讓學生在探究中樂享精彩數學
——《等差數列的前n項和》教學設計及反思

◎阮波江

一、課程分析

《等差數列的前n項和》是高三數學必修5第二章第三節的學習內容。本節課的內容是建立在學生對等差數列的概念、等差數列的通項公式通項公式及其相關性質的基礎上，對其展開的進一步的探索和研究。該部分知識內容的學習為下一步知識的學習奠定了堅實的基礎，體現數學知識的由易到難、有基礎到深入的層次性、邏輯性等特點。在具體的數學教學實踐中培養學生的數學思維，提高學生的學習效果。

二、學情分析

該部分的學習是建立在學生對數列知識的有效認識的基礎上，學生在具體的學習實踐中已經掌握等差數列基本性質以及相關基礎知識，本節課在此基礎上，通過利用興趣激勵法，在激發學生的探索興趣的基礎上，引導學生展開積極的學習實踐，使學生在積極的學習實踐中，通過生活化的現象引發學生對其本質的探索的興趣，引導學生根據所學知識，通過具體的自主觀察、合作交流、探索等實踐，在充分調動學生的積極性的基礎上，引導學生形成對學習內容的形象生動的掌握過程。

三、學習目標

1.掌握等差數列的前n項和公式，并能夠熟練地運用到學習實踐中去。

2.理解等差數列的前n項涸公式的推導過程，能夠熟練運用公式解決問題。

3.在具體的學習過程中發現數學與生活的密切關系，培養學生用數學的眼光看問題的習慣。

四、學習重難點

1.等差數列的前n項和的共識推導過程。

2.等差數列前n項和的應用。

3.等差數列前n項和公式的推導思路探索過程。

五、教學方法

故事法、情境教學法、啟發式教學、小組合作法等。

六、教學媒體

多媒體課件。

七、教學過程

1.圖片導入、激發興趣。

圖片展示泰姬陵，教師引導學生說出自己對泰姬陵的了解。（泰姬陵是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕溦紀念其愛妃所建，由純白大理石建成主體建筑，陵寢部分用寶石鑲嵌，圖案精美絕倫，在陵寢中有這樣一個引人矚目的圖案，該圖案是由大小相同的圓形寶石鑲鉆而成，有100層）你能計算出這個圖案一共用了多少塊寶石嗎？出示圖示。

（從生活中的問題入手，激發學生的探索興趣，并提出相關問題）

2.自主學習、發現線索。

列出算式：1＋2＋3＋4……＋100＝？，請同學們以自己的方式來求得問題的答案。我們比一比看誰最先算出問題的答案。教師利用啟發法，引導學生通過高斯的故事中找到最佳計算的方式。在學生自學時間結束后，觀察學生的求解方法，并通過高斯的故事來引發學生對等差數列前n項求和的學習興趣。“數學王子”高斯，在他10歲的時候，他的算術教師就提出了這樣的問題：1＋2＋3……＋100＝？當其他學生都忙于計算的時候，只有高斯不慌不忙，當他把答案交給了老師時，老師看都不看就讓高斯回去再算算，高斯說出自己的答案是

高斯的算法：（1＋100）＋（2＋99）＋…… ＋（50＋51）＝101*50＝5050

很明顯高斯利用的是配對求法來進行求和的，出示圖片，原三角形和導致三角形圖片，引導學生在具體的觀察中，將抽象的數學知識轉化為幾何圖形，通過數形結合的形式來激發學生的思維體驗。

（利用知識競賽形式來激發學生的好勝心，讓學生在好勝心的驅使下，展開積極的探索實踐。）

1.合作互動、有效體驗。

學生求出問題的答案后，我們通過小組合作的模式來分析求解過程，得出等差數列前n項和求和公式的推導過程。

學生展示交流過程：

A組：S1＋S2＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…… ＋（100＋1）＝2S

＝（100＋1）*100

所以 S＝（100＋1）／2

A組代表發言：我組利用代入法，將具體的數字代入到求和的過程中去，（1～100相加）通過配對法，將這些數字以對稱形式結合到一起，每組數字相加得到的和是相同的，總數再除以二，就是這些項相加的和。

B組：Sn＝1＋2＋3＋……＋n

同理：Sn＝n＋（n－1）＋……＋1

所以：2Sn＝n個（1＋n）＋（1＋n）…… ＋（1＋n）＝n（n＋1）／2

B組代表發言：我組利用的是字母代入法，從有限的數項的和，到無限項相加的和，也是在配對法的基礎上，得出一般的、等差數列的前n項和的公式。

C組：Sn＝a1＋a2＋……＋an

同理：Sn＝an＋an－1＋…… ＋a2＋a1

所以2Sn＝（a1＋an）*n

得出：Sn＝（a1＋an）*n／2

把an＝a1＋（n－1）d帶入公式，

得出：Sn＝na1＋n（n－1）／2

C組代表發言：我們組求得的結果不僅僅可以代表所有數字的前n項和的求法，同時可以代表單項式、多項式等的前n項和的求法，從特殊到一般的求法，涵蓋了所有的表示等差數列的前n項和的求法公式。

