可變直覺模糊多粒度粗糙集模型及其近似分布約簡算法

萬志超，宋　杰，沈永良

(1.計算智能與信號處理教育部重點實驗室(安徽大學)，合肥 230601；　2.安徽大學 計算機科學與技術學院，合肥 230601)(*通信作者電子郵箱luckwan12@163.com)

0　引言

粗糙集理論是Pawlak教授[1]于1982年提出的一種處理不確定性知識的數據分析理論，它的基本思想是通過等價關系將知識論域劃分成知識粒，然后對目標概念進行近似逼近。由于該理論的自身特性，目前已廣泛運用于機器學習、智能信息處理和數據挖掘等領域[2-4]。

近年來，隨著研究的深入，傳統的粗糙集理論也暴露了一些局限性，因此研究人員對粗糙集模型也作了大量的推廣，例如，Ziarko[5]提出了變精度粗糙集，使得粗糙集模型降低了對噪聲數據的敏感度;Duboid等[6]提出了模糊粗糙集;張植明等[7]提出了基于直覺模糊覆蓋的直覺模型粗糙集;Lin[8]提出了鄰域粗糙集模型。這些模型不斷地被提出，使得粗糙集理論逐漸趨于完善。最近，Qian等[9-10]在粒計算的視角下提出了多粒度粗糙集模型，該模型通過多個等價關系對論域進行劃分，進而構造出了多重的知識粒對目標對象進行近似逼近，這樣可以對目標概念進行更為全面的知識挖掘[9]。目前該模型已成為粗糙集理論的研究熱點[10-12]。

直覺模糊粗糙集[7]是粗糙集理論的一種常見模型，由于該模型以直覺模糊集[13]作為理論基礎，通過隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個視角來刻畫對象的隸屬關系，有著更好的數據相似性度量效果[13]，這使得直覺模糊粗糙集有著更優越的近似逼近刻畫，目前受到了學者們的廣泛關注[7,14-16]。

雖然多粒度粗糙集和直覺模糊粗糙集都是粗糙集理論中兩種優秀的模型，但是很少有學者考慮將它們進行結合，因此本文在前人研究的基礎上，提出了一種直覺模糊多粒度粗糙集模型，并定義了樂觀和悲觀的兩種形式。近年來由于張明等[12]提出了多粒度粗糙集模型中近似集定義的不合理情況，并給出了一種改進的模型，本文采用該改進方法，進一步地提出了改進的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型，并證明了相關的性質。實例分析表明，所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型改善了原先模型對于近似集定義過于寬松和過于嚴格的情形，在近似逼近方面更具合理性。屬性約簡是粗糙集模型中一種重要的應用[17-18]，在所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型基礎上，本文進一步地給出了該模型的近似分布約簡算法，UCI實驗結果也驗證了該算法具有更好的約簡性能。

1　相關概念

1.1　直覺模糊粗糙集

直覺模糊集是Atanassov[13]在模糊集理論上的拓展，它通過隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個方面來描述信息的不確定性，相比模糊集更具靈活性。

(1)

定義2對于一個全集U，定義U上的直覺模糊關系Ω為:

Ω={〈(x,y),μΩ(x,y),νΩ(x,y)〉|(x,y)∈U×U}

(2)

其中:μΩ∈[0,1],νΩ∈[0,1],并且滿足μΩ+νΩ∈[0,1]。U上的直覺模糊關系Ω可用關系矩陣表示為:

(3)

(4)

(5)

其中:

1.2　多粒度粗糙集

多粒度粗糙集模型是Qian等[9]在傳統粗糙集理論上的推廣，該模型通過多個等價關系方式對近似對象進行粗糙逼近，從而對研究對象達到更為全面的認識。

定義4設信息系統IS=(U,AT),其中：U為非空有限對象集，被稱為全集；AT為全體屬性集。{A1,A2,…,Am}為AT上m個屬性子集，?X?U關于這m個屬性子集的樂觀多粒度粗糙集的下近似和上近似分別定義為：

(6)

(7)

