基于概率的運載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計方法研究

劉百奇，韋常柱，雷建長

(1.中國運載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京 100076；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱 150001)

0 引言

傳統(tǒng)的運載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計采用極限偏差設(shè)計方法，要求由各類隨機偏差造成的干擾力矩在火箭飛行過程中不得超過控制系統(tǒng)的最大控制力矩，并且通過工程經(jīng)驗選取安全系數(shù)保證控制系統(tǒng)的最大控制力矩具有一定的冗余度。這種方法具有簡單、可靠的特點，因此在工程實踐中獲得了良好的效果和廣泛的應(yīng)用。

但是隨著認(rèn)識的不斷加深，研究人員發(fā)現(xiàn)由于各類干擾力矩的概率分布并不相同，運載火箭在不同飛行階段，不同飛行方式和不同姿態(tài)下受到的干擾力矩情況也不相同。統(tǒng)一的安全裕度不能對系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行量化描述，為了追求安全可靠而增大余量或增加冗余度，造成了不必要的浪費和系統(tǒng)總體性能的下降[1-2]。

為解決安全系數(shù)法帶來的問題，國內(nèi)外學(xué)者開始探索將隨機模型與數(shù)值方法結(jié)合以尋求數(shù)值方法的概率解決模式，基于概率的相關(guān)設(shè)計方法應(yīng)運而生，并逐步在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計、熱防護(hù)系統(tǒng)設(shè)計、飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計、飛行器總體優(yōu)化等領(lǐng)域得到了應(yīng)用[2-4]。本文綜述了基于概率的控制系統(tǒng)設(shè)計方法國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，提出了基于概率的運載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計流程及基于概率的控制器設(shè)計方法，并進(jìn)行了初步的仿真驗證。

1 概率控制國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

國內(nèi)外學(xué)者針對基于概率的控制系統(tǒng)設(shè)計的研究主要從兩方面進(jìn)行：一是系統(tǒng)偏差量統(tǒng)計建模方法，二是控制方法設(shè)計。

系統(tǒng)偏差量建模是指將系統(tǒng)不確定性因素按類型進(jìn)行劃分，采用概率模型量化系統(tǒng)偏差量。由于復(fù)雜系統(tǒng)的偏差量眾多，在完成偏差量建模后，還需要采用靈敏度分析方法進(jìn)行顯著性分析，濾除對系統(tǒng)性能影響微弱的偏差量，以此降低概率設(shè)計的復(fù)雜度。

系統(tǒng)偏差量建模需要計算出偏差量所服從的概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)。目前對偏差量建模的方法通常有兩種：一是通過對偏差量測量數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察，在多個可能的分布中選擇最合適的分布類型；二是通過對偏差量的產(chǎn)生機理進(jìn)行分析，確定偏差量的分布類型。第一種方法的缺點在于需要大量的對比分析工作，而且很難保證所選定的概率分布能準(zhǔn)確地反映偏差量試驗數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。第二種方法雖然從理論上來說比較準(zhǔn)確，但在工程應(yīng)用中，由于偏差量產(chǎn)生的原因十分復(fù)雜，除了個別簡單系統(tǒng)，難以進(jìn)行精確分析。

針對系統(tǒng)偏差量建模的問題，劉常青[5]研究了基于偏差數(shù)據(jù)分布已知/未知的、小樣本/大樣本數(shù)據(jù)的Bayes估計的統(tǒng)計建模方法。李憲東[6]基于最大熵原理確定PDF。Yen[7]利用Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)確定實驗數(shù)據(jù)PDF類型的可行性，但并沒有給出一般的擬合方法。Li 等[8]、湯保新[9]、Vidal等[10]分別利用Hermite正交多項式、Legendre正交多項式以及有理特征函數(shù)對給定PDF進(jìn)行擬合，目的是用于計算有顯式表達(dá)式的極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率。黃卓[11]利用混合Gamma分布建立了通用的試驗數(shù)據(jù)PDF擬合方法。

