循“規”守“則”：多重視域下的小學數學“規則教學”

曹志國

（蘇州市相城區陸慕實驗小學，江蘇　蘇州　215131）

數學知識包括客觀性數學知識和主觀性數學知識兩類，客觀性數學知識是指那些不因地域或學習者而改變的數學事實，包括數學概念、數學規則和數學思想方法。[1]數學規則是一種形式化的結構，是兩個或兩個以上數學概念之間的關系及其規律性在人腦中的反映。在美國教育心理學家加涅提出的由簡到繁的八個學習層次中，規則屬于較高層次的學習，是理智技能中最典型的形式。在奧蘇貝爾的五類有意義學習中，規則學習為概念學習與高級規則學習或解決問題學習與創造學習的中間環節。

小學數學規則的主要表現形式是法則、性質、定律、公式等，它廣泛地存在于數與代數、圖形與幾何、統計與概率等內容之中，其學習對于改善學生的思維品質，培養數學思維能力及探索、創造能力起著重要的作用。數學規則教學應基于整體性、本體性等多重視域展開，循序列化、理性化、本源化之“規”，守結構性、嚴密性、合理性之“則”，促進規則自然地生長，科學地生成，內在地生發。

一、循“序列化”，守“結構性”，整體視域下的規則生長

數學規則是一種形式化結構，其學習的復雜程度及思維層次都高于數學概念的學習。同時，數學規則本身又在縱向上不斷發展，延伸完善；在橫向上不斷交叉，形成體系。整體視域，就要站在學段整體與規則系統的高度，遵循知識內在邏輯之“序列”與學生認知發展之“序列”組織教學。課堂實踐中應化難為易，逐步滲透；循序漸進，打通聯結；促進規則自然生長，建立規則結構體系。

1.縱向滲透，形成認知

加涅認為：“規則通常是在教學結束時而不要在教學之初就用語言呈現。學習時一般要求把它們分解為一些更簡單的部分，而最后才是把它們整合為一條完整的規則。”基于知識內部嚴密的邏輯性、規則本身的復雜性和兒童認知發展的階段性特點，教學中，在縱向上可全程“灌滴”，逐步滲透，加強不同年段之間的規則融通，讓學生逐漸感悟、抽象并建立相應的規則模型。

“一個數連續除以兩個數，就等于這個數除以這兩個數的積”這一運算性質在教學中遵循教材之序列，采取多次孕伏、灌滴滲透的方法，幫助學生形成認知。三年級上冊《兩三位數除以一位數——復習》第7題，呈現諸如848÷4÷2，848÷8的計算；三年級下冊《混合運算——練習五》第6題，計算320÷4÷2，320÷（4×2）；四年級上冊《兩、三位數除以一位數》單元“練習三”和“整理與練習”中，也都呈現了類似720÷（8×6）的計算，并要求學生之間交流算法；再到四年級下冊第六單元《運算律——整理與練習》第6題，計算290÷5÷2、290÷（5×2），并提出“算一算，比一比，你有什么發現”的學習要求。從三年級上冊起，在除法計算、混合運算、運算律等單元教學中，多次對除法運算的性質進行滲透，使學生逐步感悟，并能逐漸運用這一性質進行數學計算。到四年級下冊教學“運算律”時，明確提出規律探尋的要求，引導學生用多種形式對除法的這一運算規則進行表征，完成數學模型的構建。到了六年級上冊，教學《分數除法》之時，應及時轉化，溝通除法性質與乘法運算律之間的內在聯系。根據“甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘以乙數的倒數”，建立諸如290÷5÷2=290÷（5×2）與之間的對應關系，實現乘、除法運算規則走向統一。

縱向滲透，就是在不同階段對相同規則進行由淺入深、由易到難的課堂實踐，使學生在不同階段對相同規則有不同的表征樣態，并在特定階段進行表征系統內的互相轉譯，實現規則的統一互通，促進學生對數學規則的認知更加完整、清晰和穩固。

