解“好題”，“解好”題
——例析指向減負(fù)增效的數(shù)學(xué)作業(yè)布置和完成要求

石樹(shù)偉

（揚(yáng)州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心，江蘇　揚(yáng)州　225006）

學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，但許多教師沒(méi)有深入思考學(xué)數(shù)學(xué)需要解怎樣的題、怎樣解題，僅片面理解為學(xué)數(shù)學(xué)就是要大量刷題，導(dǎo)致當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)試式的題海訓(xùn)練盛行，學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)沉重，學(xué)生疲于應(yīng)付、只做不思，不僅嚴(yán)重摧殘學(xué)生的身心健康，更影響學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力的培養(yǎng)。學(xué)生作業(yè)減負(fù)增效已刻不容緩！

一、布置作業(yè)需思考：做作業(yè)，為什么

做任何事都應(yīng)目的明確，否則就做不好事。學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，這句話本身沒(méi)有問(wèn)題，著名數(shù)學(xué)家華羅庚也說(shuō)過(guò)，學(xué)數(shù)學(xué)不解題，猶如入寶山而空返。但許多教師對(duì)這句話還缺乏深入思考，特別是疏于對(duì)解題目的的思考：入寶山究竟淘什么寶？南京師大附中陶維林老師曾經(jīng)給青年教師出過(guò)一個(gè)思考題：做題目，為什么？同樣，教師布置作業(yè)時(shí)也需要思考這一本原性問(wèn)題：做作業(yè)，為什么？想清楚“為什么要讓學(xué)生做題目”“為什么要給學(xué)生布置這些題目”[1]，教師布置作業(yè)就不會(huì)盲目。教師應(yīng)認(rèn)識(shí)到，解題可以鞏固知識(shí)、熟練技能，這是解題的初級(jí)目標(biāo)，是需要的也是必要的，達(dá)成這一目標(biāo)，適量的重復(fù)訓(xùn)練即可；解題還可以提升能力、增長(zhǎng)智慧，這是解題的高級(jí)目標(biāo)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)作業(yè)減負(fù)增效所追求的目標(biāo)，達(dá)成這一目標(biāo)不是題海訓(xùn)練所能完成的。目的明確了，學(xué)生作業(yè)減負(fù)增效才有可能。

目的清楚了，還必須圍繞目的行事。為提升能力、增長(zhǎng)智慧以達(dá)到減負(fù)增效的作業(yè)效果，學(xué)生作業(yè)需解“好題”、“解好”題。解“好題”是對(duì)作業(yè)布置——解怎樣的題的要求，“解好”題則是對(duì)作業(yè)完成——怎樣解題的要求。現(xiàn)在的困難在于如何做到讓學(xué)生解“好題”、“解好”題。

二、解“好題”，怎樣才算是“好題”

這里的“好題”主要是針對(duì)構(gòu)成一次作業(yè)的一組習(xí)題而言的。單個(gè)的習(xí)題有好壞之分，但因?yàn)槿粘＝虒W(xué)中初中數(shù)學(xué)作業(yè)習(xí)題原創(chuàng)很難，以教師選擇、改編為主，而教師的功力更主要地體現(xiàn)在構(gòu)成一次平時(shí)作業(yè)的一組習(xí)題的精心編排和組合，讓學(xué)生做適量的題就能達(dá)到作業(yè)目的，并取得好的成績(jī)，這是考驗(yàn)教師水平的。

1．“好題”應(yīng)具有典型性

笛卡兒說(shuō)過(guò)：“我所解決的每一個(gè)問(wèn)題將成為一個(gè)范例，以用于解決其他問(wèn)題。”學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間非常寶貴，作業(yè)練習(xí)的習(xí)題應(yīng)力求是典型的：既要鞏固應(yīng)用當(dāng)前所學(xué)知識(shí)、滲透重要數(shù)學(xué)思想方法，也應(yīng)是某種規(guī)律的代表，能由“個(gè)”及“類(lèi)”[2]。如三角形的全等和相似常常可以歸結(jié)到某一類(lèi)基本圖形，因此在選編這部分內(nèi)容的作業(yè)時(shí)，應(yīng)對(duì)三角形全等和相似的基本圖形進(jìn)行梳理，加強(qiáng)基本圖形的識(shí)別與訓(xùn)練。