在概率控制系統(tǒng)設(shè)計方面，主要的研究思路是基于輸出PDF的閉環(huán)控制。1996年，Kárn等[12]將控制量描述為PDF形式，設(shè)計了控制器，但其僅具有數(shù)學(xué)理論上的正確性，因為僅關(guān)聯(lián)控制量的PDF無法形成閉環(huán)控制回路。受此思想啟發(fā)，Wang等[13-20]研究了基于標(biāo)準(zhǔn)輸入量的控制輸出PDF的方法，之后Wang等進(jìn)一步深入研究了多種復(fù)雜控制輸入形式下的輸出PDF控制方法，并逐漸建立了輸出PDF控制理論體系。繼而，Wang及其研究團隊[21]對基于PDF的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性進(jìn)行了分析，并研究了二次型目標(biāo)輸出PDF和實際輸出PDF為指標(biāo)時，一種解析緊湊的輸出PDF控制形式。為了提高對隨機控制系統(tǒng)模型的描述精度，以及對輸出PDF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述的數(shù)值魯棒性，Wang等[22]研究了根方B-樣條描述方法以及分式B-樣條描述方法等。此外，F(xiàn)orbes等[23]提出了過程PDF控制方法，由方程描述的平穩(wěn)PDF的過程包含了完整的信息，既包括過程的動態(tài)信息，又包含了過程擾動的PDF。為實現(xiàn)對PDF誤差的最小化控制，國外學(xué)者設(shè)計了多種控制算法，但這些算法對計算量的要求較高，難以獲得工程應(yīng)用。為了減小計算量、便于離線設(shè)計參數(shù)、降低設(shè)計參量維數(shù)，Guo等[24-25]研究了固定控制結(jié)構(gòu)如PI或PID結(jié)構(gòu)下的控制算法，并采用LMI方法對控制設(shè)計參數(shù)進(jìn)行了求解。

當(dāng)PDF不可測時，隨機控制系統(tǒng)的目標(biāo)則變?yōu)樽钚』]環(huán)系統(tǒng)的不確定性和隨機性。當(dāng)控制系統(tǒng)的輸入滿足高斯分布特性且為線性時，可采用傳統(tǒng)的最小變分方法進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計。對于其他控制輸入形式，則須對不確定性的一般測量狀態(tài)進(jìn)行分析，Yue等[26]基于最小熵原理進(jìn)行了此種狀態(tài)下的隨機控制系統(tǒng)設(shè)計。

總體來說，國外對概率設(shè)計方法的研究相對于國內(nèi)領(lǐng)先較多，在不同的行業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，且具有較為完整的一套設(shè)計規(guī)范和流程，而調(diào)研相關(guān)文獻(xiàn)表明我國在概率設(shè)計領(lǐng)域研究較少，特別是在運載火箭概率控制系統(tǒng)設(shè)計領(lǐng)域，鮮見相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)表。

2 運載火箭控制系統(tǒng)概率設(shè)計基本思想及流程

概率設(shè)計法基本思想可以總結(jié)為對系統(tǒng)可靠度賦予概率定義，以系統(tǒng)的失效概率或可靠指標(biāo)來度量系統(tǒng)的可靠度。在采用概率設(shè)計法進(jìn)行系統(tǒng)可靠度分析時，必須首先明確系統(tǒng)的極限狀態(tài)，即當(dāng)系統(tǒng)的極限狀態(tài)分布在某一部分超過某一特定狀態(tài)后，不再滿足設(shè)計規(guī)定的某一功能要求時，則此特定狀態(tài)就稱為該功能的極限狀態(tài)。其次，概率設(shè)計需要對系統(tǒng)的極限狀態(tài)進(jìn)行評價，其在控制系統(tǒng)中可以表述為最大控制力矩大于干擾力矩的概率。因此，概率設(shè)計要求準(zhǔn)確獲得系統(tǒng)的極限狀態(tài)并對其進(jìn)行精確評價，進(jìn)而衡量系統(tǒng)的可靠度，以此來評價概率設(shè)計結(jié)果的適用性。

在控制系統(tǒng)設(shè)計中，采用概率設(shè)計方法不僅能定量分析系統(tǒng)極限狀態(tài)與可靠性之間的關(guān)系，還可以利用這種關(guān)系，建立安全系數(shù)與可靠度之間的規(guī)范，從而定量分析控制系統(tǒng)的控制能力需求，設(shè)計在概率層面上滿足精度要求的控制系統(tǒng)，在保證一定可靠度下降低受干擾火箭的最大需求控制力矩，進(jìn)而降低傳統(tǒng)裕度安全設(shè)計中過大的系統(tǒng)冗余度,減少生產(chǎn)費用,降低系統(tǒng)復(fù)雜度，使控制系統(tǒng)更加精細(xì)化。

