基于Kharitonov理論的巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)魯棒控制

邵 嶽

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870）

巡檢機(jī)器人是一種沿高壓架空輸電線路行駛代替或者輔助人工巡檢的特種電力作業(yè)機(jī)器人，在國(guó)民生產(chǎn)和日常生活中占有重要地位，應(yīng)用前景非常廣闊[1]。從控制的角度看，機(jī)器人的有效控制是保證正常巡檢的前提，但是機(jī)器人存在多輸入、多輸出、強(qiáng)耦合、非線性等特征，使得在實(shí)際工程應(yīng)用中從宏觀上得到機(jī)器人完整精確模型很困難。因此本文分解機(jī)器人的控制體系結(jié)構(gòu)，從微觀層面入手，以機(jī)器人的關(guān)節(jié)電機(jī)為研究對(duì)象，建立其PID閉環(huán)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。考慮到關(guān)節(jié)電機(jī)PID參數(shù)很容易因野外惡劣氣象條件、高空風(fēng)載擾動(dòng)、高電壓強(qiáng)電磁干擾、以及電機(jī)的電樞反應(yīng)，電機(jī)本身溫度變化時(shí)，關(guān)節(jié)主電路的電阻，電感都會(huì)變化，這些都會(huì)影響電機(jī)標(biāo)稱(chēng)值的改變。此外電機(jī)長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)行它與傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在結(jié)合處會(huì)的磨擦損耗，電機(jī)所帶負(fù)載發(fā)生變化以及機(jī)器人運(yùn)行在不同工況等，這些都會(huì)影響電機(jī)參數(shù)。以上不確定性因素加大了機(jī)器人控制的難度，影響機(jī)器人機(jī)械臂控制的精度和穩(wěn)定性。在某些極端情況下，可能引起機(jī)械臂與線路上絕緣子、懸垂線夾、防震錘等障礙物發(fā)生碰撞、干涉甚至從高壓線上脫線，造成輸電線和機(jī)器人的損壞和巨大經(jīng)濟(jì)損失。因此，在控制過(guò)程中必須根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)實(shí)時(shí)對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)控制器的PID參數(shù)進(jìn)行在線自適應(yīng)調(diào)整，以確保在不確定性存在的情況下機(jī)器人在作業(yè)過(guò)程中依然保持較高的控制精度和較好的穩(wěn)定性。目前相關(guān)文獻(xiàn)已提出了基于滑模變結(jié)構(gòu)理論[2]、模糊理論[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]、遺傳算法[5]及其相結(jié)合的很多的 PID 智能控制方法[6]，但這些大都是在忽略不確定性因素和擾動(dòng)的理想情況下進(jìn)行的。HUANGYJ[7]、彭瑞[8]、徐峰[9]等人提出了基于區(qū)間多項(xiàng)式理論的參數(shù)不確定系統(tǒng)魯棒控制方法，Ho M T[10]提出了基于H∞理論的魯棒PID控制方法但被控對(duì)象大多數(shù)是針對(duì)工業(yè)控制系統(tǒng)而非機(jī)器人的關(guān)節(jié)電機(jī)。呂永健[11]、恒慶海[12]等針對(duì)被控對(duì)象的抗干擾能力提出了直流電機(jī)的 H∞魯棒控制策略，但都只是單獨(dú)的研究電機(jī)的魯棒控制而沒(méi)有聯(lián)系到機(jī)器人。王鵬[13-14]等人在建立巡檢機(jī)器人機(jī)械臂各類(lèi)動(dòng)作運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上提出了基于 HJI不等式的架空輸電線巡檢機(jī)器人的魯棒控制，趙浩泉[15]等人提出了基于混合靈敏度的水下機(jī)器人魯棒控制研究，劉開(kāi)周[16]等人提出了基于結(jié)構(gòu)奇異值的水下機(jī)器人魯棒控制研究，但這些都只是從宏觀上對(duì)機(jī)器人的控制進(jìn)行研究而沒(méi)有具體到機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的控制。因此，當(dāng)前針對(duì)高壓輸電線路巡檢機(jī)器人特別是從微觀層面上分析關(guān)節(jié)電機(jī)魯棒控制這方面的研究很少。1978年原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家卡里托諾夫提出了著名的Kharitonov定理，在處理參數(shù)不確定系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題上取得了重大突破，基于此，本文將Kharitonov定理與關(guān)節(jié)電機(jī)的魯棒控制結(jié)合起來(lái)，提出一種針對(duì)高壓輸電線巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)參數(shù)不確定PID控制系統(tǒng)的魯棒控制策略，其目的是控制機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)在存在不確定因素和擾動(dòng)的情況下，穩(wěn)定工作保持優(yōu)秀的控制品質(zhì)，為機(jī)器人正常巡檢提供有力保障。

