關于建筑物高度的測量

梁夢瑜

[摘要]數學家華羅庚曾經說過：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、日用之繁，無處不用數學。”可見，數學與生活的關系十分密切，在如今高樓林立的時代，我們經常會看到高大的建筑物，可我們有沒有思考過如何簡便快捷地測出他們的高度呢？

[關鍵詞]建筑物 高度 測量

一、問題的提出

在生活中我們經常會遇到高大的建筑物，我們怎樣用簡便快捷的方法測量出它的高度來解決實際問題呢？最近，學校國旗桿需要翻新，為了不影響正常的升旗儀式，必須盡快找到可以替換的相同高度的旗桿，于是我們便要設計一套方便可行的測量方案。

二、設計測量方案一

（1）測量工具：皮尺，測角儀。

（2）若升旗臺周圍地面平坦開闊，就可以選擇方案一。首先，在升旗桿附近地面取一點B，到旗桿底C的距離BC，BC-a，接著在B點用測角儀測出到旗桿頂A的頂角B。

則在Rt△ABC中tanβ=AC/BC

AC=BC·tanβ=a·tanβ

即旗桿長為測得的BC長×測得的角度的正切值的積

（3）方案優化。若考慮到測角儀本身就有一定的高度，那么就應該首先測出測角儀的高度，記為CD=b再用皮尺測出測角儀底部到旗桿底部的距離BD=a，讀出點C到旗桿頂A的仰角Y。

∵CDBE為矩形

∴BE=CD=b CE=BD=a

在Rt△AEC中

AE=tanγ·CE

AB=BE+EA=b+a·tan

（4）特殊情況，粗略測量。若工具不齊全，只有可供測量長度的皮尺，我們可以以自身為工具。已知身高EF=C測出此刻旗桿落在地面的影長BC=a以及同時刻旗桿落在地面的影長FD=b

PS：由物理學知識可知，由于太陽距離地球很遠，可以將太陽射到地面的太陽光近似看成平行光，所以不必在同一個位置測量影長，附近即可。

△ABC∽△EFD

AB/EF=Bc/DF

∴AB=ac/b

三、設計測量方案二（方案升級）

若旗桿底部有隔擋物使我們難以直接到達底部，可在能到達的地方設測角儀如圖所示。

此方案適合測量建筑物旁有河流等不方便測影長的建筑物高度。

四、設計測量方案三（貼近實際）

多數旗桿不會直接在操場上，會有高出地面一定高度的臺子包圍，這時就需要用到方案三。

分別利用解三角形知識解Rt△ABC、△BFC

即可求出AC、FC

∴AF=AC=FC=a（tanβ-tanθ）

測量建筑物的高度，用經緯儀，先用儀器測出角度和量出建筑物至儀器的距離，然后用三角函數計算。查下樓層數，乘以個單層層高，能大概估算出樓高，但是這只能在標準層比較多的情況下使用。最簡單的方法是目測，民用建筑的層高3米左右商務建筑層高一般在3.6米左右，這樣就能估算出大致高度。

建筑高度是指屋面面層到室外地坪的高度。屋頂上的水箱間、電梯機房、排煙機房和樓梯出口小間等不計入建筑高度。

高度規定：

指建筑物室外地平面至外墻頂部的總高度。應符合下列規定：煙囪、避雷針、旗桿、風向器、天線等在屋頂上的突出構筑物不計入建設高度。樓梯間、電梯塔、裝飾塔、眺望塔、屋頂窗、水箱間等建筑物之屋頂上突出部分的水平投影面積合計小于標準層面積25%的，不計入建筑高度、層數。平頂房屋按建筑室外設計地面處至屋面面層計算；坡頂房屋建筑按建筑室外設計地面和屋脊平均高度計算。坡頂不同坡度計算按照當地規定執行。

若有底部有不可到達的建筑物，需要將下面的建筑物和最高點的高度。

選擇一個水平線，測仰角，若建筑物在山頂上，需要測量在建筑物的最高點，最低點處的俯角，分別在兩地求仰角，可求出山的高度。

如：

五、利用到的數學

解三角形

相似三角形

三角函數

簡單幾何圖形

六、現代測量儀器

經緯儀：

經緯儀是測量工作中的主要測角儀器。由望遠鏡、水平度盤、豎直度盤、水準器、基座等組成。測量時，將經緯儀安置在三腳架上，用垂球或光學對點器將儀器中心對準地面測站點上，用水準器將儀器定平，用望遠鏡瞄準測量目標，用水平度盤和豎直度盤測定水平角和豎直角。按精度分為精密經緯儀和普通經緯儀；按讀數設備可分為光學經緯儀和游標經緯儀；按軸系構造分為復測經緯儀和方向經緯儀。此外，有可自動按編碼穿孔記錄度盤讀數的編碼度盤經緯儀；可連續自動瞄準空中目標的自動跟蹤經緯儀；利用陀螺定向原理迅速獨立測定地面點方位的陀螺經緯儀和激光經緯儀；具有經緯儀、子午儀和天頂儀三種作用的供天文觀測的全能經緯儀；將攝影機與經緯儀結合一起供地面攝影測量用的攝影經緯儀等。

經緯儀是望遠鏡的機械部分，使望遠鏡能指向不同方向。經緯儀具有兩條互相垂直的轉軸，以調校望遠鏡的方位角及水平高度。此類架臺結構簡單，成本較低，主要配合地面望遠鏡（大地測量、觀鳥等用途）使用，若用來觀察天體，由于天體的日周運動方向通常不與地平線垂直或平行，因此需要同時轉動兩軸并隨時間變換轉速才能追蹤天體，不過視場中其它天體會相對于目標天體旋轉，除非加上抵消視場旋轉的機構，否則不適合用于長時間曝光的天文攝影。

七、反思與評價

（1）凡是求高（即一個線段的長度）的實際問題，往往可以借助解直角三角形的數學知識來解決，如果沒有現成的直角三角形，可以設法構造一個直角三角形。

（2）對于一些負雜的地理情況等，如果不能以單解一個直角三角形來解決，就可以考慮解兩個直角三角形來解決。

（3）如果更復雜寫的問題，不能通過解直角三角形來解決問題，我們可以去尋找已知與未知的簡單幾何關系來確定如何解決，等量代換等，側面借助解三角形建立等量方程從而解決問題。

八、結論

測量高大建筑物時應該考慮實際地形，因地而異，大致分為以上幾個類型，可以代入計算從而簡便地得到建筑物的高度，可以節省測量的人力物力達到節約資源的目的。

九、說明

此篇論文主要圍繞一個實際問題，得到一系列計算高大建筑物高度的簡便方法，可以粗略得到結果，在分析過程中，忽略了一些次要因素，若帶入實際數據，還是會得到較為準確的數據，相信這篇論文會在實際問題中有一定的實際價值。以上是常見的測量建筑物高度的幾種解決方法，在不同條件和環境下可以較為精確地測出建筑物的高度，這就是數學的神奇之處，在生活中應用數學知識可以解決很多實際問題呦！