數學悖論研究

(重慶工商大學　重慶　400067)

悖論就是指在邏輯上可以推導出互相矛盾的結論，但是表面上看起來又能夠自圓其說的命題或者理論體系。比如“我說的是假話”[1]，這種說法在生活中是正常且常見的，但是仔細觀察分析一下：因為我說的話是假話，按此假定“我說的是假話”是假話，說明真實就是“我說的是真話”，可是這又意味著我說的是真話，那么“我說的是假話”就是真的，怎么一句話看上去完美無缺似乎是沒有什么矛盾，但結果就是“我說的是假話”既是真話又是假話呢？但這就是悖論的有趣之處，下面我們來鑒賞悖論奇景的冰山一角，本文簡單列舉以下三種方向的悖論。

一、邏輯學悖論

邏輯學是一切演繹推理的基礎，不具備基礎的邏輯推理能力學習數學是非常艱難的。有一個有趣的例子—“這句話有八個字”，很明顯這句話是是錯的，明明白白的只有七個字，那么它的反話就應該是對的吧？多數人都會這么想；這句話的反話是“這句話沒有八個字”，但是咱們來數一數，這句話明明就是八個字，那么這句話也是錯的。為什么會出現這種尷尬的局面呢，這就是邏輯悖論的魅力所在，用常識的思想去思考是行不通的，一味地嚴肅查看問題也并許還不如換個角度思考問題來的輕松。

有一個很出名的悖論——“唐·吉柯德悖論”[2]：小說《堂吉訶德》里描寫過一個國家，它有一條奇怪的法律：每一個旅游者都回答一個問題。問：“你來這里做什么？”如果旅游者回答對了，一切都好辦；如果回答錯了，他就要被絞死。一天，有個旅游者回答：“我來這里是要被絞死。”這時，衛兵們就慌了神，如果他們不把這旅游者絞死，他就說錯了，他就得受絞刑。可是，如果他說對了，就不應該絞死他。為了作出決斷，旅游者被送到國王那里。苦苦想了好久，國王才說：“不管我做出什么決定，都肯定要破壞這條法律，我們還是寬大為懷算了，讓這個人自由。”這個旅游者正是聰明的利用了這條法律的悖論之處，讓人抓不到他的過錯，保住了他的性命。

二、概率論悖論

概率論作為一門學科在數學當中占了很大的分量，而且幾乎沒有一個學數學的教數學的不知道概率對本科目的重要性，按約瑟夫·巴特勒的說法，概率是“生活的真正指南”[3]，正如它是現代科學的每一學科的指南一樣。史密斯教授和兩個數學學生一起吃午飯：

教授：“我來告訴你們一個新游戲，把你們的錢包放在桌上，我來數你們的錢，錢包里的錢最少的那個人可以贏掉另一個人錢包里的所有的錢。”

喬：“如果我的錢比吉爾的多，她就會贏掉我的錢。可是，如果她的多，我就會贏多余我的錢，所以我贏的要比輸的多。因此這個游戲對我有利。”

吉爾：“如果我的錢比喬多，他就會贏掉我的錢。可是，如果他的錢比我的多，我就可以贏，而我贏的比輸的多，所以游戲對我有利。”

一個游戲怎么會對雙方都有利呢？這是不可能的。是不是因為兩個參與者都錯誤的設想自己輸和贏的機會是相等的，因而產生了這個謬論呢？這個有意思的悖論出自法國數學家莫里斯·克萊特契克，在他的《數學消遣》書中用領帶代替錢包。很容易表明，如果我們作出一個明確的假定來準確的限定條件，他就是一個公正的比賽。當然，如果我們已經得知比賽中的一個人總愛帶較少的錢，那么我們就知道這個比賽是不公平的。如果無法得知這類消息我們就可以假定每一個比賽者有從0到任意數量的隨便多少錢。可惜，這不可能告訴你兩個比賽者的想法錯在哪里，書中也未給出確切的說法，有讀者有興趣的可以思考思考。

戰國時趙國人公孫龍曾經著有《公孫龍子》一書，平原君禮遇甚厚。其“白馬非馬”[4]就是他的著名命題。

據說，公孫龍有一次騎馬過關，把關的人對他說：“法令規定馬不許過。”公孫龍回答說：“我騎的是白馬，白馬不是馬，這可是兩回事啊。”公孫龍的“白馬”最終有沒有過關，我們不得而知。從常人的觀點來看，守關的士兵八成認為公孫龍是在詭辯。這也是一個邏輯上“莫能與辯”，現實中不能成立的例子。

辯證法是在對付詭辯論的過程中發展起來的。黑格爾在《小邏輯》中說：“辯證法切不可與單純的詭辯相混淆，詭辯的本質在于孤立起來看事物，把本身片面的、抽象的規定，認為是可靠的[5]。”

從辯證法的角度看，“白馬非馬”割斷了個別和一般的關系。白馬屬于個性，特指白顏色的馬；馬屬于一般具有各種顏色的馬的共性。公孫龍區分了它們之間的差別，但是又絕對化了這種差別。白馬盡管顏色上不同于其他的馬，如公孫龍提到的黃馬、黑馬，但仍然是馬。作為共性的“馬”寓于作為個性的“白馬”之中。“馬”作為一般的范疇，包括各種顏色的馬，公孫龍的白馬自然也不例外。

三、關于時間的悖論

從微小的基本粒子到巨大的星系，整個宇宙都處于永恒的變化中，它那令人難以置信的因果每一微秒都在時間的無情流逝中變化著[6]。沒有人能想象出一個沒有時間的真實世界。一個亦只在零秒中的客觀事物根本不存在。幸好，時間是在均勻的流逝，因而可以測量，伴隨著測量，便有了數和方程。純粹數學也許被當作是“沒有時間的”，但在應用數學中，從簡單的代數到微積分以致更深的領域，大量問題都是以時間為基本變量的。

時間能夠倒流嗎？當某項運動反轉時，如一個人往回走，或一輛汽車往回開的時候，看起來像是時間倒流了一樣，一首歌順著放是這樣，倒著放是那樣。生活中大多數事情是不能逆轉的，時間好比一支箭，它總是指向一個相同的方向。即使一首歌翻轉播放時，音符也還是一個一個隨著時間向前推移。我們不可能看見未來，我們只能回顧以往。當你看見一顆以前光年以外的星星的時候，你所看見的已經是一千年以前的情景了。可是，看見過去與身臨其境是不同的。

四、總結

一般地說，由于悖論是一種形式矛盾，即是某些特殊的思想規定的產物，它們就不可能是事物辯證性質的直接反映；進而，我們也就不能把它們說成是“特殊的客觀真理”，而只能說它們是“歪曲了的真理”。

古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念和突破。

【參考文獻】

[1]黃展驥.“矛盾”、“自涉”、“意義”、“悖論”漫談——批判西方多位著名論者[J].河池師專學報(社會科學版).2004(01)

[2]繞道慶.意義的重建：從過去到未來——《堂吉訶德》新論[J].外國文學評論，1992(04)

[3]周炳飛.數學文化滲透視角下概率統計數學[J].教育教學論壇，2014(20)

[4]江向東.《公孫龍子·指物論》新詮[J].中國哲學史，2011(01)

[5]王元化.讀黑格爾《美學》筆記[J].華東師范大學學報(哲學社會科學版)，1998(03)

[6]悖論，百度百科相關介紹