中學數學幾何機械化類問題的解題教學方法初探

林文波

摘要：隨著素質教育思想的深入，對中學數學教學提出了更高要求，其中幾何機械化類問題是初中數學知識中的重要組成部分，對培養學生創新思維有重要作用。本文主要圍繞中學數學機械化類解題思想、中學數學機械化類解題過程實例兩方面展開討論，根據實際習題來分析機械類數學問題的解題方法，可幫助學生充分掌握數學解題技巧，有利于數學教學的良好發展。

關鍵詞：中學數學；機械類問題；解題教學方法

前言：中學數學課程經過改革后，在理念、結構以及結構等方面發生了很大變化，其中“空間與圖形”這一模塊知識來自傳統幾何類問題，是要求學生充分掌握的一部分知識。幾何機械類問題的解決對學生空間想象能力有更高要求，給學生帶來了一定的學習難度，因此，需要加強對解題教學方法的研究，加深學生對空間立體的認識，進而促進學生數學學習能力的加強。

一、中學數學機械化類解題思想

有研究者指出數學教學的重要目的在于培養學生的問題解決能力和思考能力。中學數學機械化類解題思想為將隱性的解題經驗應用在問題解決上，并根據已知條件來分析其與求解問題的相關性，化幾何題目的無窮為有窮，通過對典型習題類型進行總結，來提高學生的幾何機械化類問題的解決能力。

二、中學數學機械化類解題過程實例

1. 梯形教學過程實例 梯形是中學數學教學中的重點講解內容，在對其教學過程進行分析時，可使學生一定程度掌握梯形的解題教學方法。在實際教學過程中，應發揮教師在教學活動中的指導作用，幫助學生確定明確的學習目標，并有清晰的解題思路。以梯形解題教學過程為例，在學習梯形綜合計算及證明這一模塊知識時，教師會首先將教學重點設置為尋找該類問題共性，并得到機械化解題方法。之后教師將在解決實際問題的過程中，鍛煉學生的解題能力。如在某一梯形ABCD中，AD//BC，且AB=AD=DC=2，BC=5。求∠B度數和AC邊長。在面對這一問題時，教師會為學生提供一定思考空間，并與學生進行積極互動，鼓勵學生將自身見解表達出來，然后在解題過程中明確思路，引導學生參與到解題中。

如在求解角的度數時，教師將采用特殊三角形和正余弦函數等知識內容，會指導學生根據已知條件來思考可以用到的數學知識，引導學生在已知梯形中尋找特殊三角形，在完成上述步驟后，教師會要求學生將特殊三角形與需要求解的度數聯系起來。通常借助輔助線來得到想要的條件，通過劃分出等邊三角形或者等腰三角形，可實現問題的有效解決。而在求解梯形邊長時，中學解題方法包括特殊三角形或者四邊形、勾股定理等，對這道問題來講，學生可根據已經求解出的∠B的度數來設計解題思路，在輔助線的作用下，能得到已知角度和其中一條邊長度的三角形，進而保證問題的有效解決。教師主要通過解題實踐來加深學生對幾何機械化類問題解題方法的掌握，能在逐步解題的過程中，使得學生保持清晰的解題思路，并與學生進行積極互動，在保證學生主體地位的基礎上，實現較好的教學效果。

2. 綜合性探究題教學實例 綜合性探究題同樣是要求學生重點掌握的知識內容，在進行這類知識的講解時，應總結出此類問題共性，使其形成不同類型模塊，進而得出機械化的解題步驟，促使學生能有效掌握這類問題的解決方法。綜合性探究性問題解決難點主要體現在模塊的歸納以及解題思路連貫性上，因此，教師將主要針對教學中難點來制定教學方案。例如，已知在△ABC中，2∠ACB=∠BAC，并且點D是△ABC中的一點，其中BD=BA，AD=CD。試驗證∠ABC與∠DCB度數的比值。在解決這類問題時，教師會向學生灌輸將圖形特殊化后得出猜想這一解題思路，如假設∠BAC度數為90°時，可得出這一條件下AB和AC的數量關系，并可結合其他已知角的度數來得出∠DBA和∠ABC度數比值。之后可假設該角不等于90°，這時教師會鼓勵學生畫出對應圖形，并驗證是否與上述得出的結論一致并加以證明。為了保證學生對知識的有效掌握，教師會從簡到難來引導學生對這類問題共性的總結，能幫助學生構建強大的解題思路，使得掌握機械化解題方法。