案例1：相似三角形的判定課后作業(yè)之一

題1.如圖1，已知AB⊥BD，ED⊥BD，點(diǎn)C是線段BD上的一點(diǎn)，且AC⊥CE，找出圖中的相似三角形，并說(shuō)明理由。

題2.如圖2，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)。連接DE作∠DEF=45°，與邊BC相交于點(diǎn)F。找出圖中的一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由。

題 3.圖 1中∠B=∠D=∠ACE=90°，圖 2中∠A=∠B=∠DEF=45°，一條直線上的三個(gè)角必須是90°或45°才有相似三角形嗎？推廣到一般情形，滿足什么條件就有三角形相似？

題4.如圖3，∠A=∠B=∠DEC，找出圖中的相似三角形，并說(shuō)明理由。形成過(guò)程，學(xué)會(huì)命題。

案例2：二次函數(shù)的應(yīng)用課后作業(yè)之一

題1．（祖題）用16m長(zhǎng)的籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形的生物園。長(zhǎng)為多少時(shí)長(zhǎng)方形生物園的面積達(dá)到最大？

題2．（本題）如圖4，要用總長(zhǎng)為16m的籬笆，一面靠墻圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的生物園飼養(yǎng)小兔。求小兔活動(dòng)范圍的最大面積。

題3．（子題1）如圖4，要用總長(zhǎng)為16m的籬笆，一面靠墻（墻的可利用長(zhǎng)度為6m）圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的生物園飼養(yǎng)小兔。（1）求小兔活動(dòng)范圍的最大面積；（2）解決上述問(wèn)題時(shí)，你結(jié)合大致圖像思考了嗎？假如沒(méi)有，嘗試一下結(jié)合圖像解決問(wèn)題，思考數(shù)形結(jié)合有什么好處？

題4．（子題2）如圖4，要用總長(zhǎng)為16m的籬笆，一面靠墻（墻的可利用長(zhǎng)度為12m，且要求靠

圖4　

圖1　

圖2　

圖3　　

【案例評(píng)析】題1、題2在變化中進(jìn)行適度的重復(fù)，鞏固熟練三角形相似判定方法的應(yīng)用，更主要的是在重復(fù)中感悟三角形相似基本圖形的結(jié)構(gòu)特征。題3、題4則是反思提升，將題1、題2由特殊情況推廣到一般情形，提煉三角形相似的基本圖形——一線三等角，充分體現(xiàn)了作業(yè)習(xí)題選擇的典型性。

2．“好題”應(yīng)具有生長(zhǎng)性

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞有過(guò)一個(gè)形象的比喻：“好題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處：它們都成串生長(zhǎng)。找到一個(gè)以后，我們應(yīng)該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的。”作業(yè)習(xí)題應(yīng)從一條常見(jiàn)習(xí)題——本題追溯其來(lái)源——祖題（或題根），再?gòu)谋绢}衍生出新的問(wèn)題——子題，使作業(yè)習(xí)題體現(xiàn)生長(zhǎng)性。習(xí)題的變式生長(zhǎng)，既能為學(xué)生搭建恰當(dāng)?shù)摹澳_手架”，由易到難不斷提升訓(xùn)練的思維層次，又具有一定的創(chuàng)新成分，有效避免機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)“在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上有所發(fā)展”[3]；既能讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題，又能讓學(xué)生見(jiàn)習(xí)習(xí)題的墻一邊AD的長(zhǎng)不小于6m）圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的生物園飼養(yǎng)小兔。（1）求小兔活動(dòng)范圍的最大面積；（2）小兔的活動(dòng)范圍存在最小面積嗎？若存在，求出最小面積。

（題4簡(jiǎn)解如下：設(shè) AB=xm，面積為ym2，則y=-2x2+16x=-2(x-4)2+32。由6m≤BC≤12m，可得6≤16-2x≤12，即2≤x≤5。結(jié)合圖像，所以當(dāng) x=4即 AB=4m時(shí)面積 y=32m2，當(dāng) x=2即AB=2m時(shí)面積y=24m2。）

題5．（反思）回顧從題2到題4求面積最值的過(guò)程，它們有什么共同之處，又是如何變化發(fā)展的？

題6．（反思）一次式乘以一次式才會(huì)有二次式，因此二次函數(shù)模型一般來(lái)源于生活中a×b型的數(shù)量關(guān)系。試想一下：（1）面積問(wèn)題中為什么容易構(gòu)造出二次函數(shù)？（2）除了面積問(wèn)題，生活中還有哪些問(wèn)題可以構(gòu)造二次函數(shù)模型？

