“母題”的拓展應用
——以“豎直平面內的圓周運動”為例

趙軍年

（甘肅省武威第六中學）

隨著逐年、各地高考對學生能力要求的變化，由高考衍生出的新穎題目越來越多，就像物理概念中的“熵”一樣一直在增加，而對于高中階段同時具有多門學習任務的學生來說，確實是應接不暇，尤其是高三的學生真的難以應對，那么如何讓學生從題海中跳出來，讓學生既能輕松應對高考，又能很好地掌握知識提升能力呢？掌握母題解法規律，研究母題拓展，可瘦身高考題典，使學生舉一反三，觸類旁通，讓學生快樂學習，輕松備考，事半功倍。掌握了母題就掌握了所有題目的骨架，如果學會了母體拓展就具備了駕馭高考試題的能力。下面以“豎直平面內的圓周運動”為例來探討母題的拓展應用。

例題 如圖1所示，一根長為L的輕質細線（不可伸長）一端固在O點，另一端系一個質量為m的小球（可看成質點），現給小球一水平向右的初速度v0，重力加速度為g。

圖1

（1）v0是多少時，小球在豎直平面內恰好做完整的圓周運動？

（2）若讓小球在豎直平面內運動而讓輕繩一直不松弛，應滿足什么樣的條件？

解析

圖2

（1）若想讓小球在豎直平面內恰好做完整的圓周運動，則要求小球既不能做近心運動也不能做離心運動，題目中未要求輕繩的最大拉力，所以不考慮離心運動。當小球通過圓心所在水平面以上高度時，如圖2以D點為例，對小球受力分析，由向心力公式得，由機械能守恒知，小球越往上走速度越小，隨著θ減小，cosθ在增大，mgcosθ就越大，繩子的拉力就越小，小球剛好脫離軌道時繩子的拉力為零，當給小球提供的向心力大于需要的向心力時，即時，小球會做近心運動而讓輕繩松弛脫離軌道，小球越往上走越容易使得 F提供的向心力>F需要的向心力，當小球運動到最頂端C時，速度最小，重力的分力最大，所以要想讓小球在豎直平面內恰好做完整的圓周運動，就一定得過最高點C。

設小球通過最高點C的最小速度為vmin，此時輕繩拉力恰好為零，由圓周運動的向心力得

小球從A到C的過程應用動能定理得：

可知要使小球在豎直平面內恰好做完整的圓周運動，小球應滿足

圖3

設小球恰能運動到圖3中的B點（速度為零），在A到B的過程中應用動能定理得：

綜上所述，若讓小球在豎直平面內運動而讓輕繩一直不松弛，有以下兩種情況：

拓展應用一：

若將上題中的輕繩去掉，改為豎直光滑圓弧軌道，讓小球在其內測運動而不脫離軌道，則小球在最低點的速度v0應滿足什么條件？

思維啟迪：小球為研究對象受力分析，發現小球所受圓軌道的支持力和（2）問中的輕繩的拉力作用效果是相同的，所以上面（2）問中的結論也是小球在豎直光滑圓軌道上運動而不脫離軌道的條件，即或者

結論：輕繩拉小球模型和小球在光滑圓弧軌道的內側運動遵循相同的規律。

拓展應用二：

思維啟迪：因為輕繩拉小球模型和小球在光滑圓弧軌道的內側運動遵循相同的規律。題目所給小球速度大于如圖4所示，小球能越過圓心所在水平面的B點，而v0小于小球不能到達圓弧最高點，小球在BC之間某一位置會脫離圓弧軌道，設脫離位置為F點，速度為VF，小球在脫離圓弧軌道時，軌道對小球的彈力N為零，脫離軌道后小球將做斜上拋運動，由斜上拋規律知小球在最高點的速度是vFcosθ。

圖4

在圖4中的F點對小球受力分析（軌道對小球的彈力N為零），由圓周運動的向心力得

小球從A點運動到F點應用動能定理得

拓展應用三：

若將輕繩改為輕桿后，其他條件不變，讓小球在豎直平面內做完整的圓周運動，v0應滿足什么樣的條件？

思維啟迪：若改為輕桿，小球在輕桿的約束下不可能做近心或離心運動，小球在沿著圓弧向上運動過程中，速度越來越小，如上圖4所示，只要過最高點C，小球就能做完整的圓周運動。

如圖4所示，假設小球恰能運動到最高點C（此時小球速度為零），對小球從A點到C點的過程，應用動能定理得：

拓展應用四：

如圖5所示，一半徑為R的光滑球體固定在水平地面上，一小球（可看成質點）受輕微擾動從球面的頂端無初速滑下，小球的質量為m，重力加速度為g，問：小球在球面上何位置脫離？

圖5

思維啟迪：小球在沿球面下滑過程中做圓周運動，由機械能守恒得小球的速度越來越大，需要的向心力也越來越大，而重力的分力mgcosθ和球面的支持力的合力提供向心力，即（mgcosθ-N）提供向心力，小球下滑過程中θ在增大，cosθ在減小，而提供的向心力卻要求增大（因提供的向心力等于需要的向心力），這樣球面的支持力就越來越小，直到為零（此時刻小球剛好要脫離球面）。

設小球恰好在位置脫離球面，脫離時的速度是v，在點受力分析并由向心力公式得：

從O點到點應用動能定理得

結論：輕桿模型和小球在弧形軌道的外側運動也遵循相同的規律。

參考文獻：

［1］董海燕.什么地方容易脫軌［J］.中學物理，2008（7）：57-58.

［2］楊榕楠.更高更妙的物理［M］.杭州：浙江大學出版社，2015:77-81.