2.橫向聯結，建立結構

數學教學中力求呈現數學動態統一的、有機關聯的、鮮活生動的、具有探索性的和全息性知識特征的科學與文化形象，而不是固定不變的、僵化教條的、局部的、彼此分割的知識條塊和記憶庫。[2]而在奧蘇貝爾看來，學習材料本身具有邏輯意義是有意義學習的重要條件。教學中，要善于發現不同數學規則之間的緊密的聯系，找尋邏輯上的意義，在“新”規則的同化及形成后，抽取出“新”“舊”規則之間的內在聯系，提煉出不同規則間共同的精神內核，使“新”規則融合到已有的規則系統中去，實現學生高水平上的認知再平衡，構建動態的、全新的、更高位的規則體系。

在二年級下冊《兩、三位數的加法和減法的筆算》教學中，形成了基于十進制位值原則下的“相同數位對齊、滿十進一或借一當十”；基于計算的便捷性的“從個位算起”等整數加減法的計算規則。到三年級上冊教學同分母分數加減法時，構建了“只要把分子相加、減，分母不變”的計算規則。到了五年級上冊，在教學小數加減法時，學生形成了“小數點對齊，即相同數位對齊”的認知。五年級下冊，“異分母分數加減法，先通分成同分母分數，再按照同分母分數加減法的方法進行計算”的規則也已形成。當整數、小數、分數加減法的計算規則已全部獨立構建之時，應加強規則之間的橫向溝通：整數加減法的“相同數位對齊”，小數加減法的“小數點對齊”，同分母分數加減法的“分子相加減”，異分母分數加減法的“先通分”，在本質上完全相同，共同的規則是“只有相同計數單位上的數才能相加減”，從而加深學生對算理的認識，為算法提供理論依據。

杜賓斯基關于數學概念學習的APOS理論模型的最高階段即為圖式階段，就是對相關的數學知識之間進行高層次的心理加工與整合，在頭腦中產生一個新的綜合心理圖式。明確不同數學規則之間的“共同規則”，將多個“規則單一體”整合成“規則共同體”，實現表征系統間的互相轉換，才能使規則交叉融合，結成網、連成片，從比較簡單的結構生長出更為復雜的結構，構建規則結構系統。

二、循“理性化”，守“嚴密性”，個體視域下的規則生成

抽象、推理、模型等基本思想是數學學科的靈魂，分別從數學的產生、內部發展、與外部關聯三個維度影響著數學的發展。其中，推理是從已知判斷推出未知判斷，一般包括合情推理和演繹推理。在小學數學課堂中，規則的發現常常伴隨著猜想，但更離不開推理。如果說猜想是感性的、發散的，那么推理則是理性的、嚴密的。個體視域就是要秉持思維的理性，基于規則的嚴密性，從數學推理的角度探尋個體數學規則的科學生成，在教學實踐中注重合情推理與演繹推理不同的功能形式指向，并適時將多種不同的推理方法有機整合。

1.注重指向，理性生成

美籍匈牙利數學家波利亞認為：學習任何知識的最佳途徑是自己去發現，因為這樣發現理解最深，也最容易掌握其中的規律、性質和聯系。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實和確定的規則出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。[3]歸納是由特殊到一般的推理，演繹是由一般到特殊的推理，類比是從特殊到特殊的推理。基于不同推理的功能差異，在教學中應凸顯它們不同的價值指向，基于不同的規則教學適時加以運用，引發學生的探索發現之旅，震蕩出問題表象中蘊藏的規則力量，并用數學符號化的形式予以表征，理性生成規則模型。