其中[x]Ai表示對象x在等價關系Ai下的等價類。

定義5對于信息系統IS=(U,AT),設{A1,A2,…,Am}為AT上m個屬性子集，?X?U關于這m個屬性子集的悲觀多粒度粗糙集的下近似和上近似分別定義為:

(8)

(9)

2　可變直覺模糊多粒度粗糙集模型

直覺模糊粗糙集[7]和多粒度粗糙集[9]是粗糙集理論中兩種重要的模型，直覺模糊粗糙集通過隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個方面對不確定性對象具有更好的近似逼近效果[16]，而多粒度粗糙集通過多視角對目標概念進行分析。為了融合兩種模型的優勢，本文將兩種模型結合，提出基于直覺模糊集的多粒度粗糙集模型。

(10)

(11)

其中:

(12)

(13)

其中:

(14)

(15)

證明根據定義3和定義6可直接得到性質1成立。

在勞動力價格日趨高漲的情況下，減少勞動力工作日，減輕勞動強度，提高勞動效益，加快投入裝備，實現自動化和機械化、半機械化是重要的途徑，針對土墻日光溫室，一是配置滴灌設施，實現小規模2-10棟溫室規模的水肥一體化設施，實現灌溉澆水、施肥施藥等的自動化，降低溫室內濕度，減少病蟲害。二是對溫室通風口和外保溫改造，配置溫度濕度的監控裝置，并同通風口、卷簾機和手機等聯結，形成自動化的日光溫室植物生長因素監控遙控系統。三是對于比較大的溫室，增加角鐵軌道或懸掛吊軌輸送采摘蔬菜和生產資料。

(16)

(17)

證明根據定義3和定義7可直接得到性質2成立。

觀察性質1和性質2可以發現，所提出的直覺模糊多粒度粗糙集模型中也出現了相同的弊端，為了解決這一問題，本文將張明等[12]提出的可變多粒度粗糙集融入到所提的模型中。

(18)

(19)

這里滿足Θ′?Θ,|Θ′|/|Θ|=α,并且:

(20)

(21)

這里滿足Θ′?Θ,|Θ′|/|Θ|≥α,并且:

通過定義8和定義9可以發現，可變直覺模糊多粒度粗糙集模型中的參數α用來限定模型中直覺模糊關系的吸取或合取，這樣相比原先的直覺模糊多粒度粗糙集模型具有更好的靈活性。可變直覺模糊多粒度粗糙集模型滿足如下性質。

(22)

(23)

當α=1時:

(24)

(25)

證明當0<α≤1，即Θ′?Θ，那么根據定義8有:

證畢。

在直覺模糊樂觀多粒度粗糙集模型中，下近似的定義過于寬松，上近似的定義過于嚴格，通過性質3的式(22)可以發現，含參數α的可變下近似小于原先的下近似，含參數α的可變上近似大于原先的上近似，說明了含參數的下近似定義較為嚴格一點，上近似定義較為寬松一點，這樣消除了原先直覺模糊樂觀多粒度粗糙集模型的缺陷，對近似集具有更合理的擬合效果。同樣地，通過性質3的式(23)得出可變直覺模糊悲觀多粒度粗糙集模型也達到了更合理的近似逼近效果。

此外，在性質3的式(24)、(25)中，當α=1時，可變直覺模糊多粒度粗糙集模型便退化為直覺模糊多粒度粗糙集模型，因此直覺模糊多粒度粗糙集模型是可變模型的特例，可變模型是直覺模糊多粒度粗糙集模型的泛化。

(26)

(27)

(28)

α1≤α2?

