初中數(shù)學(xué)動點問題解析與思路探討

◎楊欣

一、動點問題的概述

動點問題可以稱為“幾何動態(tài)”問題，它通常指的是幾何圖像中，一個可以沿一定方向或在一定范圍內(nèi)移動的動點，在移動過程中能夠反映幾何圖形的變化規(guī)律。從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運(yùn)動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.圖形在動點的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。

二、動點的解題思路解析

動點問題是指以幾何知識和圖形為背景，以運(yùn)動變化為視角，探討動點運(yùn)動中的規(guī)律。這些問題揭示了“運(yùn)動”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內(nèi)在關(guān)系，以及在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的唯物辯證關(guān)系。這類試題以運(yùn)動的點、線段、變化的角、圖形的面積為基本條件，給出一個或多個變量，要求確定變量與其他量之間的關(guān)系，或變量在一定條件為定值時，進(jìn)行相關(guān)的幾何計算和綜合解答，解答這類題目，一般要根據(jù)點的運(yùn)動和圖形的變化過程，對其不同情況進(jìn)行分類求解。

例1，在邊長為2的正方形ABCD中，G是AD延長線上的一點，且DG＝AD，動點M從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著A→C→G的路線向G點勻速運(yùn)動（M不與A、G重合），設(shè)運(yùn)動時間為t秒，連接BM并延長交AG于N。

（1）是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若存在，分析點M的位置；若不存在，請說明理由。

（2）當(dāng)點N在AD邊上時，若BN⊥HN，NH交角CDG的平分線于H，求證：BN＝NH。

（3）過點M分別向AB、AD作垂線，垂足分別為E、F，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，求S的最大值。

例2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，sinB＝3／5，點 D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，連接DE、DF，動點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，運(yùn)動速度均為1cm／s，點P沿A→F→D的方向運(yùn)動到點D停止；點Q沿BC的方向運(yùn)動，當(dāng)點P停止運(yùn)動時，點Q也停止運(yùn)動。在運(yùn)動過程中，過點Q作BC的垂線交AB于點M，以點P，M，Q為頂點作平行四邊形PMQN。設(shè)平行四邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y（cm2），點P運(yùn)動的時間為t（s）。

（1）當(dāng)點P運(yùn)動到點F時，MQ＝cm；

（2）在點P從點F運(yùn)動到點D的過程中，某一時刻，點P落在MQ上，求此時BQ的長度；（3）是否存在某一時間t，使平行四邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分是平行四邊形且面積為15／2？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由。

單動點問題是指只有一個動點，通過綜合平行四邊形、三角形的性質(zhì)，結(jié)合定理、圖形分析和其他知識進(jìn)行正確的分析和轉(zhuǎn)換，解決這些問題，如例1所示，解決問題的思路如下：在問題（1）中，采用數(shù)形組合的方法來解決問題。首先，有三種條件可以使我們根據(jù)圖像將ABM轉(zhuǎn)換成等腰三角形，即AB＝AM，AB＝BM，AM＝BM。問題（2）以N為移動點，從本質(zhì)上講，這是一個將運(yùn)動點轉(zhuǎn)化為不動點的一般性問題。問題（3）是求最大面積的形式。首先，當(dāng)M在AC上時，可以根據(jù)勾股定理計算出邊長，用面積公式求出面積。其次，當(dāng)M在CG上時，重疊區(qū)域為梯形，通過分割得到。

雙動點型如例2所示，兩個點以相同的速度和不同的方向同時開始運(yùn)動。他們的想法如下：（1）P點運(yùn)動過程中，因為F為中點，P和Q的速度相等，可以確定分別AF＝FC＝3厘米，BQ＝AF＝3厘米，再通過MQ∥AC知道△MBQ∽△ACB，由此可以找出答案；（2）在P點從F點移動到D點的過程中，當(dāng)P點落在MQ上時，可以得到t＋t－3＝8的表達(dá)式。（3）可以根據(jù)問題計算和圖形DE＝1／2，AC＝3，DF＝1／2，BC＝4，然后證明△MBQ∽△ABC和MQ＝3／4t，由此可以分類討論問題：（1）當(dāng)3≤t＜4時，重疊部分的圖形為平行四邊形，y代入求解即可；當(dāng)4≤t＜11／2時，重疊部分為矩形，根據(jù)圖 y＝3［（8－t）－（t－3）］。當(dāng)11／2≤t≤7時，圖形的重疊部分為矩形。根據(jù)圖，y＝3［（t－3）－（8－t）］，同理計算得出結(jié)果。

三、幾何畫板演繹動點輔助教學(xué)

教師解決動態(tài)問題可能相對簡單，但在日常教學(xué)中，如何清晰地向?qū)W生解釋動態(tài)問題是一個很大的難題。因此，信息社會為教師帶來了新的方法——幾何繪圖板等數(shù)學(xué)軟件，來解決動點問題，方便老師展示教學(xué)內(nèi)容。根據(jù)相關(guān)調(diào)查顯示，學(xué)生喜歡在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)幾何畫板，用幾何畫板軟件上數(shù)學(xué)課的支持率高達(dá)100%，90%的受訪者認(rèn)為幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以使抽象的數(shù)學(xué)知識簡單、直觀、生動和具體，更容易被接受和理解。

四、結(jié)語

動點問題是指與一個或多個點在指定區(qū)域內(nèi)移動有關(guān)的問題，通常伴隨著點移動的各種變化。“動點”分為點的運(yùn)動和線的運(yùn)動（數(shù)不清的點構(gòu)成線），所以動點問題往往與函數(shù)和幾何有關(guān)。一般來說，動點問題可以分為動點問題和動線問題，而動點問題包括單動點問題和雙動點問題。在運(yùn)動點問題的日常教學(xué)中，可以使用幾何繪圖板等數(shù)學(xué)軟件直接描述運(yùn)動點的變化，輔助教學(xué)。