【案例評(píng)析】二次函數(shù)的應(yīng)用是中考必考且壓軸的常見(jiàn)題型，案例從題1到題4通過(guò)實(shí)際問(wèn)題中自變量取值范圍的不斷變化，變式拓展問(wèn)題，至題4儼然已經(jīng)形成一道綜合應(yīng)用題。學(xué)生通過(guò)變式過(guò)程的回顧，可以清楚地看到一道二次函數(shù)應(yīng)用中考?jí)狠S題是怎么形成的。因?yàn)槎伪仨氂梢淮纬艘淮味鴣?lái)，因此二次函數(shù)的應(yīng)用題常源自乘法模型，生活中的乘法模型常見(jiàn)兩類(lèi)問(wèn)題，一類(lèi)是面積問(wèn)題（長(zhǎng)乘寬或底乘高），一類(lèi)是銷(xiāo)售問(wèn)題（單價(jià)乘銷(xiāo)量或單件利潤(rùn)乘銷(xiāo)量），題5、題6引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)應(yīng)用題的命題過(guò)程及來(lái)源進(jìn)行了本質(zhì)揭示。這樣具有生長(zhǎng)性的作業(yè)題，會(huì)讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)題的命制并不神秘！

3．“好題”應(yīng)具有聯(lián)系性

量子論創(chuàng)立者普朗克說(shuō)：“科學(xué)是內(nèi)在的統(tǒng)一體，它被分解為單獨(dú)的部門(mén)不是由于事物的本質(zhì)，而是由于人類(lèi)認(rèn)識(shí)能力的局限，實(shí)際上存在著從物理學(xué)到化學(xué)、人類(lèi)學(xué)到社會(huì)學(xué)的連續(xù)鏈條。”科學(xué)知識(shí)之間存在著聯(lián)系，數(shù)學(xué)習(xí)題之間也是有聯(lián)系的。作業(yè)習(xí)題宏觀上要關(guān)注不同章節(jié)知識(shí)之間的聯(lián)系，如三個(gè)一次（一次函數(shù)、一次方程與一次不等式）之間的聯(lián)系、兩個(gè)二次（二次函數(shù)與二次方程）之間的聯(lián)系、相似形與三角函數(shù)之間的聯(lián)系，微觀上關(guān)注本題與子題之間在思想方法上的聯(lián)系，習(xí)題之間增強(qiáng)聯(lián)系性有利于學(xué)生站得更高、看得更遠(yuǎn)，有利于學(xué)生把握問(wèn)題本質(zhì)。

案例3：平面圖形的認(rèn)識(shí)課后作業(yè)之一

題1．（1）如圖5，直線l上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，則圖中共有多少條線段？請(qǐng)分別表示出這些線段。（2）若一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，則這n個(gè)點(diǎn)之間共有多少條線段？

題2．（1）如圖6，從點(diǎn)O出發(fā)引出OA、OB、OC、OD四條射線，則圖中共有多少個(gè)角？請(qǐng)分別表示出這些角。（2）若從點(diǎn)O出發(fā)引出n條射線，則這n條射線共有多少個(gè)角？

圖5　　

圖6　

題3．（1）4支球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的總場(chǎng)數(shù)為多少？（2）n支球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的總場(chǎng)數(shù)為多少？

題4．（反思）n支球隊(duì)之間單循環(huán)比賽的場(chǎng)數(shù)與直線上n個(gè)點(diǎn)之間線段的個(gè)數(shù)、從一點(diǎn)出發(fā)的n條射線之間角的個(gè)數(shù)有聯(lián)系嗎？數(shù)學(xué)中、生活中還有類(lèi)似的問(wèn)題嗎？

【案例評(píng)析】將線段和角的個(gè)數(shù)問(wèn)題與單循環(huán)比賽場(chǎng)數(shù)問(wèn)題集中展示練習(xí)，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)三個(gè)問(wèn)題及其解法之間的聯(lián)系，既可以幫助學(xué)生通過(guò)幾何直觀理解抽象的單循環(huán)比賽場(chǎng)數(shù)問(wèn)題，又可以引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)“握手模型”，并繼續(xù)尋找“握手模型”在數(shù)學(xué)和生活中的體現(xiàn)，如多邊形中對(duì)角線條數(shù)的問(wèn)題、一條線路上n個(gè)站點(diǎn)之間票價(jià)的種類(lèi)問(wèn)題等，使學(xué)生在練習(xí)中能夠觸類(lèi)旁通，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無(wú)窮樂(lè)趣。