(29)

證明根據定義8和定義9，式(26)、(27)顯然成立。

在式(29)中，α1≤α2有Θ1?Θ2，那么：

證畢。

在性質4的式(26)～(28)表明，可變直覺模糊多粒度粗糙集模型仍然滿足原先模型的一些最基本的性質，但是在式(29)中，設置不同的參數α值，可以得到不同大小的上下近似，這就表明，可以通過設置參數α來調節模型上下近似的寬松和嚴格程度，這樣使得該模型具有較好的靈活性。

3　實例分析

接下來本文設定參數α=2/3，計算出可變直覺模糊樂觀多粒度粗糙集以及悲觀多粒度粗糙集，其結果為：

觀察可以發現：首先近似集結果滿足性質3；其次，相對直覺模糊多粒度粗糙集模型，可變模型的粗糙集在寬松和嚴格方面有了一定的改善，使得可變直覺模糊多粒度粗糙集模型擁有了更合理的近似逼近效果。同時也可以根據實際的需求來適當地選取α值。

4　近似分布約簡

屬性約簡是粗糙集理論在機器學習領域中一種重要的應用[2,17-18]，在多粒度粗糙集模型中，基于近似分布的屬性約簡是目前研究的重點[9-10,18]。在本章將探究可變直覺模糊多粒度粗糙集模型關于近似分布的屬性約簡問題。

定義10設決策信息系統DIS=(U,C∪D),其中U為非空有限對象集，C為信息系統的條件屬性集，D為決策屬性集，且C∩D=?。決策屬性集D誘導出的劃分為U/D={D1,D2,…,Dr}。設{A1,A2,…,Am}為C上m個條件屬性子集，并且條件屬性子集Ai誘導出的直覺模糊關系為ΩAi。令0<α≤1,定義：

(30)

(31)

(32)

(33)

定義11對于決策信息系統DIS=(U,C∪D),決策屬性集D誘導出的劃分為U/D={D1,D2,…,Dr}。0<α≤1，設{A1,A2,…,Am}為C上m個條件屬性子集，誘導出的一組直覺模糊關系為{ΩA1,ΩA2,…,ΩAm}，另外設{B1,B2,…,Bm}也為C上m個條件屬性子集，并且滿足Bi?Ai(1≤i≤m)，誘導出的一組直覺模糊關系為{ΩB1,ΩB2,…,ΩBm}。若{B1,B2,…,Bm}是{A1,A2,…,Am}的樂觀下近似分布相對約簡當且僅當：

若{B1,B2,…,Bm}是{A1,A2,…,Am}的樂觀上近似分布相對約簡當且僅當：

同理，對于決策信息系統DIS=(U,C∪D),決策屬性集D誘導出的劃分為U/D={D1,D2,…,Dr}。0<α≤1，設{A1,A2,…,Am}為C上m個條件屬性子集，誘導出的一組直覺模糊關系為{ΩA1,ΩA2,…,ΩAm}，另外設{B1,B2,…,Bm}也為C上m個條件屬性子集，并且滿足Bi?Ai(1≤i≤m)，誘導出的一組直覺模糊關系為{ΩB1,ΩB2,…,ΩBm}。若{B1,B2,…,Bm}是{A1,A2,…,Am}的悲觀下近似分布相對約簡當且僅當：

若{B1,B2,…,Bm}是{A1,A2,…,Am}的悲觀上近似分布相對約簡當且僅當：

在定義11中關于可變直覺模糊多粒度粗糙集模型的近似分布約簡中，條件(1)表示的是樂觀/悲觀近似分布約簡集和原屬性子集具有相同的近似分布，即具備相同的分類性能，條件(2)保證樂觀/悲觀近似分布約簡集的極小性。同時，如果{B1,B2,…,Bm}既是樂觀/悲觀下近似分布約簡又是樂觀/悲觀上近似分布約簡，那么稱{B1,B2,…,Bm}是{A1,A2,…,Am}的樂觀/悲觀近似分布約簡。

根據定義11，可以得到基于可變直覺模糊多粒度粗糙集模型的屬性重要度定義。

(34)

(35)

(36)

(37)

另外，這里定義空集誘導出的直覺模糊關系為Ω?={〈(x,y),0,1〉|(x,y)∈U×U}。

在定義12中，如果a∈Ai關于Ai的屬性重要度的值為0，說明{A1,A2,…,Ai-{a},…,Am}和{A1,A2,…,Ai,…,Am}的在可變直覺模糊多粒度粗糙集下的近似分布是一致的，也就是說a關于Ai是冗余的，因此需要把屬性a在Ai中進行刪除。根據定義12，接下來給出可變直覺模糊多粒度粗糙集下的近似分布約簡算法。