1 巡檢機(jī)器人的控制體系結(jié)構(gòu)和關(guān)節(jié)電機(jī)建模

1.1 巡檢機(jī)器人的控制體系結(jié)構(gòu)

根據(jù)巡檢機(jī)器人控制體系結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可將其分為作業(yè)規(guī)劃、任務(wù)協(xié)調(diào)、動(dòng)作執(zhí)行3個(gè)層面，如圖1所示。作業(yè)規(guī)劃主要包括巡檢和故障處理；任務(wù)協(xié)調(diào)主要包括線上行走、障礙物識(shí)別、越障等；動(dòng)作執(zhí)行主要包括機(jī)械臂的上升、下降、平移、旋轉(zhuǎn)。對(duì)巡檢機(jī)器人機(jī)械臂各類(lèi)動(dòng)作的控制本質(zhì)，可歸結(jié)為對(duì)各關(guān)節(jié)電機(jī)的控制，電機(jī)動(dòng)作與反應(yīng)直接決定了機(jī)器人在線上的運(yùn)行狀態(tài)和效果，因此關(guān)節(jié)電機(jī)控制的穩(wěn)定性在巡檢機(jī)器人的控制體系中占有至關(guān)重要的作用，其是巡檢機(jī)器人正常工作的必要條件。

圖1 巡檢機(jī)器人控制體系結(jié)構(gòu)

1.2 巡檢機(jī)器人的關(guān)節(jié)電機(jī)建模

巡檢機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)的總和表現(xiàn)在巡檢機(jī)器人本體的運(yùn)動(dòng)，而每一個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)又表現(xiàn)為關(guān)節(jié)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)。要對(duì)巡檢機(jī)器人的關(guān)節(jié)電機(jī)實(shí)施有效控制，首先需建立其控制模型，本文以巡檢機(jī)器人行走輪關(guān)節(jié)為例建立關(guān)節(jié)電機(jī)數(shù)學(xué)模型，機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)電路模型如圖2所示。圖2中，u為電樞電壓，i為電樞電流，R為電樞電阻，L為電樞回路電感，E為反電動(dòng)勢(shì)，J為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，w為轉(zhuǎn)軸角速度，B為粘滯摩擦系數(shù)，ka、kb為與電機(jī)有關(guān)的常數(shù)。

圖2 巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)電路模型

對(duì)電樞回路列KVL微分方程可得

逆電動(dòng)勢(shì)為

將式（2）代入式（1）得

對(duì)轉(zhuǎn)軸列轉(zhuǎn)矩平衡方程可得

對(duì)式（3）取拉普拉斯變換得

對(duì)式（4）取拉普拉斯變換得

由式（5）、式（6）可得

由式（7）可得關(guān)節(jié)電機(jī)控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

由圖（3）可求得關(guān)節(jié)電機(jī)的傳遞函數(shù)為

則G(s)可簡(jiǎn)寫(xiě)為二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式：

本文以式（9）為被控對(duì)象，通過(guò)調(diào)節(jié)電機(jī)輸入電壓來(lái)控制電機(jī)輸出的角度，再通過(guò)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)來(lái)控制機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)，最后通過(guò)反饋來(lái)調(diào)節(jié)輸入形成關(guān)節(jié)電機(jī)閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)魯棒控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

