基于GARCH-MIDAS模型的上證50指數波動率預測

(同濟大學經濟與管理學院　上海　200000)

一、引言

投資者在股票投資活動中，除了關注收益之外，另一個關注重點就是股票波動性，股票市場的動蕩程度及未來波動性關乎著投資者的切身利益。股票市場適度的波動有助于實現經濟資源的合理配置，而過度的波動則會引起社會動蕩。同時，股票市場波動率相關的運用也極為廣泛，波動率的預測可以運用在風險管理、資產配置、投資組合和期權定價等領域，市場監管者也需要對未來波動性進行預測，這些領域對不同期限水平的波動率的預測都有著迫切需求。

期權Black-Scholes定價模型中，波動率是重要的變量。目前我國已推出上證50eft期權，對波動率的研究有利于實現期權定價，促進期權市場發展。本文采用廣義自回歸條件異方差混頻數據抽樣模型(GARCH-MIDAS模型)對上證50指數波動率進行研究。該模型克服了通過升、降頻帶來的信息失真的問題，對混頻數據進行分析，同時將上證50指數波動率與宏觀經濟運行情況相關聯，對于政府分析宏觀經濟對股票市場的影響并加強股票市場波動趨勢研判，進而制定相應的經濟政策，防控股票市場劇烈波動有著重要的借鑒和指導意義。

本文其他部分安排如下：第二部分理論介紹，搭建GARCH-MIDAS模型；第三部分進行實證分析；第四部分為本文結論。

二、理論模型

在實踐中，搭建模型時混頻數據更為常見，常常需要對不同頻度的數據進行分析。對于混頻數據常用的方法為加總法或插值法，前者會造成嚴重的數據信息丟失，后者則會人為的制造信息。針對這兩個情況，Ghysels et al(2004)首次引入混頻數據抽樣(Mixed Data Sampling,MIDAS)模型，突破了傳統模型同頻數據的約束，直接運用混頻數據進行建模，能夠有效的運用高頻數據信息。Ghysels et al.(2006)首先將MIDAS模型引入到波動率預測中，Clements和Galv?o(2006)、Clements et al.(2006)、蔡宇(2015)等人也采用這種方法對波動率進行了研究。

Engle et al(2009)將Spline-GARCH和MIDAD模型相結合形成GARCH-MIDAS模型，將股票市場波動分解為長期成分和短期成分，短期成分采用GARCH模型分析，而長期成分則以通貨膨脹率和工業增速來刻畫，Engle 和 Rangle(2008)認為對資產收益率的沖擊具有時變方差，該時變方差會受到來自某一信息事件對收益率的沖擊影響，該次沖擊由作用強度和作用乘子決定，該信息事件沖擊的作用乘子決定于整體所處宏觀經濟環境，因此未預期的收益率沖擊可以表示為公式1：

(1)

其中，εi,t表示某一信息事件對未預期收益率沖擊的作用強度，τt*gi表示該信息事件對未預期收益率沖擊的作用乘子。因此，波動率至少由兩個成分構成，即計量短期波動的短期成分gi,t和代表長期波動的長期成分τi。公式1的主要思想是基于同一信息的沖擊取決于經濟體所處的狀態，比如收入的下降在繁榮和蕭條時期的沖擊是不一樣的。短期成分gi,t假設與每日的流動性因素、日內交易特征或者其他短期因素相關，gi,t可視為非負的時間序列(本文假定gi,t～GARCH(1,1)過程)。與之相反，長期成分τi主要與未來的現金流、通脹率等宏觀經濟基本面等因素有關。εi,t為標準化的白噪聲過程，即εi,t|ψi-1,t～N(0,1)，ψi-1,t表示在第t時期t-1日可獲得的歷史信息集合。根據前述假定，gi,t有以下形式：

gi,t=(1-α-β)+(ri-1,t-μ)2/τt+β*gi-1,t

(2)

公式2中的τi表示股票市場波動率中的長期低頻成分，可以由某一個低頻變量刻畫，本文通過宏觀經濟變量低頻因子來描述該成分。具體形式如下：

(3)

三、實證分析

上證50指數于2004年1月2日正式發布，研究涉及到月底低頻數據，為了保障樣本的充分性，樣本區間為2004年2月2日至2017年10月30日，共計3346日、165月。日度收益率為通過上證50指數每日收盤價原始數據計算得到的對數收益率；月度低頻已實現波動率基于日收益率獲得，數據來源于wind數據庫。