算法1樂觀下近似分布約簡。

輸入決策信息系統DIS=(U,C∪D)，參數α，m個屬性子集{A1,A2,…,Am};

輸出下近似分布約簡{B1,B2,…,Bm}。

步驟1初始化Bi=?(1≤i≤m)。

步驟2計算決策屬性劃分U/D。

步驟3對于{A1,A2,…,Ai,…,Am}中每個屬性子集Ai,依次進行步驟4～5計算。

若出現多個滿足條件的屬性，任選其中一個。

步驟6返回{B1,B2,…,Bm}。

類似于算法1，還可以得到決策信息系統的樂觀上近似分布約簡，以及悲觀下/上近似分布約簡。

5　實驗分析

為了驗證本文所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型的優勢，利用本文所提出的近似分布約簡算法和其他多粒度粗糙集模型的近似分布約簡算法分別對相同的數據集進行約簡，最后對分布約簡的大小和分布約簡的分類性能進行比較。參與實驗的數據集如表1所示，這些數據集均來自于UCI機器學習數據集庫。

實驗中選取的對比算法分別為:1)模糊多粒度決策理論粗糙集模型的近似分布約簡算法[19](記為算法A1和算法A2);2)多粒度雙量化決策理論粗糙集的近似分布約簡算法[20](記為算法B1和算法B2);3)可變多粒度粗糙集模型的近似分布約簡算法[12](記為算法C1和算法C2)。記本文所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集的近似分布約簡算法為算法D1和算法D2。上述中標記為1的算法均為樂觀下近似分布約簡，標記為2的算法均為樂觀上近似分布約簡。另外，由于本文提出的是直覺模糊關系下的多粒度粗糙集模型，對象之間的直覺模糊關系采用文獻[21]提出的構造方法，即通過證據理論中信任函數和似然函數等函數去度量直覺模糊關系中的隸屬度和非隸屬度。

本實驗參與比較的均為各類多粒度粗糙集模型下的近似分布約簡算法，在進行實驗前需要構造出一組屬性子集。表2所示的是表1中6個數據集構造出的屬性子集結果，其中屬性子集的結果用屬性子集的大小來表示，例如對于數據集wine，屬性子集的大小結果為{4,4,5}，即對應的3個屬性子集分別為{1,2,3,4},{5,6,7,8},{9,10,11,12,13}。同理，其余5個數據集也是用同樣的方法來表示。

表1　UCI數據集Tab. 1　UCI data sets

表2　多粒度屬性子集結果Tab. 2　Multi-granulation attribute subset results

表3、表4分別是四種下近似分布約簡算法和四種上近似分布約簡算法對表1各個數據集的屬性約簡結果比較。其中算法C1、C2、D1和D2均含有參數α，具體的取值在表中的括號里標注。由表3可以很明顯地看出，算法A1和算法B1約簡出的屬性子集包含了更少的屬性，這主要是由于算法A1和算法B1是在傳統多粒度粗糙集模型的基礎上構造出的近似分布約簡，對近似目標的下近似粗糙逼近過于寬松，使得約簡集中每個屬性的屬性重要度評估不是特別的合理，約簡時剔除了一些比較重要的屬性，導致了每個屬性子集的約簡集比較小。而算法C1和算法D1相比算法A1和算法B1有著較大的約簡集，例如數據集wine、sonar、audio和move，這主要是由于算法C1和算法D1都是通過可變參數α的方式限制了多粒度粗糙集模型的近似逼近程度，改善了原先多粒度粗糙集模型中下近似逼近過于寬松的缺陷[12]，對于一些比較重要的屬性得到了保留，因此對應的約簡集較大。算法D1是基于可變直覺模糊多粒度粗糙集構造的約簡算法，直覺模型關系在刻畫數據相似性方面具有更高的優越性，因此對屬性重要度有著更為精準的度量，從而使得算法D1的約簡集小于算法C1的約簡集。在表4中則可以觀察到相反的結果。算法A1和算法B1對近似目標的上近似粗糙逼近過于嚴格，導致了每個屬性子集的約簡集比較大，而算法C1和算法D1通過可變參數α的方式改善了這種上近似逼近過于嚴格的缺陷，使得算法C1和算法D1得到的約簡結果比較小，同時算法D1的約簡集更小，例如數據集wine、wdbc、iono和audio等。因此通過近似分布的約簡結果可以看出本文所提模型具有一定的優越性。