在擾動(dòng)d的作用下被控對(duì)象G(s)中參數(shù)P、Q、M在一定范圍內(nèi)攝動(dòng)，為克服擾動(dòng)的影響需設(shè)計(jì)電機(jī)的魯棒PID控制器，控制的目標(biāo)是要?jiǎng)討B(tài)尋找一組合適的魯棒PID控制參數(shù)，使得各關(guān)節(jié)電機(jī)在有擾動(dòng)和參數(shù)不確定的情況下仍然能夠協(xié)調(diào)穩(wěn)定工作保持魯棒鎮(zhèn)定，進(jìn)一步提高巡檢機(jī)器人在作業(yè)過(guò)程中各類(lèi)動(dòng)作的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和抗各類(lèi)干擾的能力，實(shí)現(xiàn)巡檢機(jī)器人的線上正常自主作業(yè)。

PID控制器的傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

將式（9）、式（10）代入式（11）得

2 Kharitonov理論及巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)魯棒PID控制分析

式（13）中， Kp、 Ki、 Kd為PID控制器的控制參數(shù)，在有擾動(dòng)的情況下需要?jiǎng)討B(tài)調(diào)整，P、 Q*、M*是與電機(jī)有關(guān)的常數(shù)，理想情況下是不變的，但在機(jī)器人作業(yè)過(guò)程中各種因素使得P、 Q*、 M*難以精確測(cè)定，且魯棒PID參數(shù)的在線調(diào)整也使得 Q*、M*會(huì)動(dòng)態(tài)變化，因此式（13）巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)模型閉環(huán)特征多項(xiàng)式是一個(gè)參數(shù)不確定的3階多項(xiàng)式。此類(lèi)問(wèn)題適合用Kharitonov定理進(jìn)行穩(wěn)定性分析。以下將給出Kharitonov定理及其推廣，并分別對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)的魯棒穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

2.1 Kharitonov定理及關(guān)節(jié)電機(jī)魯棒PID控制分析

巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)PID控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定充分條件的推導(dǎo)如下。

由勞斯判據(jù)可得三階系統(tǒng)穩(wěn)定條件為

Kharitonov定理要求多項(xiàng)式系數(shù)變化是相互獨(dú)立的，系數(shù)變化在一個(gè)矩形內(nèi)部區(qū)域，但實(shí)際機(jī)器人電機(jī)控制系統(tǒng)式（13）的系數(shù)還與PID參數(shù)有關(guān)，此時(shí)系數(shù)應(yīng)在矩形對(duì)角線曲線之上，所以只要保證此區(qū)域的穩(wěn)定就可以保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定，但Kharitonov定理給出的確是全部矩形的穩(wěn)定條件，基于上述分析可知Kharitonov定理參數(shù)的變化域包含了實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)的變化域，因此滿足Kharitonov所有參數(shù)多項(xiàng)式穩(wěn)定則實(shí)際系統(tǒng)一定穩(wěn)定，實(shí)際系統(tǒng)穩(wěn)定只代表滿足參數(shù)變化域矩形對(duì)角線上方的所有參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定，并不代表所有矩形區(qū)域參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定，即式（15）中的4個(gè)Kharitonov多項(xiàng)式穩(wěn)定只是系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件。

2.2 盒子定理及關(guān)節(jié)電機(jī)魯棒PID控制分析

廣義Kharitonov定理又稱(chēng)盒子定理，它在Kharitonov定理的基礎(chǔ)上提出了判定參數(shù)相關(guān)聯(lián)多項(xiàng)式魯棒穩(wěn)定的充要條件，廣義Kharitonov定理引入了Kharitonov頂點(diǎn)對(duì)象和邊對(duì)象的概念。

1）巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)PID控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定必要條件的推導(dǎo)

