1）×1 008=-1 007.

答案：-1 007，（隨著時間的改變，該題可以相應改變）

5.設數列{an}的前n項和為Sn（n∈N*），數列{a2n-1}是首項為1的等差數列，數列{a2n}是首項為2的等比數列，且滿足S3=a4，a3+a5=a4+2.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）求S2n.

解 （1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，

則a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a5=1+2d，

所以解得d=2，q=3.

所以an=（k∈N*）.

（2）S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）

=（1+3+5+…+2n-1）+（2×30+2×31+…+2×3n-1）

6.若數列{bn}對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數），則稱數列{bn}是公差為d的準等差數列，如數列{cn}，若則數列{cn}是公差為8的準等差數列.設數列{an}滿足a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n.

（1）求證：{an}為準等差數列；

（2）求{an}的通項公式及前40項和S40.

[解] （1）證明：因為an+1+an=2n， ①

所以an+2+an+1=2n+2. ②

由②-①得an+2-an=2（n∈N*），

所以{an}是公差為2的準等差數列.

（2）已知a1=a，an+1+an=2n（n∈N*），

所以a1+a2=2，即a2=2-a.

所以由（1）可知a1，a3，a5，…，成以a為首項，2為公差的等差數列，a2，a4，a6，…，成以2-a為首項，2為公差的等差數列.

所以當n為偶數時，

當n為奇數時，

S40=a1+a2+…+a39+a40

=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a39+a40）

=2×1+2×3+…+2×39=2×=800

7.（2014·高考山東卷）在等差數列{an}中，已知公差d=2，a2是a1與a4的等比中項.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設bn=，記Tn=-b1+b2-b3+b4-…+（-1）nbn，求Tn.

解：（1）由題意知（a1+d）2=a1（a1+3d），

即（a1+2）2=a1（a1+6），

解得a1=2，

所以數列{an}的通項公式為an=2n.

（2）由題意知

所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+（-1）nn·（n+1）.

因為bn+1-bn=2（n+1），

可得當n為偶數時，

Tn=（-b1+b2）+（-b3+b4）+…+（-bn-1+bn）

當n為奇數時，

小結：數列問題是高頻考點中的高頻，歷年來是命題專家命題的熱點，每年的考題都是在以基礎知識為起點上的推陳出新，似有歲歲年年花相似、年年歲歲題不同之感，然而始終會是以等差數列、等比數列為載體考查數學思想和方法，重點是函數與方程及分類討論，本文就分類討論這一方向做了歸納和探索。常見的題型有這兩個考察方向：

1.出數列的前n項的和Sn ，求它的通項公式時，忽略了n=1的情形；

2.求等比數列的前n項和Sn，，忽略對公比q=1及q≠1進行分類討論；證明等比數列時，忽略證明an≠0；

這類習題只要練習到位，一般是沒問題的，但本文選的試題對于大部分學生而言是有一定的難度的，老師必須要引導學生分析其規律，很好的體會這樣操作的目的，并加以強化才能得到很好的突破。