表3　下近似分布約簡結果比較Tab. 3　Comparison of reduction results of lower approximation distribution

表4　上近似分布約簡結果比較Tab. 4　Comparison of reduction results of upper approximation distribution

為了評估四類模型近似分布約簡算法的約簡結果的有效性，本實驗通過粗糙集模型中關于決策屬性的近似精度度量來體現[9,12,18]，近似精度反映了粗糙集模型中近似目標的逼近程度。從表5中四種下近似分布約簡的近似精度度量結果可以看出，算法A1和A2約簡結果的近似精度和算法B1和B2約簡結果的近似精度普遍比較高，這主要是由于這兩種模型的下近似和上近似采用傳統的方法來描述，即下近似的逼近過于寬松，上近似的逼近過于嚴格，從而導致了近似精度過高，這顯然是不合理的。而算法C1和C2約簡結果的近似精度和算法D1和D2約簡結果的近似精度結果就稍微低一點，這主要是由于這兩種模型的參數α的加入能很好地改善原先多粒度粗糙集模型的缺陷，有利于反映出近似目標和屬性子集之間真實的近似度量效果，算法D1和D2約簡結果的近似精度在部分數據集的值更低一點，這主要是直覺模糊關系對數據相似性的刻畫具有更高優越性的結果。從表5中四種上近似分布約簡的近似精度度量結果，同樣能看出類似的規律。因此通過對于近似精度整體分析，本文所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型具有更好的近似逼近效果。

在本文所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型中，參數α是一個很重要的參數，它的取值大小直接影響到了近似目標近似逼近效果。為了驗證參數α對近似分布約簡的影響，接下來將參數α在[0,1]區間上依次取值分別進行實驗，表1中各個數據集的下近似分布約簡和上近似分布約簡的實驗結果分別如圖1和圖2所示。

表5　近似分布約簡近似精度比較Tab. 5　Comparison of approximation accuracy of approximation distribution reduction

圖1　下近似分布約簡結果Fig. 1　Reduction results of lower approximation distribution

圖2　上近似分布約簡結果Fig. 2　Reduction results of upper approximation distribution

在圖1中，隨著參數α的逐漸增加，其下近似分布約簡中每個屬性子集的大小是逐漸增加的，這主要是由于參數α的值逐漸增大，逐漸增加了樂觀下近似定義的嚴格程度，使得約簡的嚴格程度也相應增加，因此屬性子集逐漸增大。在圖2中，隨著參數α的逐漸增加，上近似分布約簡中每個屬性子集的大小是逐漸減少的，這主要是由于參數α的值逐漸增大，逐漸減小了上近似定義的嚴格程度，從而使得約簡的嚴格程度也相應逐漸減小，屬性子集的大小逐漸減小。因此綜合起來分析可以發現，本文所提出的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型在近似逼近和約簡方面都更具一定的靈活性，而參數α可以根據實際的需求靈活選取。

6　結語

多粒度粗糙集和直覺模糊粗糙集是粗糙集理論的兩種重要的模型，為了融合各自的優點，本文提出直覺模糊多粒度粗糙集，針對該模型對于近似目標的粗糙逼近過于寬松和過于嚴格的問題作了進一步的改進，提出了可變直覺模糊多粒度粗糙集模型，并通過理論分析和實例驗證了該模型的合理性。同時本文進一步地給出了可變直覺模糊多粒度粗糙集模型的近似分布約簡算法，在UCI數據集上的實驗結果表明，所提出的屬性約簡算法具有更好的約簡性能，同時也驗證了本文的可變直覺模糊多粒度粗糙集模型在近似逼近和數據降維方面均具有更高的優越性。接下來，將針對所提出模型的規則提取方法作進一步研究。

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