多邊形的內角和計算公式的教學，先從三角形內角和的探究開始，其內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°……引發學生對邊數、內角和之間的內在規律的探尋。再基于已有發現，由一類對象中部分對象具有的某種屬性,推出該類對象全類都具有該屬性，抽象出數學規則，建立多邊形的內角和=（邊數-2）×180°的數學模型，實現認知順應，完成數學規則的上位學習，彰顯不完全歸納推理的實踐價值。而正方體體積計算公式安排在長方體體積計算公式的學習之后，教學中演繹推理的價值應值得重視。長方體的體積=長×寬×高，正方體是長、寬、高都相等的特殊的長方體，因此，正方體的體積=長×寬×高=棱長×棱長×棱長=棱長3，完成認知同化，實現數學規則的下位學習，形成新的數學認知結構。學習分數的基本性質和比的基本性質，可利用它們和除法商不變規律的聯系通過類比去掌握，完成數學規則的并列學習。

“傳統的數學教學大綱比較強調邏輯推理而忽視了合情推理；而《標準（實驗版）》又矯枉過正，過于強調合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化……《標準（2011版）》把推理能力作為10個核心概念，確立了推理能力的重要地位。”[4]當前，大量文獻資料表明，眾多專家學者也都認為推理能力是學生不可或缺的核心素養。規則教學中，要深入挖掘蘊藏于教學內容中的推理因子，有區分地運用不同的推理形式，引領學生完成從未知到已知的數學探尋，從中彰顯不同推理的價值意蘊，加強學生對數學規則的理性認識，步入培養學生推理能力的新境界。

2.多維融合，嚴密構建

“歸納和演繹正如分析與綜合一樣，是必然互相聯系著的。不應犧牲一個而把另一個捧到天上去，而要做到這一點，只有注意它們的互相聯系，它們的互相補充。”[5]恩格斯在

《自然辯證法》中的話語給我們以深深啟迪。而在加涅看來，規則學習至少包含掌握規則的言語信息和規則證明兩個階段。合情推理與歸納推理的功能指向雖有所側重，但在教學中要避免將各自推理的作用絕對化的傾向，應將多種不同的推理予以融合，使其相輔相成、共生共長。教學中，對于同一數學規則的得出，可引領學生經歷多維形式的推理過程，使不同的推理互相作用，促進數學規則的嚴密建構。

四年級“乘法分配律”的教學，可在32×102=32×100+32×2等較多計算實例的基礎上，進行不完全歸納推理，抽象出（a+b）×c=a×c+b×c的數學規則；通過“象棋每副32元，買102副一共需要多少元”的現實問題解決，進行長方形面積分割計算時數形結合分析（參見圖1）的類比推理；從乘法意義的角度說明“100個32再加2個32就是102個32”，進行算理解釋，推論這樣的合并無論相同加數是多少、有幾個，都是成立的，揭示對象與其屬性之間的因果聯系。不完全歸納推理、類比推理、演繹推理等不同推理方式的整合運用（參見圖2）[6]，使數學結論的探尋也兼具有了證明的屬性，使數學規則的得出從感性走向理性，或然走向必然。

三、循“本源化”，守“合理性”，本體視域下的規則生發

小學生學習的數學知識大多是一種間接的知識，教學如果片面指向“是什么”，而忽略“為什么”，那么數學也只是“冰冷的美麗”。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。對于數學規則，如果學生只知其來源于課本、來源于教師、來源于權威，也必將壓抑學生的探究精神和創新意識，從而變得舍本求末、“遠離”數學。本體視域，就是要引領學生循回數學本源、回溯知識源頭、走進規則內部，經歷再探索、再發現和再創造，適當親歷數學規則的形成過程，感悟數學規則既是約定的條文，更是人們統一意愿的體現，是基于合理性的內在生發，從而對規則產生“親近”。

圖1　

圖2　

1.回溯本源，內在生發

弗賴登塔爾有言:“教數學活動不是教數學活動的結果,而是教數學活動的過程,而且從某種程度上講,教過程比教結果更重要。”現代數學的鼻祖康托也有“數學的本質是自由”的論斷。我們要充分調動學生的主觀能動性，引領他們經歷規則的生發過程，從事“火熱地數學思考”，探尋規則源頭閃爍的人類自由思維。