3. 中學數學圓的教學實例 在開展這類知識的教學活動時，教學內容主要為圓與直線的位置關系計算及證明，需要學生在不斷練習后，掌握這類問題的解題技巧，并將其形成模塊，得出機械化的解題方法，從而加深學生對數學知識的了解和掌握。圓與直線位置關系計算和證明這類問題的教學難點體現在解題方法的歸納和解題思路的清晰上，因此，為了保證學生充分掌握解題方法的靈活應用，應加強對教學方法的研究，并利用多媒體課件和幾何教具等實現較好的教學效果。

在實際教學過程中，考慮到這類問題與梯形部分解題方法類似，可參考梯形教學過程來開展教學活動。首先確定圓的考題形式，指導學生通過問答的方式對圓形直徑、半徑、切線、弦等重要內容和判定方法進行系統復習，以便幫助學生掌握機械化解題技巧。例如，教師為了培養學生解題能力，會列舉以下題型：已知在△ABC中，D點AB邊上的一點，圓O經過B、C、D三點，并且∠DOC=2∠ACD=90°。根據已知條件，證明直線AC為圓O切線；求解當∠ACB=75°，圓O半徑為2時，BD的長。這一題型是圓部分較為常見的題目，要求學生能快速分析已知條件，并確定正確的解題思路。首先，在證明切線問題時，應養成學生尋找圓半徑的解題意識，這道題目中已經有一過C點的半徑，因此，第一證明問題可利用半徑來為解決，將問題簡化為證明∠ACO=90°。在上述解題過程中，可幫助學生回顧圓的基本性質，運用到了圓的半徑相等，則△ODC為一個等腰三角形的知識，求得∠DCO=∠CDO，從而解決上述問題。

在解決第二問時，需要求出線段長度。在解決這一問題時，應引導學生結合已知條件進行分析，如題目中給出∠ACB=75°，是非特殊角，而幾何問題求解的關鍵在于尋找特殊角。因此，面對這一問題時，要求學生能從盡可能得到特殊角這一解題方向考慮。其次，觀察某邊長度是否是某個四邊形或者三角形對應的邊長，并判斷四邊形或者三角形的特殊性質。從條件出發來分析問題，能保證問題的有效解決。在分析已知條件時，還可知道∠AC=45°，進一步得出∠DCO=30°，即是得到特殊角。但是△DBC不是特殊三角形，為了保證問題的有效解決，應對其進行轉化處理。這時需要再次思考圓的基礎知識，如圓心角和圓周角，教材中提到圓弧對應圓周角為其對應圓心角的兩倍，所以要求學生能想到將半徑BO連接起來，進而得到一個新的等邊三角形，進一步利用特殊三角形性質來解決邊長問題。通過對實際問題的分析，能在解題過程中鍛煉學生解題能力，并引導他們掌握正確的解題思路，對學生解題能力的提高有重要作用。

結論：綜上所述，中學數學教學對學生發展有重要作用，主要體現在學生思考意識和創新意識的培養上。幾何機械類問題始終是數學教學中的重點內容，可起到鍛煉學生空間想象能力的作用，為了保證學生對這一模塊知識有良好掌握，應加強對問題解決方法的研究，以便幫助學生對空間幾何問題有更深了解。

參考文獻：

[1]劉兼，孫曉天.數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2008.218—219

[2] 呂亞軍.初中平面幾何新舊教材結構的比較研究[D].蘇州：蘇州大學，2007，11-31.

[3]教育部.全同制義務教育數學課程標準（實驗稿），[M].北京：北京師范大學出版社，2001：97.

[4]張奠宙，方均斌.研究吳文俊先生的數學教育思想[J].數學教育學報，2009（4）：15-16.

[5] 張奠宙，趙小平.遵守約定和自主創新[J].數學教學，2009（3）：21-22.

（作者單位：浙江省溫嶺市城南鎮岙環中學 317500）