不同于傳統(tǒng)極限偏差設(shè)計方法，由于其采用基于概率理論并通過統(tǒng)計分析的方式進(jìn)行精細(xì)化設(shè)計，因此其設(shè)計過程相較于傳統(tǒng)設(shè)計方法更加復(fù)雜。運載火箭控制系統(tǒng)概率設(shè)計的流程如圖1所示。

由圖1可知，運載火箭控制系統(tǒng)概率設(shè)計流程主要包括3部分內(nèi)容:1)控制系統(tǒng)偏差精細(xì)化建模及分析；2)概率密度函數(shù)建模；3)基于密度函數(shù)成型的控制系統(tǒng)概率設(shè)計。其中，控制系統(tǒng)偏差精細(xì)化建模及分析主要是通過對偏差分布的精細(xì)化描述、蒙特卡洛打靶和靈敏度分析選取對火箭飛行影響較大的偏差因素及其分布，為后續(xù)設(shè)計提供基本條件并降低設(shè)計過程的復(fù)雜性；概率密度函數(shù)建模主要是通過擬合的方法得到蒙特卡洛打靶結(jié)果的分布，為后續(xù)概率密度函數(shù)成型控制提供基礎(chǔ)；基于密度函數(shù)成型的控制系統(tǒng)概率設(shè)計主要是通過期望概率密度函數(shù)和輸出概率密度函數(shù)的權(quán)值比較并基于穩(wěn)定控制設(shè)計理論形成相應(yīng)的控制律，最后通過需求控制力矩須大于干擾力矩來判斷是否需要對控制器進(jìn)行重新設(shè)計。

3 基于概率的控制器設(shè)計方法

(1)期望概率密度函數(shù)設(shè)計

考慮到火箭實際飛行過程中受到隨機干擾的影響，控制器實際輸出姿態(tài)角誤差是概率分布的，這種情況可假設(shè)如圖2所示。

圖2中，Z表示控制器輸出誤差，且假設(shè)其服從正態(tài)分布，曲線為變量Z的概率密度函數(shù)曲線，其中，分布1和分布2表示為在相同隨機干擾下，不同控制指令的輸出誤差分布，該誤差分布可以看作是不同控制器或相同控制器在不同控制參數(shù)作用下的結(jié)果。分布1和分布2之間的關(guān)系為μ1=μ2=0，σ1>σ2。火箭姿態(tài)穩(wěn)定的標(biāo)志可以表述為Z≈0，或者說控制器輸出誤差在大概率下保持一個很小的范圍。從圖2中可以看出，分布2比分布1的變量Z在坐標(biāo)原點附近的分布更加集中，因此控制器2的魯棒性更強。

從上述討論中可知，在進(jìn)行火箭控制系統(tǒng)設(shè)計時，首先需要考慮的是設(shè)計期望輸出姿態(tài)角誤差的概率密度函數(shù)，即將期望輸出角誤差概率密度函數(shù)設(shè)計為μ=0，σ足夠小的分布形式，然后通過設(shè)計合適的控制方法，使控制器輸出的火箭姿態(tài)控制量u(k)(如舵偏、推力矢量等)能夠使系統(tǒng)輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)與期望輸出角誤差概率密度函數(shù)相符合。

(2)輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)擬合

通過B樣條概率密度函數(shù)擬合方法，火箭在隨機復(fù)合干擾下的輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)可表示為[13]：

e(y,U(k-1))

(1)

且

(2)

其中，Bi(y)為定義在多維區(qū)間[a,b]n上的多元基函數(shù)；Ω為由輸出姿態(tài)角誤差構(gòu)成的空間；wi(k)為t=kT時刻輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)的擬合權(quán)值，|e0|≤δ；y是控制系統(tǒng)輸出，y∈[a,b]；μ(k)是采樣時刻的控制輸入；U(k-1)={μ(0),μ(1), …,μ(k-1)}，為系統(tǒng)t=kT時刻之前的控制輸入，即該時刻的實際輸出角誤差概率密度函數(shù)γ(y,U(k-1))與過去的輸入相關(guān)。

(3)概率系統(tǒng)狀態(tài)空間

對于隨機復(fù)合干擾作用下飛行的火箭而言，在不同推力矢量控制序列作用下輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)不同，概率密度函數(shù)的擬合權(quán)值也不同。因此,擬合權(quán)值wi和姿態(tài)控制量μi之間存在動態(tài)關(guān)系，即

W(k+1)=AW(k)+Bu(k)

(3)

或

(4)

將式(2)代入式(4)得：

(5)

將式(2)代入式(1)得輸出方程：

(6)

因此建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間為：

(7)

