掌握技巧，讓導(dǎo)數(shù)運(yùn)算飛起來

■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校　韓文美

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算關(guān)鍵是熟記導(dǎo)數(shù)基本公式,特別是常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則,掌握簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,以及能夠綜合運(yùn)用各種法則求比較復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等。而在實(shí)際的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中,經(jīng)常可以根據(jù)被導(dǎo)函數(shù)的特征,通過一定的技巧,更為快速、流暢、簡捷地解決導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算問題,真正讓導(dǎo)數(shù)運(yùn)算飛起來。

1.分式問題——裂項(xiàng)法

分析：常見思維是根據(jù)商式利用商的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo),這樣操作計(jì)算量大而復(fù)雜,容易出錯(cuò)。而先根據(jù)分式通過裂項(xiàng)化簡,再進(jìn)行求導(dǎo),就顯得簡單且容易處理。

解：原函數(shù)可變形為f(x)=x3+2sinx

點(diǎn)評:一般地,如果函數(shù)的解析式整體為分式,而分子分母為自變量x的多項(xiàng)式,為了減少運(yùn)算量,可以考慮將解析式裂成多個(gè)較為簡單的代數(shù)式的和差形式后再來求導(dǎo)。

2.根式問題——有理化

分析：常見思維是直接根據(jù)兩和式中對應(yīng)的商,利用商的求導(dǎo)來處理。而若觀察該關(guān)系式,其分母含有根式,先通過分母有理化加以化簡,進(jìn)而再進(jìn)行求導(dǎo),就可以大大簡化求解過程。

點(diǎn)評:有理化處理求導(dǎo)問題一般有兩種形式:一是如果分子中含有根式,則利用分子有理化,二是如果分母含有根式,則利用分母有理化。有理化的目的就是簡化過程,使得求導(dǎo)更為簡捷方便。

3.積式問題——展開法

設(shè)函數(shù)f(x)=(2x3-3)(x2-5),則f'(x)等于。

分析：常見思維是利用積的求導(dǎo)法來完成第一次求導(dǎo),然后對相關(guān)項(xiàng)再次求導(dǎo),此法相對來說計(jì)算量大,容易出錯(cuò)。而先將兩個(gè)整式的積利用多項(xiàng)式的乘法加以展開,再求導(dǎo),其運(yùn)算過程將會(huì)大大簡化。

解：f(x)=(2x3-3)(x2-5)=2x5-10x3-3x2+15。

故f'(x)=(2x5-10x3-3x2+15)'=10x4-30x2-6x。

點(diǎn)評:對于此類積式的求導(dǎo)問題,要注意平方差公式、立方和公式等的應(yīng)用,在可能的情況下,應(yīng)盡量少用甚至不用乘積的求導(dǎo)法則,以減少計(jì)算量,優(yōu)化過程。

4.對數(shù)式問題——拆分法

分析：如果直接求導(dǎo),涉及對數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等,相當(dāng)復(fù)雜,根本無從下手。而若先根據(jù)函數(shù)特點(diǎn),利用對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行適當(dāng)拆分處理再進(jìn)行求解,則另辟蹊徑,曙光在望。

點(diǎn)評:對于此類對數(shù)式的求導(dǎo)問題,應(yīng)先根據(jù)對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),適當(dāng)?shù)貙瘮?shù)式中的項(xiàng)進(jìn)行合理拆分,然后再各個(gè)擊破,從而達(dá)到簡化運(yùn)算,提升效率的目的。

5.三角式問題——恒等變形

分析：如果直接求導(dǎo),則需要利用積、商的求導(dǎo)法則,三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等來處理,計(jì)算量非常大,且易出錯(cuò)。而先對三角函數(shù)式進(jìn)行三角恒等變形,再利用公式和運(yùn)算法則處理,可減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度,減少差錯(cuò)。

所以y'=(sinx)'=cosx。

點(diǎn)評:有的三角函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式,但在求導(dǎo)前利用三角恒等式將函數(shù)先化簡,然后進(jìn)行求導(dǎo),可以避免使用商的求導(dǎo)法則,減少運(yùn)算量。

6.規(guī)律式問題——構(gòu)造法

已知函數(shù)f(x)=x(x2+1)(x3+2)…(x2018+2017),則f'(0)=。

分析：常見思維是對有一定規(guī)律性的函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),再代入求解對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值問題,此法計(jì)算量比較大,而且容易出錯(cuò)。而根據(jù)函數(shù)中規(guī)律式的性質(zhì),通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=xg(x),利用求導(dǎo)來轉(zhuǎn)化,可以有效減少計(jì)算量,提升解題效益。

解：設(shè)g(x)=(x2+1)(x3+2)…(x2018+2017),則g(0)=2017！(n！表示1×2×3×…×n)。

又f(x)=xg(x),兩邊求導(dǎo),可得f'(x)=g(x)+xg'(x)。

所以f'(0)=g(0)+0×g'(0)=g(0)=2017！。

點(diǎn)評:本題通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,結(jié)合有規(guī)律函數(shù)式的性質(zhì),求導(dǎo)后加以求值。以上方法通過重新組合,巧妙地將多個(gè)因式之積看成兩個(gè)因式之積加以構(gòu)造,方法巧妙,解決問題快捷有效。

在做導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時(shí),我們除應(yīng)牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式外,還要認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸,抓住問題的本質(zhì),把解題思路放開,利用更好更快的運(yùn)算技巧來分析,避免繁雜的運(yùn)算過程,減少不必要的錯(cuò)誤。