Kharitonov頂點(diǎn)對(duì)象是由被控對(duì)象傳遞函數(shù)分子的4個(gè)Kharitonov多項(xiàng)式和分母的4個(gè)Kharitonov多項(xiàng)式的不同組合，共16個(gè)多項(xiàng)式的集合組成的。設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)可表示為形如式（17）的分子分母多項(xiàng)式形式。

分子多項(xiàng)式 ()Ns的4個(gè)Kharitonov多項(xiàng)式記作

分母多項(xiàng)式 ()Ds的4個(gè)Kharitonov多項(xiàng)式記作

則 ()Gs的Kharitonov頂點(diǎn)對(duì)象可用式（18）來(lái)表示。

式（18）中 Ni(s)(i =1、2、3、4) 為

將式（18）、式（10）代入式（11），可得閉環(huán)系統(tǒng)Kharitonov頂點(diǎn)對(duì)象特征方程式為

則閉環(huán)系統(tǒng)Kharitonov頂點(diǎn)對(duì)象特征多項(xiàng)式為

則理論上閉環(huán)系統(tǒng)的16個(gè)Kharitonov頂點(diǎn)對(duì)象特征多項(xiàng)式可簡(jiǎn)化為式（24）的4個(gè)多項(xiàng)式。

式（24）中的4個(gè)多項(xiàng)式都是確定系數(shù)的線性系統(tǒng)，可利用勞斯判據(jù)直接判定其穩(wěn)定性求出參數(shù)的取值范圍。因?yàn)橄到y(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是對(duì)于所有對(duì)象（包括Kharitonov多項(xiàng)式、頂點(diǎn)對(duì)象、邊對(duì)象）系統(tǒng)都穩(wěn)定，而頂點(diǎn)對(duì)象只是邊對(duì)象的一部分，所以頂點(diǎn)對(duì)象穩(wěn)定是判定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的必要條件，系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定則式（24）中任何一個(gè)頂點(diǎn)多項(xiàng)式必穩(wěn)定，或者說(shuō)式（24）中任何一個(gè)頂點(diǎn)多項(xiàng)式不穩(wěn)定，系統(tǒng)也不可能保持魯棒穩(wěn)定。

2）巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)PID控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定充要條件的推導(dǎo)

Kharitonov邊對(duì)象是由被控對(duì)象傳遞函數(shù)分子、分母的線段多項(xiàng)式和Kharitonov多項(xiàng)式組合構(gòu)成的多項(xiàng)式的集合。分子、分母的線段多項(xiàng)式是指分子、分母的 4個(gè)Kharitonov多項(xiàng)式的線性組合而構(gòu)成的4個(gè)新的多項(xiàng)式，其構(gòu)造方式如式（25）、式（26）所示，即

則 ()Gs的Kharitonov邊對(duì)象可用式（27）來(lái)描述。

所以閉環(huán)系統(tǒng)的Kharitonov邊對(duì)象特征方程為

所以閉環(huán)系統(tǒng)Kharitonov邊對(duì)象特征多項(xiàng)式為

若對(duì)于 G (s)， Ni(s) = 1 (i=1 ,2,3,4)，則 Ni*(s)=Ni(s)=1，閉環(huán)系統(tǒng)Kharitonov邊對(duì)象特征多項(xiàng)式可簡(jiǎn)化為式（30）、式（31）兩式來(lái)描述，即

由式（30）可得系統(tǒng)的 4個(gè)Kharitonov邊對(duì)象特征多項(xiàng)式，即

對(duì)于被控對(duì)象 ()Gs，將式（23）代入式（26）可得 ()Gs分母的線段多項(xiàng)式為

將式（33）代入式（31）可得式（34）閉環(huán)系統(tǒng)的另外4個(gè)Kharitonov邊對(duì)象特征多項(xiàng)式，即

理論上的32個(gè)Kharitonov邊對(duì)象特征多項(xiàng)式經(jīng)簡(jiǎn)化后得式（32）、式（34）確定的8個(gè)多項(xiàng)式，其穩(wěn)定性可由勞斯判據(jù)確定，它們穩(wěn)定是系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件。