G、H、E需要由標(biāo)準(zhǔn)遞推最小二乘法等辨識方法獲得。

(4)系統(tǒng)矩陣辨識

考慮狀態(tài)方程：

V(k+1)=GV(k)+Hu(k)

(8)

將其轉(zhuǎn)化為如下形式：

(9)

式(9)為進(jìn)行遞推最小二乘法的標(biāo)準(zhǔn)形式，且

(10)

通過使用如下標(biāo)準(zhǔn)遞推最小二乘算法：

(11)

求出系統(tǒng)矩陣G和H，一般認(rèn)為擬合精度足夠，忽略擬合誤差影響，則E可由式(12)求出：

(12)

(5)基于最優(yōu)控制原理的概率控制器設(shè)計

為了通過推力矢量等控制序列μ(k)控制火箭在隨機復(fù)合干擾下的輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)，設(shè)期望輸出角誤差的概率密度函數(shù)為g(y)，系統(tǒng)的實際輸出角誤差概率密度函數(shù)為γ(y,U(k-1))，將擬合權(quán)值V(k)作為被控制量。將期望輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)g(y)同樣表示成B樣條基函數(shù)擬合的形式：

g(y)=C(y)Vg+L(y)

(13)

則系統(tǒng)的控制量μ(k)應(yīng)滿足：

μT(k)Rμ(k)

(14)

式(14)為典型的LQR問題，可通過求解黎卡提方程得到：

(15)

可得到滿足控制要求的反饋控制律：

μ(k)=K(k)(V(k)-Vg)

(16)

其中，

K(k)=-(R+HTP(k+1))-1HP(k+1)G

上述μ(k)即是使輸出概率密度函數(shù)與期望概率密度函數(shù)滿足指標(biāo)約束的最優(yōu)控制量，將其直接作為火箭執(zhí)行器的控制指令完成火箭的姿態(tài)控制。μ(k)的計算步驟為：

1)置k=1，在t=kT時刻采樣求γ(y,U(k-1))；

2)通過B樣條基函數(shù)擬合γ(y,U(k-1))得到V(k)；

3)根據(jù)姿態(tài)角誤差精度要求設(shè)計g(y)，通過B樣條基函數(shù)擬合g(y)得到Vg(k)；

4)通過標(biāo)準(zhǔn)遞推最小二乘算法求θ、G、H、E；

5)根據(jù)式(16)計算μ(k)，k=k+1，返回a。

綜上，基于最優(yōu)控制的概率控制器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

4 概率控制仿真分析

某運載火箭縱向運動的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

(17)

輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)權(quán)值與控制量間的動態(tài)關(guān)系為：

V(k+1)=GV(k)+Hμ(k)

(18)

經(jīng)過最小二乘方法辨識得到：

在初始時刻，姿態(tài)角誤差的概率密度函數(shù)如圖4所示，可以看出，在正態(tài)分布偏差F作用下，輸出姿態(tài)角誤差的分布比期望分布更加分散，控制的目的是使輸出概率密度函數(shù)跟蹤期望分布。

基于最優(yōu)控制的控制器仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。從圖5可以看出輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)在最優(yōu)控制器作用下逐漸趨近于一個穩(wěn)定的分布，從圖6可以看出，輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)的擬合權(quán)值與期望姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)的擬合權(quán)值之差逐漸趨近于0，實現(xiàn)了對期望分布的跟蹤，同時從圖7可以看出，控制量趨向穩(wěn)定，因此基于最優(yōu)控制理論設(shè)計的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)概率密度成型控制。

5 結(jié)論

本文綜述了基于概率的控制系統(tǒng)設(shè)計方法的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，梳理了運載火箭控制系統(tǒng)概率設(shè)計的基本流程，并論述了基于概率的運載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計方法，最后通過仿真驗證了基于最優(yōu)控制理論設(shè)計的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)概率密度成型控制。表明通過概率密度函數(shù)成型控制的方法能夠?qū)崿F(xiàn)控制系統(tǒng)的精細(xì)化設(shè)計。但是，本文當(dāng)前的研究只是初步驗證了簡單系統(tǒng)模型和價值函數(shù)的情況，后續(xù)還需結(jié)合運載火箭精細(xì)化模型，開展各類隨機偏差影響分析及其概率密度函數(shù)建模，探索研究概率控制在運載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計領(lǐng)域的工程實際應(yīng)用價值，從而為我國運載火箭控制系統(tǒng)的精細(xì)化設(shè)計提供參考。

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