高中數學教材中集合難度的比較研究

◎楊峰

一、引言

研究教材的方法主要有難度模型法、內容分析法和概念圖法，其中難度模型法是研究教材難度的重要方法。我國鮑建生教授提出數學課程綜合難度的概念，并構建出綜合難度的模型。在此基礎上，蔡慶有等構建了小學數學教材難度線性模型N＝0.30C＋0.36W＋0.34E。本研究選取兩種版本中的集合內容作為研究對象，運用難度模型法，構建一個五邊形直觀模型，并借助該模型得到北師大版題目設置難度高于人教版，更注重綜合知識運用的結論。

二、“集合”題目難度因素的數據統計

利用難度模型法，從不同的維度、不同層次來分析比較其題目設置的難易程度。在探究難度因素上，具體劃分為識記、理解和探究三個水平。人教版三個水平題目比重分別為18.75%、78.13%和3.12%，北師大版比重分別為6.25%、54.17%和39.58%。在背景難度因素上，具體劃分為無實際背景、個人生活背景、公共常識背景和科學情景四個水平。人教版四個水平題目比重分別為71.88%、25%、3.12%和0，北師大版比重分別為64.58%、31.25%、4.17%和0。在運算難度因素上，具體劃分為無運算、數值計算、簡單符號運算和復雜符號運算四個水平。人教版四個水平題目比重分別為50%、0、50%和0，北師大版比重分別為64.58%、0、31.25%和4.17%。在推理難度因素上，具體劃分為無推理、簡單推理和復雜推理三個水平。人教版三個水平題目比重分別為43.75%、53.13%和3.12%，北師大版比重分別為31.25%、56.25%和12.50%。在知識含量難度因素上，具體劃分為單個知識點、兩個知識點、三個知識點和四個以上知識點四個水平。人教版四個水平題目比重分別為21.88%、40.62%、31.25%和6.25%，北師大版比重分別為16.67%、41.66%、16.67%和25%。利用加權平均值的計算公式，得出兩個版本的五個難度因素的加權平均值。在探究難度因素上，人教版的加權平均值為1.84，北師大版為2.33。在背景難度因素上，人教版的加權平均值為1.31，北師大版為1.40。在運算難度因素上，人教版的加權平均值為2，北師大版為1.75。在推理難度因素上，人教版為1.59，北師大版為1.81。在知識含量難度因素上，人教版為2.22，北師大版為2.5。

三、“集合”題目難度因素的數據分析

1.探究 在識記水平上，人教版為18.75%，北師大版為6.25%。在理解水平上，人教版為78.13%，北師大版為54.17%，可以看出，無論是人教版還是北師大版，在理解這個水平上的百分比都達到了最高。

2.背景 兩個版本中的無背景題目和公共常識題目的設置數量所占比重相差不大，基本持平。特別是公共常識這一部分，兩個版本所占的比重相當。在個人生活這一水平，北師大版設置題目數量高于人教版，說明北師大版更注重于應用。而在科學情景這一塊，兩個版本的題目設置都為0，這和集合本身內容有關。

3.運算 由于算法的特殊性，更多地涉及編程及畫程序圖，因此在題目的設置上，牽扯到數值運算的題目均為0。在無運算和復雜運算這兩個水平上，北師大版高于人教版。在簡單運算上，人教版高于北師大版。集合這部分內容，兩個版本都設置了集合的概念、集合間的基本關系和集合的基本運算這三部分。

4.推理 在無推理方面，人教版高于北師大版12.5個百分比。在簡單推理中，北師大版為56.25%，人教版為53.13%，兩個版本相差不大，且都注重簡單推理這一層次。在復雜推理中，北師大版為12.5%，人教版為3.12%，北師大版本明顯高于人教版。

5.知識含量 通過比較分析，人教版在兩個知識點和三個知識點時達到的值相對較大，說明在這兩個等級上設置的題目較多，單個知識點的設置也占了21.88%的比重，而在四個知識點上只有6.25%。北師大版對學生的考查主要集中在兩個知識點和四個知識點上，單個知識點和三個知識點的比重相當，都占了16.67%。在單個知識點水平上，人教版教材中的題目數量多于北師大版，而在四個知識點這個水平上，北師大版設置題目的數量明顯高于人教版。得出的結果是人教版更注重學生基礎知識的掌握，且考查的知識點相對更有針對性，而北師大版更重視學生運用綜合知識的能力。

6.綜合難度 由加權平均數，繪制出雷達圖如圖1。從圖中可直觀地看出，在五個維度中所形成的兩條封閉曲線，既有包含，又有交叉。其中，在背景和推理中，兩個版本基本接近，即題目設置難易程度相互持平。在知識含量和探究方面，北師大版高于人教版，說明在這兩個維度，北師大版的題目設置難度要高于人教版。而在運算方面，人教版高于北師大版，說明在這個維度，人教版的題目設置難度要高于北師大版。

四、建議與思考

1.在集合這章可適當增加人教版探究類型的題目和北師大版識記類型的題目 從歷年的高考數學試卷來看，有關集合類型的題目大致分為簡單的概念題和難度較高的綜合題。北師大版在識記水平所占的百分比過低，有關識記的題目設置量過少。教材編寫者若能適當增加集合識記內容的題目，方使學生的基礎知識更為牢固。

2.教材編寫者可借鑒其他版本教材題目設計的優點 兩個版本在題目的設計上各有特色。人教版教材重視學生基礎知識的鞏固，北師大版重視學生數學綜合性知識的運用。正因為不同版本教材的題目設置有不同的特點，所以不同版本教材的編寫者可借鑒其他版本的題目設置，從而優化其題目設計。

3.教材編寫者可增加一定的文化背景閱讀知識 教材編寫者可適當增加相關的文化背景閱讀知識，豐富學生的數學文化知識，提高學生學習數學的興趣，使學生體驗數學與文化背景的聯系。