3 巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)魯棒PID整定方法與流程

基于上述分析，對(duì)于一個(gè)已經(jīng)確定的被控對(duì)象和已知的參數(shù)攝動(dòng)范圍，可直接推導(dǎo)出關(guān)節(jié)電機(jī)控制系統(tǒng)PID控制器參數(shù) pK、iK、dK的穩(wěn)定域，用戶在控制過(guò)程中可以動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)這些參數(shù)，以保證關(guān)節(jié)電機(jī)在擾動(dòng)情況下穩(wěn)定工作。理論上講求解穩(wěn)定域直接利用勞斯判據(jù)對(duì)充要條件中的16個(gè)多項(xiàng)式分別列勞斯表，求取穩(wěn)定性范圍，再取交集就可得到穩(wěn)定域，但結(jié)合文中提出的判斷系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件、必要條件、充要條件，PID整定流程按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行在一定程度上可進(jìn)一步簡(jiǎn)化求解流程。

1）建立被控對(duì)象的傳遞函數(shù)數(shù)學(xué)模型并確定模型中參數(shù)的攝動(dòng)范圍，寫(xiě)出閉環(huán)系統(tǒng)的Kharitonov多項(xiàng)式、Kharitonov頂點(diǎn)多項(xiàng)式、Kharitonov邊對(duì)象多項(xiàng)式。

2）利用常規(guī)方法整定PID控制器參數(shù)。

3）對(duì)式（15）的4個(gè)Kharitonov多項(xiàng)式進(jìn)行穩(wěn)定性判定，如果都穩(wěn)定，則系統(tǒng)可保持魯棒穩(wěn)定（充分條件）；否則判定式（24）4個(gè)Kharitonov頂點(diǎn)多項(xiàng)式的穩(wěn)定性，若式（24）中其中任何一個(gè)多項(xiàng)式不穩(wěn)定，則系統(tǒng)也不可能穩(wěn)定（必要條件），此時(shí)直接返回第（2）步重新整定PID參數(shù)；否則判定式（32）和式（34）兩式 8個(gè)Kharitonov邊對(duì)象多項(xiàng)式的穩(wěn)定性，若8個(gè)多項(xiàng)式都穩(wěn)定，則系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定，否則返回第（2）步重新整定PID參數(shù)。判斷流程如圖5所示。

圖5 巡檢機(jī)器人魯棒PID整定流程

4 應(yīng)用舉例

以機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)魯棒PID閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式式（13）為算例任取一組參數(shù)及其攝動(dòng)范圍并來(lái)說(shuō)明算法的流程。假定P的標(biāo)稱(chēng)值為2.5，P在標(biāo)稱(chēng)參數(shù)的20%內(nèi)攝動(dòng)即 P+= 3 、P-= 2 ；假定Q的標(biāo)稱(chēng)值為3.5，Q在標(biāo)稱(chēng)參數(shù)15%內(nèi)攝動(dòng)即 Q+= 4、Q-= 3 ；假定M的標(biāo)稱(chēng)值為11.5，M在標(biāo)稱(chēng)參數(shù)的5%內(nèi)攝動(dòng)即 M+= 1 2,M-= 1 0；首先利用 Z-N整定法常規(guī)PID參數(shù) Kp= 5 .5、 Ki= 4 0、 Kd=10；為判斷式（13）的穩(wěn)定性，將上述參數(shù)代入式（15）得

由勞斯判據(jù)可知不滿足穩(wěn)定充分條件，轉(zhuǎn)第二步將上述參數(shù)代入式（24）得

由勞斯判據(jù)可知不滿足穩(wěn)定必要條件，說(shuō)明上述初始給定PID參數(shù)無(wú)法保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定，很顯然不滿足充分條件和必要條件都是由于參數(shù)iK設(shè)置過(guò)大導(dǎo)致的，此時(shí)需重新整定獲取新的PID參數(shù)，然后重復(fù)上述流程，直到系統(tǒng)穩(wěn)定為止。上述過(guò)程可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，魯棒PID控制參數(shù)會(huì)根據(jù)巡檢機(jī)器人所受擾動(dòng)情況實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整，以保證機(jī)械臂快速、準(zhǔn)確、穩(wěn)定的跟蹤到給定值。