豎式計算是運算方法與程序規定的體現，其理論依據是“計數的位值原則”。在四則運算的豎式計算中，小數乘小數“末位對齊”而非“相同數位對齊”的計算法則顯得與眾不同。教學中，要通過不同書寫形式的比較，引導學生發現其規則確定的適切性，產生主動加以運用的積極心理。如2.31×1.3，根據算理：3個0.1與1個0.01相乘，得到3個0.001，3寫在千分位上，3個0.1與3個0.1相乘，得到9個0.01，9寫在百分位上，3個0.1與2個1相乘，得到6個0.1，6寫在十分位上；再把1分別與1個0.01、3個0.1、2個1相乘，得數分別寫在對應的數位上，最后相加得到3.003（參見圖3）。教學中應首先使學生認識到小數乘小數，相同數位對齊的算法是可行的；其次在與“末位對齊法”的豎式比較中，充分感受到后者不論是計算過程，還是書寫形式，更為簡潔方便，不易出錯；而且“積的變化規律”也為其提供了確切的算理支撐。因此在小數乘小數時，將乘數末尾對齊的寫法也就成為約定俗成。回溯到規則的源頭，規則也不再是冰冷的、生硬的，而是溫情的、自然的，內在生發而充滿著生命的活力。

圖3　

2.經歷創造，感悟合理

首都師范大學王尚志教授曾指出，數學講邏輯推理，更要講道理。在懷特海看來，學生是有血有肉的人，教育的目的是為了激發和引導他們的自我發展之路。筆者以為，要讓數學規則“講道理”，就應展現它在當下存在的合理性，使學生從接受規則的奴仆轉變為創造規則的主人。在經歷“再創造”的過程中，在對規則合理性的辨析感悟中，引發學生的自我發展是數學規則教學的應有之義。

特級教師蔡宏圣執教的“四則混合運算”能帶給我們些許啟迪。問題一：“信封里3張5元紙幣，信封外1個1元硬幣，一共有多少元？”基于實際問題，在5×3+1、5×2+5+1、5+5+5+1的比較中，學生體悟到乘法優先計算的快捷性與合理性。問題二：“每碗魚湯面5元，每個雞蛋1元，每份早餐里含一碗魚湯面和1個雞蛋，3份早餐一共多少元？”思辨算式5+1×3，為避免與上面的運算順序混淆，創造出小括號的使用，體驗到小括號使用是確保計算結果唯一性的必然要求；從生活中的步行——自行車——汽車——火車——飛機，到數學中的數數——加減法——乘除法……體現高階替代低階的發展性，與生活的類比使得數學道理淺顯易懂。系列教學，學生深刻認識到四則運算規則的求簡原則；感悟到數學規則產生于人們解決問題的需要，雖是人為規定，但卻是合理的，在規則的形成過程中折射出人類智慧的光芒。

數學規則深刻地反映了數學的規律，而數學規律能深刻地反映萬事萬物的規律。在規則教學中，整體、個體、本體三重視域分別從宏觀、中觀、微觀三個層面折射出規則形成過程中的思想精神和路徑方法，使規則的教學具有廣度、深度和溫度三重屬性。循“規”守“則”，豐富著規則教學的理論意義與實踐價值，詮釋著從單一走向結構、從感性走向理性、從遵守走向創造的數學教育真諦。▲

參考文獻:

[1]楊慶余.小學數學課程教與學[M].北京：高等教育出版社，2004:216.

[2]黃秦安，曹一鳴.數學教育原理——哲學、文化與社會的視角[M].北京：北京師范大學出版社，2010:67.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：6-7.

[4]王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014:36.

[5]恩格斯.自然辯證法[M].于光遠，等，譯.北京：人民出版社，1984:121.

[6]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017:127，141-142.