由類比到轉化 從直覺到推理

沈自華 邵官華

摘要：平行四邊形面積公式的推導是建立在長方形面積公式推導的學習經驗之上，因此學生會用類比的思想把平行四邊形“拉成”長方形后來計算它的面積。筆者以此為學生的學習起點，設計了自主測量計算平行四邊形的面積；討論辨析推導平行四邊形的面積；變式練習體會平行四邊形的等積變形等三個環節，讓學生在網格圖的幫助下推導、理解并應用平行四邊形的面積。

關鍵詞：平行四邊形面積；類比到轉化；直覺到推理

平行四邊形的面積計算是一節經典課，有許多名師展示過。如何借鑒名師課堂教學中優秀的教學經驗，結合自己的理解，形成自己的教學，是筆者對于本節課研究的出發點。筆者在實踐中發現，由于受“長方形是特殊的平行四邊形”這一認識的負遷移，學生會自然而然地用“底×鄰邊”來計算平行四邊形的面積。如何以此為起點，借助網格圖讓學生對類比直覺結論的分析中“自然而然”地推導出平行四邊形的面積，并借助網格圖，更好地認識平行四邊形面積等積變形中的特性呢？下面以實際教學為序列，闡述我們的做法。

一、自主測量，嘗試計算平行四邊形的面積

類比思想是學生在解決新的數學問題時的重要的思維方式。但有時候用這樣的思想方法得到的結論是錯誤的。對于這樣的錯誤，教師在引導學生探究的過程中可以充分地暴露，并組織討論與辨析，讓學生從錯誤的直觀思維走向正確的邏輯推理。

1.提供對比材料，嘗試計算面積

為充分暴露學生在求平行四邊形面積計算時的類比直覺過程的思維狀態，設計了如下的問題：

測量所需要的信息，求長方形（圖：長6cm，寬4cm）和平行四邊形（圖：底6cm，鄰邊5cm，高4cm）。

在測量求平行四邊形面積時同時安排了求長方形的面積，能夠在后續學習時溝通平行四邊形面積公式與長方形面積公式的聯系，體會轉化思想在解決問題中的基本思路。

在求平行四邊形面積時，沒有借助網格圖，而是通過具體的測量，可以更好地暴露學生可能出現的各種思路。

2.預測學生可能，整體展示學情

學生自主學習情況的預測，既來自于教師的教學經驗，也來自于對學生認識水平的分析。學生在自主測量求面積時，長方形面積信息的測量與計算沒有困難。而平行四邊形信息的測量與計算，一般有以下的三種情況。

方法1：求周長，（7+5）×2=24（cm）。這種情況在班級中占比人數較少，但可以通過這一種錯誤資源引出面積的含義與網格圖。

方法2：“底×鄰邊”，6×5=30（cm2）。這種情況在不同的教學環境下占比不同，農村占比明顯高于城區，與學生是否提前學習平行四邊形的面積有關。一般地，如果沒有提前知道平行四邊形的面積公式，極大多數會用這一種方法。

方法3：“底×高”，6×4=24（cm2）。與第2類同學剛好此消彼長。

除這三類情況外，當然還有一小部分學生不知道如何測量與計算。這部分學生并不一定說明學習能力差。而是他們已經感覺到用“方法2”解決問題是錯誤的，但又不能夠獨立想到用“方法3”來測量計算。

以上三種方法的出示有兩種策略。一種是依次出示，逐個析，這種策略雖然可以讓學生能夠更加集中地思考問題，但是缺少了整體的比較。另一種是整體出示（包括長方形的面積計算），然后再組織討論辨析，這樣做可以從整體的視角來認識某一種方法的合理性，自然而然地發現它們的聯系。所以，實際教學中采用后者，且由教師直接板書于黑板上。如果所上班級沒有出現方法1，也可以出示，體現思維的完整性。

3.逐步展示網絡，做好辨析鋪墊

在平行四邊形面積公式推導的過程中，如果過早地利用網格圖，會束縛學生的思維。因此，先讓學生自主測量沒有網格的長方形與正方形中的相關數據，然后依據自己的思考計算出結果。在此基礎上，再通過追問，出示網格。

首先，在反饋長方形面積計算后追問：面積24平方厘米是指長方形的哪一部分？學生指出后教師把黑板上的長方形圖添上“6×4”的網格。其次，在點評學生用求周長求平行四邊形的面積后追問：平行四邊形的面積指哪一部分？學生指出后教師也給黑板上的平行四邊形添上網格。

通過這兩次操作，借助網格圖讓學生回溯了長方形與平行四邊形面積的含義，為辨析平行四邊形面積計算公式做好鋪墊。

二、討論辨析，逐步推導平行四邊形的面積

原始的數學發現往往來自于直覺，學生采用類比思想用“底×鄰邊”就是這樣的一個數學發現。教師可以讓學生說一說想法，并通過教具演示，讓學生發現錯誤，并將錯就錯，由“拉一拉”過渡到“移一移”推導出面積公式。

