分類討論思想在解題中的應(yīng)用

姜章波

參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問題中，也是近幾年來高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問題之一。以命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)，含參數(shù)的問題可分為兩種類型，。一種類型的問題是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），去探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后歸納出命題的結(jié)論；另一種類型的問題是給定命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿足的條件。本文擬就第一類問題的解題思想方法――分類與討論作一些探討，不妥之處，敬請斧正。

解決第一類型的參數(shù)問題，通常要用“分類討論”的方法，即根據(jù)問題的條件和所涉及到的概念；運(yùn)用的定理、公式、性質(zhì)以及運(yùn)算的需要，圖形的位置等進(jìn)行科學(xué)合理的分類，然后逐類分別加以討論，探求出各自的結(jié)果，最后歸納出命題的結(jié)論，達(dá)到解決問題的目的。它實(shí)際上是一種化難為易?；睘楹喌慕忸}策略和方法。

一、科學(xué)合理的分類

把一個(gè)集合A分成若干個(gè)非空真子集Ai（i=1、2、3···n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一個(gè)元素屬于且僅屬于某一個(gè)子集。即

① A1∪A2∪A3∪···∪An=A

②Ai∩Aj=φ（i，j∈N，且i≠j）。

則稱對集A進(jìn)行了一次科學(xué)的分類（或稱一次邏輯劃分）

科學(xué)的分類滿足兩個(gè)條件：條件①保證分類不遺漏；條件②保證分類不重復(fù)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)問題的條件和性質(zhì)，應(yīng)盡可能減少分類。

二、確定分類標(biāo)準(zhǔn)

在確定討論的對象后，最困難是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，一般來講，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：

（1）根據(jù)數(shù)學(xué)概念來確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例1：絕對值的定義是： |a|=a（a>0）

0（a=0）

-a（a<0）

所以在解含有絕對值的不等式|log13 x|+|log13 （3-x）|≥1時(shí)，就必須根據(jù)確定log13 x ，

log13 （3-x）正負(fù)的x值1和2將定義域（0，3）分成三個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論，即0

1≤x<2，2≤x<3三種情形分類討論。

例1、 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為m，到直線L：x=2的距離為n，且m+n=4

（1）求點(diǎn)M的軌跡方程。

（2）過原點(diǎn)O作傾斜角為α的直線與點(diǎn)M的軌跡曲線交于P，Q兩點(diǎn)，求弦長|PQ|的最大值及對應(yīng)的傾斜角α。

解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），依題意可得：x2+y2+x-2= 4

根據(jù)絕對值的概念，軌跡方程取決于x>2還是x≤2，所以以2為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論可

得軌跡方程為：y2 = 4（x-1）（-1≤x<2）

-12（x-3）（2≤x<3）

解（2）如圖1，由于P，Q的位置變化，弦長|PQ|的表達(dá)式不同，故必須分點(diǎn)P，Q都在曲線y2=4（x+1）以及一點(diǎn)，在曲線y2=4（x+1）上而另一點(diǎn)在曲線y2=-12（x-3）上可求得：PQ=4sin2α（π3≤α≤2π3）

81+cosα（0≤α<π3）

81-cosα（2π3<α<π）

從而知當(dāng)α=π3或α=2π3時(shí)，PQmax=163.

（2）根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理，公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)。

數(shù)學(xué)中的某些公式，定理，性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，就要分類討論，分類的依據(jù)是公式中的條件。

例如，對數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性是分01兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式；如logx13>-1就應(yīng)以底數(shù)x>1和01時(shí)，13>1x， 當(dāng)0

又如，等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式是分別給出的：

Sn=na1（q=1）

a1（1-qn）1-q（q≠1）

所以在解這類問題時(shí)，如果q是可以變化的量，就要以q為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。

例2：設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q>0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，又設(shè)Tn=SnSn+1，n=1，2，···

求Tn

解：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n，Tn=nn+1 ， ∴l(xiāng)imn→∞Tn=1

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=1-qn1-qSn+1=1-qn+11-qTn=1-qn1-qn+1

于是當(dāng)0

當(dāng)q>1時(shí)，limn→∞1qn=0，∴l(xiāng)imn→∞Tn=1q

綜上所述，limn→∞Tn=1（0 1q（q>1）

三、分類討論的方法和步驟

（1）確定是否需要分類討論以及需要討論時(shí)的對象和它的取值范圍；

（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理分類；

（3）逐類進(jìn)行討論得出各類結(jié)果；

（4）歸納各類結(jié)論。

例3：若函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）和（π2，1）兩點(diǎn)，且x∈[0，π2]時(shí)，|f（x）|≤2恒成立，試求a的取值范圍。

解：由f（0）=a+b=1，f（π2）=a+c=1，求得b=c=1-a

f（x）=a+（1-a）（sinx+cosx）=a+2（1-a）sin（x+π4）

∵π4≤x+π4≤3π4，∴22≤sim（x+π4）≤1

①當(dāng)a≤1時(shí)，1≤f（x）≤a+2（1-a）∵|f（x）|≤2∴只要a+2（1-a）≤2解得a≥-2∴-2≤a≤1；②當(dāng)a>1時(shí)，a+2（1-a）≤f（x）≤1，∴只要a+2（1-a）≥-2，解得a≤4+32 ， ∴1

例4：已知函數(shù)f（x）=sim2x-asim2x2 （x∈R，a∈R）

試求以a表示f（x）的最大值b。

解：原函數(shù)化為f（x）=-（cosx-a4）2+（a-4）216

令t=cosx，則-1≤t≤1

記g（t）=-（t-a4）2+（a-4）216。t∈[-1，1]

因?yàn)槎魏瘮?shù)g（t）的最大值的取得與二次函數(shù)y=g（t）的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相對于定義域[-1，1]的位置密切相關(guān)，所以以a4相對于區(qū)間[-1，1]的位置分三種情況討論：

（1）當(dāng)-1≤a4≤1，即-4≤a≤4時(shí)，b=g（t）max=（a-4）216， 此時(shí)t=a4 ；

（2）當(dāng)a4<-1， 即a<-4時(shí)，b=-a ， 此時(shí) t=-1

（3）當(dāng)a4>1， 即a>4時(shí)，b=0， 此時(shí)， t=1

綜上所述：b=0（a>4）

（a-4）216（-4≤a≤4）

-a（a<-4）

分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而并不是問題中一出現(xiàn)含參數(shù)問題就一定得分類討論，如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想等解題思想方法可避免或簡化分類討論，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果。

（作者單位：江西省進(jìn)賢縣第二中學(xué) 331700）