基于改進模糊熵的區間直覺模糊多屬性決策

2018-04-26 07:40:45陳思翼

系統工程與電子技術 2018年5期

關鍵詞：方法

尹勝, 楊楨, 陳思翼

(重慶郵電大學先進制造工程學院, 重慶 400065)

0 引言

早在1986年,Atanassov就根據Zadeh提出的模糊集的理論[1],定義了直覺模糊集(intuitionistic fuzzy set, IFS)[2]。之后,Atanassov又擴展了直覺模糊集,提出了區間直覺模糊集(interval-valued IFS, IVIFS)[3]。區間直覺模糊多屬性決策可以這樣表示:在區間直覺模糊環境下,在有限個方案中選出比較好的方案,以此來得到最優的決策結果,該理論被廣泛用于方案擇優、項目評價、選址等領域中。

對此,很多學者提出了基于 TOPSIS(technique for order preference by similarity to an ideal solution)[4]、灰色關聯分析[5]、距離測度[6]、目標規劃[7-8]和熵權法[9-17]的區間直覺模糊多屬性決策方法。其中,熵權法作為一種有效的確定客觀權重的方法,它可以通過指標的變化程度來解決屬性權重完全未知的多屬性決策問題。

模糊熵可以用來描述一個模糊集的模糊程度,是由Zadeh首次提出的[1]。傳統模糊熵在描述一些模糊性問題時就只考慮了隸屬度,基于此,文獻[9]提出了運用直覺模糊熵和區間直覺模糊熵刻畫模糊性問題。區間直覺模糊熵比起傳統模糊熵,更能刻畫其不確定性和模糊性。然而,很多學者在定義區間直覺模糊熵時,往往忽視了猶豫度對熵的影響。如文獻[17]定義了新的區間直覺模糊熵,并且給出了新的區間直覺模糊多屬性決策方法,但所提出的熵公式沒有考慮猶豫度對決策過程的影響,而且對某些區間直覺模糊數存在無法比較其熵大小的問題(詳細分析見第1.2節)。為此,本文對文獻[17]的模糊熵公式和公理進行改進,在一定程度上解決其存在的問題。然后,基于改進的模糊熵計算公式,聯合區間直覺模糊混合幾何(interval-valued intuitionistic fuzzy hybrid geometric, IIFHG)算子以及新的得分函數給出一種新的多屬性區間直覺模糊決策方法。最后,本文以具體案例驗證該決策方法的有效性和可靠性。

1 改進的區間直覺模糊熵

1.1 區間直覺模糊集以及相關法則

定義1[3]設X為一非空集合,int[0,1]是所有區間數[0,1]的閉子集,稱

A={(x,uA(x),vA(x))|x∈X}

為X上的區間直覺模糊集IVIFS(X),其中

uA:X→int[0,1],vA:X→int[0,1]

滿足以下條件:

0≤sup(uA(x))+sup(vA(x))≤1,?x∈X

uA(x)和vA(x)分別是X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度,令

其中

對于區間直覺模糊集A來說,X中元素x屬于A的猶豫度為

區間直覺模糊集的運算法則:設α1=([a1,b1],[c1,d1])和α2=([a2,b2],[c2,d2])為兩區間直接模糊數,則有

α1∩α2=

([min(a1,a2),min(b1,b2)],[max(c1,c2),max(d1,d2)])

(1)

α1∪α2=

([max(a1,a2),max(b1,b2)],[max(a1,a2),max(b1,b2)])

(2)

α1+α2=([a1+a2-a1a2,b1+b2-b1b2],[c1c2,d1d2])

(3)

α1·α2=([a1a2,b1b2],[c1+c2-c1c2,d1+d2-d1d2])

(4)

(5)

(6)

設A={(x,uA(x),vA(x))|x∈X}和B={(x,uB(x),vB(x))|x∈X}是X上的區間直覺模糊集,則有

(3)A=B,當且僅當A≤B且B≤A。

1.2 改進的區間直覺模糊熵

文獻[17]提出了一種新的區間直覺模糊熵公式,但這個公式沒有考慮猶豫度對熵的貢獻,同時也無法區分某些區間直覺模糊數。

定義2[17]對于?A∈IVIFS(X),建立以下熵公式:

(7)

首先,文獻[17]對式(7)提出的一條公理認為“當且僅當A是Fuzzy集時,熵得到最小值0”,這忽略了Fuzzy集自身的模糊性,而且在某些情況下,式(7)不能區分模糊熵的大小。當uA(x)≠vA(x)且(uA(x)+vA(x))相同時,得到的熵值一樣,比如(uA,vA)取(0.1,0.7),(0.2,0.6),(0.3,0.5),(0.4,0.4)等,用式(7)計算出來的熵值都為0.022 9,但其信息量不一定相同,因此這種情況不能很好區分模糊熵的大小。

例1以下給定了5個區間直覺模糊數:

α1=([0.6,0.7],[0.1,0.3])

α2=([0.3,0.4],[0.4,0.6])

α3=([0.3,0.5],[0.4,0.5])

α4=([0.5,0.7],[0.2,0.3])

α5=([0.2,0.4],[0.5,0.6])

這5組數據用式(7)計算的熵值都為0.012 4,而它們的|uL(x)-vL(x)|+|uU(x)-vU(x)|卻完全不一樣。那么,不同的區間直覺模糊數如果其熵值相同會在一定程度上影響決策結果的可靠性。

為了解決上述問題,基于文獻[17]提出改進熵公式,該公式同時考慮了隸屬度和非隸屬度的偏差以及有關猶豫度對熵的影響,從而彌補文獻[17]存在的缺陷問題。改進的熵公式可以進一步保證決策結果的有效性。

定義3設A∈IVIFS(X),為建立區間直覺模糊熵,先引入Hp,q(A)算子:

Hp,q(A)=

(8)

改進的直覺模糊熵公式如下:

(9)

因為πA(x)=1-uA(x)-vA(x),代入式(9)有

e1-|(uA(xi)-vA(xi))(1-πA(x))|]

(10)

令p=q,將式(8)代入式(9)整理

(11)

定理1設A,B∈IVIFS(X),則區間直覺模糊熵滿足以下4條:

①E(A)=0,當且僅當A為分明集;

③E(A)=E(Ac);

④A≤B有E(A)≤E(B)。

證明

條件① ?當A為分明集時,即?x∈X有uA(x)=[0,0],vA(x)=[1,1]，或者有uA(x)=[1,1],vA(x)=[0,0],則很顯然有E(A)=0;

?當E(A)=0時,有

令

因為-1≤F1≤F2≤1且|F1F2|=1,所以有F1=F2=1或F1=-1,F2=1。要滿足這兩種情況,就一定有uA(x)=[1,1],vA(x)=[0,0]或者uA(x)=[0,0],vA(x)=[1,1]得證;

?當E(A)=1時,必然有

(1) 當x≥y時

(2) 當x≤y時

所以,當x≥y時,F(x,y)是關于x的單調減函數,關于y單調增函數;

當x≤y時,F(x,y)是關于x的單調增函數,關于y的單調減函數;

又由于給定的條件xA≤xB≤yB≤yA或者xA≥xB≥yB≥yA,可以直接得到E(A)≤E(B)。

證畢

定義4[17]令D為區間直覺模糊決策矩陣,那E=(Eij)m×n就是區間直覺模糊熵矩陣。

令

{αij=([aij,bij],[cij,dij]),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

Eij=E(αij),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

E(αij)=(1-|Δij|)e1-|Δij|

(12)

式中

Δij=[aij+p(bij-aij)]2-[cij+p(dij-cij)]2

基于式(12),可以得到一個熵矩陣E=(Eij)m×n為

i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

那么第j個屬性的權重可以表示為

(13)

2 基于改進熵的決策方法

文獻[18-20]提出了各種集成算子,并討論了這些集成算子在多屬性決策中的應用。本文使用的集成算子是文獻[20]中提出的區間直覺模糊混合幾何(interval-valued intuitionistic fuzzy hybrid geometry,IIFHG)算子,該算子可以保證信息的全面性,并有效地集成各方案的屬性信息。

