高中數學三角函數的解題分析

◎張子烈

前言：高中數學三角函數題目靈活，常見的類型題包括角度變換、函數名變換、數形變換等。需要運用的概念公式包括和角公式、差角公式、半角公式、二倍角公式等。此外，還需要我們運用各種解題思維和方法，對題目進行化簡，從而在更短的時間內求解出正確答案。針對高中數學三角函數題目求解的復雜性，應積極總結解題方法，從而不斷提升三角函數題目的解題效率和準確率。

一、高中數學三角函數化簡求值解題方法的應用

三角函數通常以選擇題或解答題的形式出現，在分析求解過程中，首先應具備扎實的計算能力，能夠對三角函數公式進行準確應用，并計算出正確的結果，這是提升三角函數題目解題準確率的根本途徑。在考試和平時的練習過程中，我們應善于對三角函數題目類型進行劃分，總結每一類題型的解題思路，并根據題目特點，選擇適合的解題方法。即使是最基本的三角函數化簡求值問題，也需要運用切割劃弦等技巧，從而快速求解出正確答案［1］。

比如例1：對 sin50°（1+tan10°）進行化簡求值。

在這道題目中，給出的三角函數表達式包含正切函數與正弦函數，需要采用切割化弦方法，將正切函數轉化為正弦與余弦函數比值的形式，然后在進行化簡求值。具體求解過程如下：由于1+tan10°＝（cos10°+sin10°）/cos10°＝2（1/2cos10°+ /2sin10°）/cos10°＝2（sin30°cos10°+cos30°sin10°）/cos10°＝2sin40°/cos10°，因此原題目三角函數表達式可轉化為 sin50°·2sin40°/cos10°＝2sin40°cos40°/cos10°＝sin80°/sin80°＝1。在解題過程中，應用到和、差、補、余等角度關系式，逐漸將不同的角度函數轉化為相同的角度函數，從而快速求出最終計算結果。

二、高中數學三角函數消參和構造解題方法的應用

在高中數學三角函數題目求解過程中，消參法和構造法的應用十分普遍，比如在上述題目中，兩種方法也有一定應用。通過靈活運用消參法和構造法，可以找出不同參數之間的聯系性，從而對一個或多個參數進行轉化，達到方便計算的目的。其中，消參法是根據三角函數公式，將不同參數形式變化為能夠直接計算的同一種形式。構造法則是在不能直接使用概念公式進行轉化時，通過添加項、減少項的方法，使公式滿足轉化條件。其本質是一個三角函數的等效變換過程，下面以一道例題為例，進行說明。

例2：已知 tanα＝3，求解（sinα-3cosα）/（2sinα+cosα）的值。

在這道題目中，已知條件為tanα＝3，即 sinα/cosα＝3。從目標表達式著手，可以通過將其轉換為sinα/cosα的形式，構造出已知條件tanα，從而進行求解計算。首先根據條件tanα＝3可以判斷出cosα不等于0，因此可以將目標表達式的分子分布同時除以cosα，構造tanα。對目標表達式的化簡結果為（tanα-3）/（2tanα+1），將 tanα＝3代入后，即可求出目標表達式的值為0。由此可以看出，利用消參和構造法進行求解過程簡單，準確率高，但在應用過程中，不能忽略對限制條件的判斷。比如在這道題目中，必須先根據已知條件確定cosα不等于0，才能采用上述方法進行化簡求值。

三、高中數學三角函數逆向變換解題方法的應用

逆向變化法是對三角函數公式進行逆用或變用，在此過程中，如果我們對公式掌握的不夠熟練，就難以做到靈活應用。比如根據題目需要，我們有時要使用2sin2x＝1-cos2x公式，有時要使用2cos2x＝1+cos2x公式，還需要在求解過程中，運用其變化形式，比如 cos2x＝1-2sin2x，cos2x＝2cos2x-1等。這些公式的形式相近，在使用時容易出現混淆的現象，需要在解題過程中加以注意［2］。

比如例3：已知銳角三角形ABC的三個內角A、B、C分別對應a，b，c三邊，且有a＝2bsinA，試求角B的大小。

在求解這道題目時，首先應明確正弦定理中a/sinA＝b/sinB＝c/sinC這個隱藏條件，又根據已知條件，a＝2bsinA，因此有 sinA＝2sinBsinA，sinB＝1/2。由于三角形ABC為銳角三角形，所以B角的大小為30°。

再比如例4：已知3sinβ＝sin（2α+β），試證明 tan（α+β）＝2tanα。

在求解此題時，首先可將2α+β拆分為α+β+α，而β則可以看做α+β-α。因此，可以將已知條件3sinβ＝sin（2α+β）變換成3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα＝sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，即 2sin（α+β）cosα＝4cos（α+β）sinα，則 sinα/cosα＝2sin（α+β）/4cos（α+β），最終得出 tan（α+β）＝2tanα，證明完畢。

結束語：綜上所述，由于高中三角函數公式多，且形式相近，在解題過程中復雜性較高，通過對所學的概念公式進行靈活運用，通過采用消參、構造、逆向變換等方法，可以達到簡化題目，快速求解的目的。應在平時的學習過程中熟練掌握各種概念公式和解題技巧，并勤加練習，從而逐步提升三角函數解題能力。