4．“好題”應(yīng)具有反思性

孔子云“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，告誡學(xué)子們只有把學(xué)習(xí)與思考結(jié)合起來(lái)，才能有所提升。同樣道理，學(xué)生數(shù)學(xué)作業(yè)不能只解題不思考，“做題千萬(wàn)道，解后拋九霄”是難以達(dá)到提升能力、增長(zhǎng)智慧的目的的。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為，“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”，在其名著《怎樣解題》列出的解題表中，他把解題分為四個(gè)階段：弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，其中“回顧”就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的解題反思。因此，好的作業(yè)題即“好題”一定要具有反思性。

好的作業(yè)題，一方面可以通過(guò)其生長(zhǎng)性、聯(lián)系性而自然創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)反思。另一方面，為彌補(bǔ)初中生數(shù)學(xué)思維的局限性，設(shè)計(jì)一些反思性問(wèn)題作為作業(yè)題，可以以云圖的形式附在相應(yīng)習(xí)題的一側(cè)，反思回顧解決問(wèn)題的關(guān)鍵及突破路徑，如案例2題1右側(cè)云圖中的反思性問(wèn)題；也可以按序編排在相應(yīng)的習(xí)題后面，反思總結(jié)一般規(guī)律、思想方法，這樣的反思性問(wèn)題本文案例都有涉及。通過(guò)反思性問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生被動(dòng)反思，逐步變被動(dòng)反思為主動(dòng)反思，培養(yǎng)學(xué)生解題后回顧反思的良好習(xí)慣。如案例1的題3，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題1、題2兩種特殊情況進(jìn)行反思，感悟兩題題圖的共同結(jié)構(gòu)特征，從而推廣到一般情形，形成三角形相似的一個(gè)非常有用的基本圖形；案例2題3的第（2）題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)最值尋求的過(guò)程進(jìn)行反思，體會(huì)感悟數(shù)形結(jié)合思想的作用；案例2的題5，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)面積問(wèn)題構(gòu)造二次函數(shù)的過(guò)程進(jìn)行反思，再發(fā)散尋找類(lèi)似的生活模型，有利于學(xué)生從根本上理解二次函數(shù)應(yīng)用題的由來(lái)，深刻領(lǐng)會(huì)生活中的常見(jiàn)二次函數(shù)模型；案例3的題4，引導(dǎo)學(xué)生比較分析線段個(gè)數(shù)、角的個(gè)數(shù)、單循環(huán)比賽場(chǎng)數(shù)三個(gè)問(wèn)題之間的聯(lián)系，聚斂形成“握手模型”，同時(shí)發(fā)散尋找類(lèi)似實(shí)例。

三、有了“好題”，怎樣才算“解好”

孔子曰：“舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也”。寫(xiě)出過(guò)程得出答案不代表就“解好”題了，解題應(yīng)從“答疑——解決一題之疑”，上升到“思疑——尋求一類(lèi)之策”[3]，從外在的答案走向內(nèi)在的經(jīng)驗(yàn)、思想、聯(lián)系，并發(fā)散創(chuàng)生形成新的問(wèn)題。這就要求在學(xué)生完成作業(yè)時(shí)，同樣在教師檢查作業(yè)時(shí)，既要重視一般性習(xí)題的解答，更要重視反思性問(wèn)題的思考。反思性問(wèn)題的完成情況更能體現(xiàn)學(xué)生作業(yè)完成的質(zhì)量，因?yàn)榉此夹詥?wèn)題是以前面一般性習(xí)題的完成為基礎(chǔ)的，是對(duì)一般性習(xí)題更深入的思考。

1．“解好”題——從過(guò)程走向經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生完成作業(yè)首先需認(rèn)真解答好一般性習(xí)題，然后在題側(cè)云圖出示的反思性問(wèn)題的引導(dǎo)下，回顧反思解題思路尋求的過(guò)程：思路是怎么產(chǎn)生的，關(guān)鍵是什么，遇到了哪些困難，是如何克服這些困難的。通過(guò)反思促進(jìn)學(xué)生的“元認(rèn)知”體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的思維調(diào)控能力，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)——思維的經(jīng)驗(yàn)。

