找出魔術(shù)顏料

小五

1個(gè)玻璃杯：毫無(wú)懸念

一天，魔術(shù)師正準(zhǔn)備登臺(tái)表演，在做最后的物品清點(diǎn)。忽然，他不小心將1瓶魔術(shù)顏料放進(jìn)了裝有14瓶普通顏料的箱子里。這些顏料都是黃色的，把它們滴進(jìn)水里，水會(huì)變成淡黃色。不過(guò)，魔術(shù)顏料有其獨(dú)特之處：水起初是淡黃色，但2分鐘后，水會(huì)變成神秘的黑色。

魔術(shù)顏料可是魔術(shù)師表演時(shí)的秘密武器之一，但現(xiàn)在與普通顏料混淆了。魔術(shù)師只能通過(guò)測(cè)試的方法，把那瓶魔術(shù)顏料找出來(lái)。然而，登臺(tái)時(shí)間就要到了，時(shí)間緊迫，他找來(lái)了4個(gè)玻璃杯，希望僅花2分鐘時(shí)間就可以找出那瓶魔術(shù)顏料。

魔術(shù)師這個(gè)希望可以實(shí)現(xiàn)嗎？4個(gè)裝了清水的玻璃杯，僅2分鐘時(shí)間，能檢測(cè)15瓶顏料嗎？

回答問(wèn)題前，我們不妨先來(lái)看只有1個(gè)玻璃杯時(shí)的情況。

如果魔術(shù)師只有1個(gè)玻璃杯，毫無(wú)疑問(wèn)，肯定是不能找出魔術(shù)顏料的。2分鐘，1個(gè)玻璃杯只能檢測(cè)1瓶顏料。我們可以根據(jù)玻璃杯內(nèi)的液體是否變色，來(lái)判斷那瓶顏料是普通顏料還是魔術(shù)顏料。

2分鐘后，依然是淡黃色，說(shuō)明是普通顏料；

2分鐘后，變成黑色，說(shuō)明是魔術(shù)顏料。

非常簡(jiǎn)單、清楚。接下來(lái)，我們?cè)囍鴮⒉ＡП臄?shù)目增加到2。

2個(gè)玻璃杯：開(kāi)始復(fù)雜

1個(gè)玻璃杯可以檢測(cè)1瓶顏料，那么2個(gè)呢？如果答案是2瓶，那也太沒(méi)有挑戰(zhàn)性了吧！事實(shí)上，2個(gè)玻璃杯可以檢測(cè)3瓶顏料。這個(gè)問(wèn)題需要你稍稍轉(zhuǎn)一下腦筋。

首先，我們給2個(gè)裝有清水的玻璃杯編號(hào)，分別命名為A玻璃杯和B玻璃杯。

隨后，我們先給A玻璃杯滴一滴1號(hào)瓶顏料，然后給B玻璃杯滴一滴2號(hào)瓶顏料。之后，我們拿起3號(hào)瓶顏料，分別往A、B玻璃杯里各滴上一滴，也就是這樣（“+”代表加入）：

假如1號(hào)是魔術(shù)顏料，那么2分鐘后，加入了1號(hào)顏料的液體會(huì)變黑，也就是說(shuō)A玻璃杯的液體會(huì)變黑；假如2號(hào)是魔術(shù)顏料，那么2分鐘后，變黑的是B玻璃杯的液體。如果3號(hào)才是魔術(shù)顏料，那么2個(gè)玻璃杯的液體都會(huì)變黑。

結(jié)論：2個(gè)玻璃杯可以檢測(cè)3瓶顏料！

3個(gè)玻璃杯：突破極限

現(xiàn)在我們拿到了3個(gè)玻璃杯，先按剛剛的方法往3個(gè)杯子里滴加顏料：

這個(gè)方法是可行的，我們可以羅列出4種可能的結(jié)果：

但是，你再仔細(xì)研究一下，會(huì)不會(huì)感覺(jué)有些不妥，或者不甘心？3個(gè)玻璃杯的變色情況，真的只有4種嗎？

我們列舉了一個(gè)玻璃杯的液體變黑和所有玻璃杯液體變黑的情況，那么有沒(méi)有其中某兩個(gè)玻璃杯液體變黑的情況呢？

答案是有的。也許有的同學(xué)已經(jīng)想到了：

對(duì)于這3個(gè)玻璃杯，我們可以像2個(gè)玻璃杯時(shí)那樣，給它們兩兩滴加同樣的顏料。可以這樣安排：

你沒(méi)有看錯(cuò)，每個(gè)玻璃杯里要滴加4種顏料！其中1～4號(hào)瓶顏料的分配和前面的方案是一樣的，只有5、6、7號(hào)瓶是新增加的。根據(jù)變色情況，我們將得到7種可能的結(jié)果：

結(jié)論：3個(gè)玻璃杯可以檢測(cè)7瓶顏料！

完美的超級(jí)實(shí)驗(yàn)

其實(shí)總結(jié)起來(lái)大家會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們采用了如下策略進(jìn)行檢測(cè)：

給每個(gè)玻璃杯里滴加單獨(dú)的1瓶顏料；

給玻璃杯中的每2個(gè)滴加1瓶新的顏料；

給玻璃杯中的每3個(gè)滴加1瓶新的顏料；

……

給所有玻璃杯都滴加同1瓶新的顏料。

為什么要這樣檢測(cè)？想必你很想知道其中的原理。

我們把前面得出的結(jié)論再次貼出：

1個(gè)玻璃杯檢測(cè)1瓶顏料；

2個(gè)玻璃杯檢測(cè)3瓶顏料；

3個(gè)玻璃杯檢測(cè)7瓶顏料。

羅列完畢！觀察數(shù)字，并結(jié)合我們的檢測(cè)策略，我們可以推測(cè)得到這樣的結(jié)論：n個(gè)玻璃杯可以檢測(cè)（2n-1）瓶顏料。現(xiàn)在，大家可以用前面的方法進(jìn)行檢測(cè)，看看4個(gè)玻璃杯能給我們帶來(lái)怎樣的驚喜。

現(xiàn)在我們回到最初的問(wèn)題，魔術(shù)師可以完成看似不可能完成的任務(wù)嗎？當(dāng)然可以！只要他手腳麻利、思維清晰，他就可以在2分鐘內(nèi)找出那瓶調(diào)皮的魔術(shù)顏料，順利登臺(tái)演出。

結(jié)論：4個(gè)玻璃杯能檢測(cè)15瓶顏料！