從圖3～圖5可以看出:(1)ωc越大,諧振帶寬越寬,ωc越小,帶寬越窄,對基波頻率的控制效果越好,一般情況下ωc的取值介于5 rad/s～15 rad/s;(2)KR越大,控制器的峰值增益越大,而諧振帶寬幾乎沒有影響;(3)Kp越大,系統比例增益越大[11]。

其次，宏觀經濟變量選取代表中國經濟運行情況的先行指數和一致指數。先行指數可以揭示出經濟的未來變化趨勢，一致指數則可以綜合反映總體經濟的變動情況。相對于GDP和工業增加值指標，兩個景氣指數具有較高的月度頻率，同時能全面反映宏觀經濟周期狀況。本文需要兩個指數水平值和波動率，水平值通過與1996年的基數100做差值處理，而波動率序列通過AR(p)模型計算獲得。

根據AIC和BIC準則，先行指數水平值、先行指數波動率、一致指數水平和一致指數波動率作為變量的滯后期分別為9、11、18和12個月，在相應的滯后期下，實證結果如表1所示：

表1　基于先行指數和一致指數的GARCH-MIDAS估計結果

注：***、**、和*分別代表1%、5%、10%的顯著性水平；表中四列分別代表先行指數和一直指數的水平值和波動率；列名末尾的數字表示滯后期數。

從表中可以看到，各模型參數大都是在不同水平下顯著的，從AIC和BIC信息可以看到，基于先行指數擬合優于一致指數，且基于先行指數水平值模型表現表現最佳。四個模型的θ都是顯著的正值，表明宏觀經濟情況對上證50指數波動具有顯著地長期影響，且宏觀經濟劇烈波動將導致上證50指數處于長期高波動水平，這符合相關理論的基本觀點與經濟直覺。除了基于先行指數水平值的模型，其他三個模型具有比較接近的顯著正截距。四個模型的權重參數ω1和ω2都大于1，權重形式呈現先增后減分布，基于水平值的參數值較小，而波動率的參數值較大。先行指數水平值和波動率以及一致指數水平值具有比較接近于1的α+β值，表明三個變量對長期成分的影響具有持續性，且影響以較慢速的度衰減。

本文接下來將采用滾動窗口的樣本外預測方法進一步研究宏觀因子和已實現波動率模型對傳統GARCH(1,1)模型預測精度的改進情況。在本部分中，具體處理包括：首先運用模型計算出一步向前的樣本外日度波動率預測值；其次對每月的日預測波動率進行加總處理，構造出月度的波動率；然后利用預測月波動率和月已實現波動率計算損失函數值，衡量模型預測效果；最后，采取GARCH(1,1)作為基準模型，將GARCH -MIDAS模型預測損失函數值與GARCH(1,1)模型預測損失函數值進行比較，判斷預測精準度，比較時采取相對分析方法，即將GARCH -MIDAS模型預測損失函數值與GARCH(1,1)模型預測損失函數值相除得到rMSE。本部分設定的樣本內區間為2004年2月2日至2015年12月31日，共包含2901日、143個月；樣本外預測區間為2016年1月4日至2017年10月31日，共包括含445日、22個月。

表2給出了各模型的rMSE值，可以看出，所有的GARCH-MIDAS模型都能夠提高月波動率的預測精度，起到對GARCH模型的改進作用。幾個模型中，先行指數水平值具有最小rMSE值，預測精準度最佳，同時一致指數波動率的預測效果最差，先行指數的水平值和波動率預測精準度均優于基于一致指數的預測精準度。與一致指數水平值相比，已實現波動率刻畫的長期成分也具有比較好的預測效果，但預測效果又略差于一致指數波動率。

表2　GARCH-MIDAS模型預測效果分析

四、結論

本文主要基于GARCH-MIDAS模型研究了宏觀經濟運行情況對上證50指數波動率的影響以及運用宏觀經濟變量對指數波動率進行預測。研究發現，宏觀經濟景氣指數對上證50指數波動率具有顯著的影響，而先行指數的影響更為顯著，對指數波動率的預測效果也最佳。先行指數反映的是對未來宏觀經濟運行狀況的預期，可以揭示出經濟的未來變化趨勢，能夠影響投資者對未來股價的預期，進而對波動率造成影響。通過比較研究，GARCH-MIDAS模型比傳統的GARCH(1,1)模型能夠更好的預測上證50指數的波動率。GARCH-MIDAS模型將指數波動率分解成長、短期成分，分別進行分析，將長期成分與宏觀經濟相關聯，能夠更好的進行預測。

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