函數與方程思想在求數列通項中的應用分析

周宇衡

摘要：隨著數學教學改革工作的不斷推進，數學思想在數學問題解決中的作用漸漸凸顯，這不僅能夠提高數學問題解決效率，而且還能降低失誤率。數列通項問題解決時，應用函數與方程思想，同樣能夠縮短問題解決時間，并且學生的數學思維也能得到拓展。本文簡要介紹函數思想、方程思想定義的基礎上，重點探究其在數列通項中的具體應用。

關鍵詞：函數思想；方程思想；數列通項；應用分析

前言：

近年來，數學問題解決難度逐漸加大，這在一定程度上會加大學生在數學學習方面的壓力，導致學生的數學成績下降，基于此，滲透函數與方程思想是極為必要的，這能在開闊學生學習思路的前提下，降低數列通項的難度，最終節省問題解決時間。由此可見，本文探究這一論題具有一定教育意義，能夠為數學教師以及學生提供參考。

1函數思想與方程思想

1.1函數思想

所謂函數思想，指的是分析數學數量關系時，堅持應用動態觀點完成函數的構建，同時，借助函數圖像進行問題分析，必要時通過問題轉化來探索問題解決的最佳方法。換言之，函數思想即應用函數知識進行問題分析，在此期間，應用到的函數性質即周期性、圖像變換、單調性、最值、奇偶性等[1]。

1.2方程思想

所謂方程思想，指的是探究數學計算中的等量關系，通過成立方程組、解答方程組等方式進行問題轉化，最終獲得問題解決的最佳途徑。在了解方程本質的基礎上，深入分析其中包含的等量關系，進而探索到問題解決的最佳途徑。

函數思想與方程思想存在直接聯系，并且二者間互相轉化，進而能夠降低問題解決難度，探索到最佳解決方法，最終達到化繁為簡的解題目標，大大提高這兩種思想在數學解題（數列通項）中的應用率。

2應用分析

數列通項問題中應用函數與方程思想，即對已知關系式進行消元處理，并將得到的等式再次變形、轉化，進而能夠對問題簡化處理，降低問題解決難度。下文具體介紹了數學思想在差異化數列通項問題中的具體應用，通過案例分析探究函數與方程思想的應用意義[2]。

2.1應用類型一

在Hn=f（n）中，求數列通項——Mn的應用，其中，數列通項關系式為Mn=H1，n=1；Mn=H1-Hn-1，n≥2。借助這一關系得到Hn或Mn的等式，然后再次變形轉化。

例題1：已知數列{Mn}的前n項和Hn=2n2+3n，求數列通項Mn。

例題2：已知已知數列{Mn}的前n項和Hn=2n2+3n+2，求數列通項Mn。

分析可知，例題1和例題2計算數列通項Mn（n≥2）時得到Mn=4n+1，由Hn=f（n）可知，兩數列不相一致，這主要因數列中M1不同導致。

例題3：已知數列{Mn}的前n項和Hn=2×3n-2，求數列通項Mn。

例題4：已知數列{Mn}的前n項和Hn=2×3n+3，求數列通項Mn。

分析可知，例題3和例題4計算數列通項Mn（n≥2）時得到Mn=4×3n-1，據Hn=f（n）可知，兩數列存在差異，這主要因數列中M1不同導致。所以，應用數列通項關系式Mn=H1，n=1；Mn=H1-Hn-1，n≥2時，應對M1進行檢驗分析，即檢驗M1（n≥2）是否滿足，最后得到的結論有兩種情況，第一種情況即條件滿足時，應“合二為一”予以處理；第二種情況即條件不滿足時，應“一分為二”處理，這時Mn=f（n）屬于分段函數。

此外，針對例題對比分析，這能鞏固學生對已學數列通項知識的理解，使學生靈活變通在數學學習中遇到的等差數列和等比數列前n項和。滲透函數與方程思想后，學生會掌握這樣的解題思路，即消除Hn和Mn，分別剩余僅含Mn和Hn的關系式，數列通項問題解決時應檢驗M1。

2.2應用類型二

在mn+1=λmn+f（n）以及mn+2=Amn+1+Bmn，求mn的應用。數列通項練習時，常常遇到遞推公式，如mn+1=λmn+f（n），一般來講，需要形成新的等比數列來運算，在此期間，待定系數法具有應用必要性。

例題1：已知數列{Mn}滿足mn+1=2mn+3，并且m1=6，求數列通項mn。

分析可知，假設mn+1+x=2（mn+x），將其對比于mn+1=2mn+3，求得x=3，即mn+1+3=2（mn+3）。從中能夠看出，新的等比數列{mn+3}（首項9，公比2），進而再次求解。

例題2：首相為1的正項數列{Mn}，滿足（n+1）m2n+1-nm2n+mn+1×mn=0，求數列通項mn。

分析可知，（n+1）m2n+1-nm2n+mn+1×mn=0，應用方程法進行求解，求解過程如下：

[（n+1）mn+1-nmn]（mn+1+mn）=0

mn+1=

×mn

之后再次求解，從例題2解題過程可知，遇到遞推公式后，應構造新的數列，這能加快求解速度。

數列不同于一般函數，它需要借助通項公式來求解，實際解題的過程中，還應以函數思想或者方程思想來解決復雜問題，因此，數學教師解決數列通項問題時，應拓展學生的解題思路，深入挖掘內在數學思想，以此提高數列通項的解決速度和質量，這對學生對數學學習自信心增強有促進作用。

結論：

綜上所述，本文探究“函數與方程思想在求數列通項中的應用分析”這一論題，不僅能夠起到數學思維激發的作用，而且還能緩解教師的教學壓力，同時，學生學習數列通項的壓力也能逐漸減小，這對師生關系增進，數學教學效率提高有促進作用。因此，數學教師應巧妙滲透方程思想和函數思想，通過數學思想運用，大大提高解決速度，節省更多的解題時間。這不僅能夠深化數學教學改革，而且還能強化師生的數學意識。

參考文獻：

[1]劉祖萌.函數方程思想運用于高中數學解題的思路方法[J].農家參謀，2017（16）：58.

[2]崔聲隆.函數與方程思想在求數列通項中的應用[J].福建教育學院學報，2014，15（02）：65-67.