柏萌，馮兆永，周慶華

(1. 廣東省肇慶學院數學與統計學院，廣東 肇慶 526061；2. 中山大學數學學院，廣東 廣州 510275)

本文研究如下帶分布時滯的具有尺度結構的非線性的種群模型:

(1)

對于0≤x≤m

(2)

問題(1)是一個帶分布時滯的具有尺度結構的非線性的種群模型。在問題(1)中，既考慮新生個體的產生過程中需要的不可少的時間間隔，又考慮種群內部競爭的影響。確切的說，問題(1)的分布時滯表示的是懷孕到生產或者產卵到孵化的時間間隔，這個時間間隔可以從0變到τ(參見文[1-5])，而且生長率γ、死亡率μ和繁衍概率β都與較小尺度種群和較大尺度種群的總密度相關。類似問題(1)的線性的帶分布時滯的具有尺度結構的種群模型的全局解的適定性和解的漸近性態已在文[2]得出。問題(1)正的全局解的存在性已在文[4]得出。本文將研究問題(1)正穩態解的存在性。對于非線性的種群發展方程，正穩態解(即與時間無關的解)的存在性是很重要的問題，近年來不少學者用不同的方法研究了一系列非線性的不帶時滯的種群發展方程的正穩態解的存在性[6-9]。文[6]用計算的方法研究了一個非時滯的帶尺度結構的種群模型的正穩態解的存在性。文[7-9]用算子半群的方法研究了一些非時滯的帶年齡結構或者尺度結構的種群模型的正穩態解的存在性。本文主要利用文[7]和文[9]的算子半群方法，研究問題(1)的正穩態解的存在性，由于此問題是帶分布時滯的，需要一些改進，主要的改進在將問題(1)這個帶分布時滯的種群模型正穩態解的存在性問題轉化為巴拿赫空間上的柯西問題正穩態解的存在性問題。

本文對生長率γ、死亡率μ和繁衍概率β的假設如下：

(H2)γ∈C([0,m]×[0,+∞)×[0,+∞)),存在常數γ0>0，使得對于所有的x∈[0,m]，N1∈[0,+∞)和N2∈[0,+∞)，都有γ(x,N1,N2)≥γ0。γ對于x存在一階偏導數γx∈C([0,m]×[0,+∞)×[0,+∞))，并且存在常數γ1>0，使得對于所有的x∈[0,m],N1∈[0,+∞)和N2∈[0,+∞)，都有|γx(x,N1,N2)|≤γ1。

(H3)β∈C([-τ,0]×[0,m]×[0,m]×[0,+∞)×[0,+∞)),β≥0，并且當y>x時,β(·,x,y,·,·)>0。

1　問題轉化

本節將問題(1)正穩態解的存在性問題轉化為巴拿赫空間上的柯西問題正穩態解的存在性問題。可在文[1-3]中找到相似的轉化方法。

引入如下巴拿赫空間：

XL1[0,m], 其模為

X1L1[0,l], 其模為

X2L1[l,m], 其模為

Y{u∈W1,1(0,m):u(0)=0}，其模為

EL1([-τ,0],X)

其模為

A(V1,V2)u(-γ(·,V1,V2)u)′對于u∈X；

B(V1,V2)u-μ(·,V1,V2)u對于u∈X；Φ(V1,V2)對于

對于給定的v∈X，有A(V1,V2)∈L(Y,X),B(V1,V2)∈L(X)和Φ(V1,V2)∈L(E,X)。 利用以上記號，將問題(1)重新寫為巴拿赫空間X上的延遲微分方程的初邊值問題:

(3)

此處n:[0,+∞)→X定義為n(t)n(t,·);nt:[-τ,0)→X定義為nt(σ)n(t+σ),σ∈[-τ,0]，而且

接下來, 引入巴拿赫空間E上如下算子:

D(G)=W1,1([-τ,0],X)，

注意到G∈L(D(G),E)且Q∈L(D(G),X)。 令

X

Y

W1,1([-τ,0],X)×W1,1(0,m),

定義算子A(V1,V2):Y→X:

A(V1,V2)U

對于

利用以上記號，將問題(3)重新寫為巴拿赫空間X的柯西問題:

(4)

此處

于是問題(1)的正穩態解的存在性問題，可以轉化成如下問題解的存在性問題:

(5)

對于

2　正穩態解的存在性

本節首先考慮β可以分離的特殊情況，即

β(σ,x,y,N1,N2)=β1(x)β2(σ,y,N1,N2)

或者

β(σ,x,y,N1,N2)=β3(x,N1,N2)β4(σ,y)

或者

β(σ,x,y,N1,N2)=β5(x,N1)β6(σ,y,N2)

或者

β(σ,x,y,N1,N2)=β7(x,N2)β8(σ,y,N1)

利用文[7]中的定理2.5給出以上情況下問題(5)有解的充分條件。然后再用文[9]中的算子擾動的方法給出β為一般情況下問題(5)有解的充分條件。

這里以

β(σ,x,y,N1,N2)=β1(x)β2(σ,y,N1,N2)

或者

β(σ,x,y,N1,N2)=β3(x,N1,N2)β4(σ,y)

為例, 其余的特殊情況的分析過程和結論類似。給出以下假設(H4)和(H4)′：

(P1) 當(U1,U2)=(0,0)時，s(A(U1,U2))>0；

其中

Eλ(x,U1,U2)=

(λI-A(U1,U2))U=0

上述方程的解為

上式兩邊分別乘上eλσβ2(σ,x,U1,U2)，然后分別對x和σ從0到m和-τ到0積分，可得

于是可知，λ∈C是線性算子A(U1,U2)的特征值當且僅當λ是特征方程K(U1,U2)(λ)=1的解。

定理1假設條件(H1)-(H4)成立, 并且

則問題(5)有解。

定理2假設條件(H1)-(H3)以及(H4)′成立，并且

則問題(5)有解。

證明同定理1(略)。

接下來給出β為一般情況下問題(5)有解的充分條件。

定理3假設條件(H1)-(H3)以及以下的兩個假設條件成立:

而且

(H6) 存在

使得

σ∈[-τ,0],x,y∈[0,m]

而且

則問題(5)有解。

定理4假設條件(H1)-(H3)以及以下的兩個假設條件成立:

σ∈[-τ,0],x,y∈[0,m]

而且

則問題(5)有解。

證明同定理3(略)。

根據β的分離情況還可以提出類似定理3和定理4的充分條件, 這里不一一累述。

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