5 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

利用常規(guī)PID控制器和本文魯棒PID控制器分別對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)直流電機(jī)實(shí)施控制，本文機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)選用的是Maxon無(wú)刷直流電機(jī)，其相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 Maxon無(wú)刷直流電機(jī)參數(shù)表

由表1經(jīng)計(jì)算得電機(jī)模型的標(biāo)稱(chēng)值為P=1.15×10-5，Q=0.316，M=1.14×10-5當(dāng) P、Q、M 分別在150%、100%、60%和50%、30%、10%的范圍內(nèi)攝動(dòng)做分別兩組仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果分別如圖6、圖7、圖8、圖9所示，其中第一組圖6和圖7為不同參數(shù)攝動(dòng)下常規(guī)PID控制階躍響應(yīng)曲線，第二組圖8和圖9為不同參數(shù)攝動(dòng)下魯棒PID控制階躍響應(yīng)曲線。為了更加清楚的識(shí)別曲線之間的差別，圖 7和圖 9分別用Δ、*、·、+四種符號(hào)分別表示模型參數(shù)攝動(dòng) 50%、30%、10%和標(biāo)稱(chēng)模型的階躍響應(yīng)曲線。為進(jìn)一步驗(yàn)證基于Kharitonov理論的魯棒 PID控制效果的優(yōu)越性，將其與基于H∞理論的魯棒PID的控制效果進(jìn)行對(duì)比，做第三組仿真實(shí)驗(yàn)，取定關(guān)節(jié)電機(jī)參數(shù)攝動(dòng)為 50%和 100%，仿真結(jié)果分別如圖10、圖11所示。

圖6 參數(shù)攝動(dòng)為150%、100%、60%時(shí)常規(guī)PID控制階躍響應(yīng)曲線

圖7 參數(shù)攝動(dòng)為50%、30%、10%時(shí)常規(guī)PID控制階躍響應(yīng)曲線

圖8 參數(shù)攝動(dòng)為150%、100%、60%時(shí)魯棒PID控制階躍響應(yīng)曲線

圖9 參數(shù)攝動(dòng)為50%、30%、10%時(shí)魯棒PID控制階躍響應(yīng)曲線

圖10 參數(shù)攝動(dòng)為50%時(shí)H∞魯棒PID和Khatitonov PID控制階躍響應(yīng)曲線

圖11 參數(shù)攝動(dòng)為100%時(shí)H∞魯棒PID和Khatitonov PID控制階躍響應(yīng)曲線

由第一組仿真結(jié)果圖 6、圖 7可知，對(duì)于標(biāo)稱(chēng)模型即參數(shù)無(wú)攝動(dòng)的情況下采用常規(guī)PID控制可以獲得較好的控制效果，如圖7“+”曲線所示。隨著模型參數(shù)攝動(dòng)由10%～150%的逐步增大，曲線的收斂速度越來(lái)越慢，超調(diào)量增大，震蕩加劇，當(dāng)參數(shù)攝動(dòng)在 150%時(shí)曲線已進(jìn)入等幅震蕩模式，無(wú)法收斂。由此可知，常規(guī)PID控制在參數(shù)不確定系統(tǒng)中，特別是參數(shù)攝動(dòng)范圍增大的情況下控制效果變得越來(lái)越差，無(wú)法保證控制系統(tǒng)的魯棒性能。