師：同學們在具體的小組合作實踐中將等差數列的推導公式推導得非常詳細，從具體有限的數字、到由數字組成的無限數的組合，再到等差數列前n項和的一般式的推導過程，大家已經對等差數列的前n項和的計算公式有了初步的體驗，集體的力量是強大的，大家將苦難的問題變得簡單化、形象化，在具體的合作中實現對問題的有效理解和把握真的是非常優秀。（在學生的互助合作的學習實踐中，推導出等差數列的前n項和的公式，推導過程由學生小組合作完成，并且在小組合作的過程中發現等差數列的性質和特點，從而有效地培養學生善于觀察、樂于探究的精神。）

2.學以致用，鞏固提高。

師：同學們在剛才的小組合作學習實踐中對等差數列的前n項和的推導過程有了初步形象的認識體驗過程，接下來我們學以致用，將公式運用到具體的數學學習實踐中，以此來實現學習效果的有效提升。

例1.在等差數列{a}n中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20項之和。

A同學：由a6＋a9＋a12＋a15＝34，

得4a1＋38d＝34

又s20＝20a1＋20*19*d／2

＝20a1＋190d

＝5（4a1＋38d）

＝5*34

＝170

（在計算中給出了a6、a9、a12、a15四個項相加的和，可以根據等差數列的性質，利用等差數列的通項公式列出相應算式，求出相關信息即a1和公差d的值，在求出這兩個值的基礎上，再利用公式法求出等差數列前20項的和就可以直接根據公式來求解。）

B同學：S20＝（a1＋a20）*20／2

＝10（a1＋a20）

由等差數列的性質可得，

a6＋a15＝a9＋a12＝a1＋a20

所以，a1＋a20＝17

代入公式可得

S20＝10*17

＝170

（題目給出相應的數列，但是沒有給出相應的a1和a20的值，但是給出了相關信息，根據等差數列的性質，利用倒序相加法，能夠求出需要的值，在具體的學習實踐中培養了學生將所學知識有效地運用到學習實踐中的能力，有效地提高了學生在數學運算中將知識融會貫通的能力等，最后學生通過利用公式得出索求結論，實現了對學習內容的有效鞏固和提高。）

例2.等差數列前10項的和為140，其中項數為奇數的各項和為125，求第6項。C同學：由題意可得：

1.10a1＋10（10－1）*d／2＝140

2.a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a1＋20d＝125

解得，a1＝113，d＝－22

所以，其通項公式為：

an＝113＋（n－1）.（－22）

＝－22n＋135

所以，a6＝－22*6＋135＝3

（該題目沒有給出具體的每一項的數字，但是給出了等差數列的前n項和，考察到學生的逆向思維能力，因此，學生在具體的求解過程中，需要從逆向來考慮計算的過程，先求出第一項，求出公差，然后根據等差數列的通項公式來求出具體的數字的大小。在具體的計算實踐中，有效地提高了學生的活學活用的能力。問題的設計從淺入深，從多個角度和方面考察了學生對等差數列前n項和公式的用法，在具體的學習實踐中有效地鞏固了學生的學習效果。）

3.知識梳理、形成系統。

本節課我們重點學習了以下內容：

（1）通過高斯的“配對法”或“倒序相加法”來推出等差數列前n項和的公式

（2）利用等差數列的性質、公式等展開具體的學習運用，在具體的實踐中熟悉對等差數列前n項和的運用。

（3）根據給出條件對問題展開具體的分析，結合所學知識，實現對等差數列前n項和的各項條件的綜合分析運用，能夠調動一切已知條件展開具體的學習實踐。

通過小組合作討論本節課的學習內容，在小組長的組織下回顧公式、推導方式、在小組合作的基礎上，展開積極的合作體驗，形成對等差數列前n項和知識的有效認識。

4.作業布置，鞏固強化。

（1）某長跑運動員7天里的訓練量展示如下：7500m，8000m，8500m，9000m，9500m，10000m，10500m，這位運動員7天共跑了多少米？

（2）求2＋4＋7＋10＋13＋……＋80的和

（3）已知 a1＝100，d＝－2，n＝50，求 Sn

（4）一個首項為正數的等差數列中，前3項的和等于前11項的和，問此數列前多少項和最大？

教學反思：

1.新課程背景下的高中數學教學，應注重學生的學習主動性的激發，引導學生在積極、自主、合作、探究的學習實踐中形成對學習對象的生動形象的認識體驗，使學生在興趣的基礎上，以積極的姿態投入到學習實踐的具體過程中去，在學生的主動參與、快樂學習的實踐中，讓學生在快樂學習、積極探究的過程中樂享數學學習的樂趣。

2.在自主學習、合作探究等學習實踐過程中，引導學生形成對問題的深入地認識和理解過程，使數學課堂真正成為學生思維發展、認識提升的有效過程，在自主學習中培養學生提出問題、發現問題的能力，并能夠在具體的學習實踐中將學過的知識融入到新知識的求索實踐中去，提高學生的實踐運用能力；在合作交流中提高學生分析問題、解決問題等能力，使學生在互助交流、優勢互補中實現學習效果的有效提升。

3.在教學實踐過程中，需要在學生的主體性意識的有效激發方面做更多的努力，發揮教師的有效引導作用，讓學生真正成為數學課堂的主人，讓學生在快樂中享受學習的樂趣是我們的責任，讓學生在歡樂的學習氣氛中獲得知識、豐富經驗、促進交流是實現課堂教學效果的呈現的有效途徑。