如在案例2題1云圖的反思性問(wèn)題引導(dǎo)下，學(xué)生回顧解題過(guò)程，能意識(shí)到解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造二次函數(shù)，突破口是由問(wèn)題“長(zhǎng)為多少時(shí)長(zhǎng)方形面積最大”聯(lián)想到二次函數(shù)知識(shí)，從而積累解決最值問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，這樣才算真正“解好”了這道題。

2．“解好”題——從經(jīng)驗(yàn)走向思想

有了經(jīng)驗(yàn)還不夠。學(xué)生完成作業(yè)還需在認(rèn)真解答好一般性習(xí)題的基礎(chǔ)上，在反思性問(wèn)題的引導(dǎo)下總結(jié)歸納解題規(guī)律和策略，將習(xí)題由“個(gè)”的階段“類(lèi)化”上升至“類(lèi)”的階段，升華經(jīng)驗(yàn)，提煉一般規(guī)律，明晰數(shù)學(xué)思想。

如案例1的題3、題4意在揭示一般規(guī)律、提煉基本圖形，案例2題3的第（2）題意在引導(dǎo)學(xué)生感悟、明晰數(shù)形結(jié)合思想，這些問(wèn)題更需學(xué)生認(rèn)真思考解答，這些問(wèn)題的完成質(zhì)量標(biāo)志著學(xué)生是否“解好”了題。

3．“解好”題——從思想走向聯(lián)系

從經(jīng)驗(yàn)走向思想，還停留在解決一個(gè)一個(gè)的單個(gè)問(wèn)題、解決別人的問(wèn)題層面，沒(méi)有跳出解題者的視野。學(xué)生完成作業(yè)還需在認(rèn)真解答好一般性習(xí)題的基礎(chǔ)上，在反思性問(wèn)題的引導(dǎo)下回顧感悟習(xí)題的生長(zhǎng)性、聯(lián)系性，從宏觀上反思從生活到問(wèn)題、從問(wèn)題聯(lián)系知識(shí)，再不斷變式發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生感悟習(xí)題與生活、習(xí)題與知識(shí)、習(xí)題與習(xí)題之間的聯(lián)系，提升對(duì)習(xí)題的理解層次，并超越解題，經(jīng)歷習(xí)題的命制過(guò)程，形成從“解題”視角到“命題”視角的飛躍。

如案例2的題5、題6意在引導(dǎo)學(xué)生感悟二次函數(shù)應(yīng)用綜合題的完善過(guò)程及命制的生活源頭，案例3的題4意在引導(dǎo)學(xué)生感悟不同知識(shí)點(diǎn)、不同領(lǐng)域之間問(wèn)題設(shè)計(jì)的融會(huì)貫通，從會(huì)做題到會(huì)命題，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生作業(yè)的減負(fù)增效。

4．“解好”題——從聯(lián)系走向創(chuàng)生

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題也許只是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技巧問(wèn)題。而提出新的問(wèn)題、新的可能性，從新的角度看舊問(wèn)題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”解題不能總是解決別人的問(wèn)題，還要發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，創(chuàng)造問(wèn)題，留下猜想。學(xué)生作業(yè)若能從有疑到無(wú)疑，再?gòu)臒o(wú)疑到有疑，嘗試創(chuàng)生出新的問(wèn)題，這就達(dá)到了“解好”題的最高境界。

如案例2的題6，引導(dǎo)學(xué)生感悟二次函數(shù)模型一般來(lái)源于a×b型的數(shù)量關(guān)系，期待學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中更多的二次函數(shù)模型；案例3的題4通過(guò)已有問(wèn)題的分析比較，期待學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)和生活中的“握手模型”。

四、結(jié)束語(yǔ)

從作業(yè)布置到作業(yè)完成，都要圍繞減負(fù)增效目標(biāo)力求讓學(xué)生解“好題”、“解好”題。當(dāng)然，不同內(nèi)容、不同學(xué)情的作業(yè)布置和完成要求會(huì)不盡相同，不要求也不可能做到面面俱到。古人云“取法乎上，僅得其中”，作業(yè)布置和完成應(yīng)以上述要求為努力方向，提升能力、增長(zhǎng)智慧，從而落實(shí)和達(dá)成減負(fù)增效。▲

參考文獻(xiàn)：

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