由第二組仿真結(jié)果圖8、圖9可知，隨著模型參數(shù)攝動(dòng)由10%～150%的逐步增大，曲線的收斂速度會(huì)變慢，可能會(huì)有小幅震蕩產(chǎn)生，但最終都還是可以收斂到穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)模型參數(shù)攝動(dòng)由 10%～50%時(shí)，最遲約3s后可保證系統(tǒng)收斂；當(dāng)模型參數(shù)攝動(dòng)由60%～150%時(shí)，最遲約4.5s后可保證系統(tǒng)收斂，由此可知，魯棒PID相對(duì)傳統(tǒng)PID在參數(shù)不確定系統(tǒng)控制中具有明顯優(yōu)勢(shì)，雖然與常規(guī)PID一樣參數(shù)攝動(dòng)范圍增大的情況下收斂速度會(huì)有所變慢，但最終還是完全可以保證收斂，這是魯棒PID和常規(guī)PID控制效果的本質(zhì)區(qū)別。魯棒PID能夠較好地適應(yīng)模型參數(shù)的不確定性對(duì)系統(tǒng)控制效果的影響。

由第三組仿真結(jié)果圖 10、圖 11可知，在不同參數(shù)攝動(dòng)范圍內(nèi)H∞魯棒PID和Khatitonov PID控制都能夠使得系統(tǒng)穩(wěn)定收斂，但Khatitonov PID控制效果要明顯優(yōu)于H∞魯棒PID控制效果，主要表現(xiàn)在Khatitonov PID控制上升時(shí)間更短，收斂速度更快，Khatitonov理論相對(duì)于H∞理論更適宜于處理參數(shù)不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。為更清晰地比較不同參數(shù)攝動(dòng)下，不同方法對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)控制性能的影響，結(jié)合上述3組仿真結(jié)果列出不同方法機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)性能比較見(jiàn)表2。

表2 不同方法機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)控制性能（收斂時(shí)間）比較

此外，對(duì)比第一組和第二組仿真結(jié)果，圖6和圖 8為參數(shù)攝動(dòng)為 60%～150%時(shí)常規(guī) PID和魯棒PID的控制效果，常規(guī)PID出參數(shù)攝動(dòng)150%震蕩外，其他幾條曲線要在約 20s后才能全部收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，收斂速度慢，而魯棒PID曲線在4.5s后即可全部收斂到穩(wěn)定狀態(tài)。圖7和圖9為參數(shù)攝動(dòng)為10%～50%時(shí)常規(guī)PID和魯棒PID的控制效果，常規(guī)PID曲線要在約 12s后才能全部收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，而魯棒PID曲線在2.5s后即可全部收斂到穩(wěn)定狀態(tài)。由此可見(jiàn)魯棒PID收斂速度大幅提高，增強(qiáng)了控制的實(shí)時(shí)性。綜合上述分析可知基于Khatitonov理論的魯棒 PID對(duì)于參數(shù)不確定系統(tǒng)具有較好的控制效果，能夠滿足控制系統(tǒng)快速、準(zhǔn)確、穩(wěn)定的設(shè)計(jì)要求，這對(duì)巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)實(shí)施魯棒PID控制為機(jī)器人的正常工作提供了強(qiáng)有力的保證。

6 結(jié)論

本文在建立巡檢機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)PID控制系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，利用Kharitonov定理對(duì)該模型進(jìn)行了魯棒穩(wěn)定理論分析，利用Matlab仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文理論分析的正確性。值得進(jìn)一步深入思考的是，本文被控對(duì)象分子為常數(shù)簡(jiǎn)化了計(jì)算量，在實(shí)際中可能會(huì)遇到理論上最多52個(gè)（充分條件4個(gè)+必要條件16個(gè)+充要條件32個(gè)）線性多項(xiàng)式的穩(wěn)定性判斷，計(jì)算量巨大，如何尋找簡(jiǎn)單易行的方法來(lái)處理這些多項(xiàng)式對(duì)提高算法的效率具有很大的實(shí)際意義。此外，電機(jī)參數(shù)的攝動(dòng)范圍如何精確標(biāo)定以及如何在保證機(jī)器人穩(wěn)定運(yùn)行的基礎(chǔ)上，使各關(guān)節(jié)電機(jī)協(xié)調(diào)工作能耗更少，性能更優(yōu)，將是后續(xù)研究的重要內(nèi)容。

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