1.討論拉一拉，明析類比的負遷移

討論方法2時，教師請學生回答：你是怎樣想法？

生1：我是把這個平行四邊形想成長方形來做的。

這時教師一邊在黑板上帶有網格的平行四邊形的邊上圍上一個框（圖1），一邊追問：你是怎樣看的呢？

請該同學演示他的想法：拉一拉成為長方形（圖2）。

教師進一步追問：拉成的長方形與原來的平行四邊形比較，什么沒有變什么變了？

生2邊指圖2框內部分邊說：周長沒有變，但面積變了，上面這一塊就是多出來的。

教師指圖2框外部分并追問：長方形網格中不是也有一塊空缺嗎？

生2移動框外的三角形補上框內左下的空缺，然后指框內上面空白部分（圖3）。

通過教具的操作，讓學生直觀地發現“拉一拉”雖然可以轉化成長方形，但面積變大了。

2.辨析移一移，利用轉化的新推理

教師讓學生進一步觀察“拉一拉”后的圖形，問：為什么拉成長方形后面積會變大？

生3：因為拉成長方形后，高多出一段。

師：大家仔細觀察，如果高不變，我們是否也已經把平行四邊形變成了長方形。

學生中發出恍然大悟的“哦”聲。

這時，教師引導學生觀察方法3中的“6”和“4”分別是平行四邊形的什么？進而總結出平行四邊形的面積計算公式。

3.回顧想一想，清析推理的路線圖

這時，教師請學生給剛才的學習內容取一個課題。學生都說：平行四邊形的面積。教師并不急于板書，反問：明明是推導平行四邊形的面積，為什么要加入一個長方形，求長方形的面積呢？

生1：因為我們通過沿著高割下一塊三角形，再“移一移”，就變成了長方形。

生2：這時，平行四邊形的“底”就是長方形的“長”，“高”就是長方形的“寬”。

教師依據生2的說法，在兩個公式對應的信息之間加上了箭頭，并指出：這樣我們就把原來的平行四邊形“轉化”成了與它面積相等的長方形。教師在平行四邊形與長方形之間加上箭頭，并板書“轉化”。最后添上課題：平行四邊形的面積，把推導過程形成如圖4的板書。

基于學情的平行四邊形面積公式推導，讓學生經歷了直覺猜想到推理驗證，形成了完整的公式推導思路，為后續推導三角形、梯形的面積公式提供了思考的路徑。

三、練習提升，加深對平行四邊形面積的理解

平行四邊形面積計算的練習可以分成三個層次，第一個層次是圖形計算題，第二個層次是解決問題，這兩個層次均設計有在直接應用公式計算的基礎上進行適當的變式；第三個層次是平行四邊形的等積變形，加深對公式的理解。

1.設計基本變式，鞏固面積公式

設計如5的兩個看圖求面積的問題。

先由學生獨立完成，然后反饋。在校對第1小題后提問：它可以怎樣轉化成長方形？學生回答后教師課件移動成圖6（1），并發現轉化后是一個正方形。第2小題校對后提出同樣的問題，學生回答后教師課件移動成圖6（2）。對于第2個小題，教師提問：依據已知的信息，你還能夠提出什么問題？預設學生提出問題：高是24dm所對應的底是多少？學生獨立完成后校對。

兩個問題在校對后，均讓學生說一說是如何轉化的，加深對推導過程的理解。而在第2小題校對后，讓學生自己提出數學問題，可以培養學生依據已有信息發現問題與提出問題的能力。

2.設計應用變式，活用面積公式

與圖形計算相關的應用問題，在審題時，能夠依據信息聯想到對應的圖形，畫出或想像出圖示，并能夠依據具體問題，對公式進行相應的變式。為達成這樣的目標，設計如下兩個問題。

（1）一個停車位是平行四邊形，它的底是5m，對應的高是底的一半。它的面積是多少平方米？

（2）有一塊平行四邊形菜地，它的面積是280m2，其中一條底是14m，它對應的高是多少米？

第1題學生在畫示意圖時，可以依據“對應的高是底的一半”，先畫出底與高，然后再補全平行四邊形。第2題則可以在回憶平行四邊形面積公式的基礎上，把公式變式為已知面積與底，求高。

3.設計等積變式，深化面積公式

長方形如果確定了長與寬的具體長度，那么它的形狀就確定了。但是平行四邊形如果只規定底與高，形狀卻有許許多多，這就是平行四邊形的等積變形的特性。為讓學生理解這一特性，筆者讓學生在網格圖中畫若干個“底是6cm，高是4cm的平行四邊形”，學生完成后，展示學生的作品，總結“等底等高”的平行四邊形面積相等，進一步，利用課件，把這些平行四邊形的底變為“同底”，并增加中間的長方形，進一步觀察得出結論“同底等高”的平行四邊形面積相等。

總之，在推導平行四邊形面積公式時，為揭示面積的意義出示網格圖，再利用網格圖作為參照，通過討論辨析對類比直覺獲得的結論進行轉化推理，讓學生學到的不僅是平行四邊形的面積公式，更是學會了其中的推理策略與方法，為后續學習三角形與梯形面積公式的推導提供了方向與思路。

參考文獻：

[1]小學數學課程標準解讀（修訂稿）北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]全國小學名師最新課堂教學實錄與評點[M] 張伯陽等.杭州：西泠印社出版社，2005.4

[3]浙江省中小學學科教學建議（試行）.浙江省教研室，2009.10