實變函數方法在經典微積分中的應用探究

王晨克

(北京交通大學理學院 100044)

實變函數方法能對相關定義進行改造，并對其清晰表述.如：將實變函數方法應用到微積分中，能對其概念進行擴展和延伸，也能使學生在學習中靈活應用，是學生學習微積分知識中主要的研究工具，能展現其有效性.

一、實變函數方法在經典微積分中的應用

1.Riemann積分定義

實變函數方法的應用，是在對舊知識分析以及借鑒相關經驗基礎上，產生一系列問題.將其應用到數學學科中，不僅能積極擴展，也能對Riemann積分進行延伸與改進.Riemann為對函數項在0和1區間上存在的dirichlet函數.基于Riemann思想和定義，對Riemann定義域進行分割，為當前一種理論，能解決相關問題，也能對Riemann積分理論進行改進.如：在實變函數中，實現對值域概念和理論的結合性，能促使其價值的充分發揮.

2.應用在概率論和隨機分析中

將實變函數方法應用到概率論和隨機分析中，具有十分重要的作用.對于概率論來說，可以將其應用到金融專業學習中.因為在該行業中，實變函數為基礎課程，如果與隨機分析進行結合，實現抽象性分析，能對其充分理解.概率論和實變分析中，存在的概念比較多，應用實變函數方法，能使學生深層次、多維度理解.比如：對lebesgue進行分析的時候，Riemann和該積分之間的關系難以分析和理解，學生也無法對其充分應對，尤其是對應測度子集的可測問題、隨機事件對應、可測函數的測度等，都需要為其提供幫助.因此，引導學生掌握Riemann和lebesgue之間的關系，并基于發展角度詳細研究，將發揮良好的數學應用價值.

3.對外側度lebesgue定義

在對lebesgue概念進行分析的時候，不僅直接給出，需要使用極限工具，對圓的面積公式做出分析.根據多邊形外切、內接正多邊形面積的內填面積，分析出圓的面積.根據能夠預測的結果，詳細研究數學問題中存在的微積分.在這種學習方式下，學生能分析內填和外包區間，也能獲得外側度，達到問題的良好解決.

二、實變函數方法的有效教學策略

實變函數方法是現代的主要課程，為分析學中的一種理論工具.該思想具備的抽象性和嚴謹性能促使廣泛應用，也能使學生靈活理解微積分，并對其有效應用.經典微積分和實變函數具備較大創新性，加深對其思考以及更為緊密的進行邏輯推理，是當前基礎課程學習的主要目的.但是，在實際學習期間，由于該課程知識比較枯燥，無法充分理解其重要思想、實變函數存在較多概念，其定理具備的抽象性也更復雜，對其推理也比較復雜，無法激發學生學習.所以，在學習中，實現實變函數和經典微積分的結合，并對其比較分析，在這種學習方式下，學生不僅能按照一定規律充分探究，領會其中的真理，也能在以后學習中獲得較大幫助.因此，針對對實變函數的理解，將其應用到微積分中，保證在各個階段充分開展，以維護教學工作的有效發揮，增強整體的教學效果.

1.課程首次開展

在數學教學中，對實變函數方法進行應用，要保證教學任務的充分完成.在學習微積分的時候，針對數學具備的嚴密性和更為抽象的思維能力，很多學生接觸學習的時候較畏懼，對該學科學習沒有產生更大興趣.針對這種現象，需要重點引導學生，使學生對該課程產生興趣.學習微積分知識，也能為物理知識學習提供幫助.如：對于一些區域問題，對函數區域進行分析，需要對其深度分析和講解.在第一節課學習的時候，學生能否對課程產生興趣是非常必要的，為了使學生愿意學習，并將其應用到各個發展領域中解決問題，一定要引導學生更有興趣地學習實變函數知識，使學生努力探索實變函數，系統地對知識總結，保證在微積分學習中，實變函數成為更為有效的教學手段.

2.準備討論課程

在微積分知識學習中，對實變函數方法進行應用，需要在工作中為其做好準備，促進討論課程的積極開展.針對教材和學科中的知識，可以對其粗略分析.在對lebesgue積分性質學習的時候，其具備的積分范圍更廣，學生在相互討論與分析中，能激發其主動性，也能使所有學生積極探索，保證獲得更為有效的方法.還要對相關資料進行查詢，借鑒相關書籍，保證對lebesgue計算的時候更方便.學生也能主動對lebesgue積分操作進行分析，促進積分求和定理的靈活應用，也能解決微積分缺點，明確推理和原因，也能基于相關原因，分析lebesgue的不可積分情況，以保證在最大程度上激發學生興趣.

3.解決問題

在微積分學習中，對實變函數方法進行應用，能使學生理解其重點，也能分析其存在的問題，促進探究學習和研究學習的形成.從問題的提出到問題的解決，整個過程都需要使用實變函數方法解決，保證解決方案以及相關技巧的應用更合理.在學習和教學的時候，教師和學生都需要將其應用到各個領域中，重點分析實變函數方法，以保證在整體上達到合理的應用價值.

基于分析發現，應用實變函數方法能實現各個環節知識的系統化.學生利用實變函數方法分析微積分，對其解題和應用，能對知識充分了解，也能將知識相互聯系，加深對問題的思考，保證各項能力的有效訓練.

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