定義5[20]令Θ表示全體區間直覺模糊數的集合,IIFHG:Θn→Θ可以定義成:

IIFHGw,ω(α1,α2,…,αn)=

(βσ(1))ω1?(βσ(2))ω2?…?(βσ(n))ωn

(14)

定理2[20]令αj=([aj,bj],[cj,dj])是區間直覺模糊數的一個集合,運用IIFHG算子集成后的值也是區間直覺模糊數,并滿足:

(15)

對于排序方法,目前也有很多研究。文獻[21-23]提出了新的得分函數和精確函數,但存在排序失效的現象;文獻[24]提出了一種考慮決策者態度的新的態度期望得分函數和態度期望精確函數,該排序方法的優點是考慮了決策者的態度,但卻忽略了事物本身的屬性。排序方法中給出了態度特征值λ,最終結果在很大程度上取決于λ的值,λ取值的不同會使得最終排序結果有所變化,從而使結果在一定程度上缺乏精確性。

考慮到上述排序方法存在的局限性,本文采用文獻[25]中新的得分函數對區間直覺模糊數進行排序,該得分函數同時考慮了隸屬度和非隸屬度的絕對差值以及猶豫度對決策結果的貢獻。還可以在一定程度上解決排序失效的問題。

定義6[25]對于區間直覺模糊數α=([a,b],[c,d]),令

(16)

是區間直覺模糊數α的得分函數,G(α)越大,則α越優;當G(α)相等時,再比較精確函數h(α),h(α)越大,則α越優。

區間直覺模糊多屬性決策方法:設S={S1,S2,…,Sm}為m個方案集,C={C1,C2,…,Cn}為n個屬性集,那么方案Si(i=1,2,…,m)關于屬性Cj(j=1,2,…,n)的區間直覺模糊數表示為αij=([aij,bij],[cij,dij]),有決策矩陣R=(αij)m×n(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。具體運算步驟如下:

步驟1根據矩陣R,利用改進的式(11)以及式(13)和式(14)可以計算出各屬性Cj(j=1,2,…,n)的權重wj;

步驟2根據IIFHG的計算式(15)和得分函數(16)可以集成各方案的屬性信息,得到各方案Si(i=1,2,…,m)的綜合屬性值αi(i=1,2,…,m);

步驟3再利用式(16)計算各方案Si(i=1,2,…,m)的最終得分函數值G(αi);

步驟4比較各方案的得分函數值,并對各方案進行排序擇優。

3 算例分析

為了對決策結果進行比較,本文采用文獻[26]中的數據分析計算。一投資公司擬對一企業進行投資,記投資方案集為S1,S2,S3,S4。評價指標為:投資風險(C1)、發展前景(C2)、社會問題(C3)、生存環境分析(C4)。投資公司用區間直覺模糊數來表示各方案在每個屬性下的估計。IIFHG算子的位置權重為:ω=(0.155,0.345,0.345,0.155)T。相應的區間直覺模糊決策矩陣如表1所示。

首先,利用本文改進的區間直覺模糊熵公式計算出屬性Cj(j=1,2,3,4)的權重分別為

w1=0.349,w2=0.131 8

w3=0.238 8,w4=0.280 4

表1 決策矩陣

再根據式(15)和式(16)得到各方案Si(i=1,2,3,4)的綜合屬性值αi有

α1=([0.466 4,0.589 9], [0.222 1,0.401 4])

α2=([0.427 7,0.622 2], [0.242 3,0.377 8])

α3=([0.367 7,0.582 7], [0.187 4,0.303 9])

α4=([0.469 3,0.617 5], [0.215 8,0.318 2])

利用式(19)計算各綜合屬性值的得分函數值為

G(α1)=0.199 2,G(α2)=0.198 4

G(α3)=0.223 2,G(α4)=0.255 1

進而有:G(α4)>G(α3)>G(α1)>G(α2),即:S4>S3>S1>S2。

所以,方案S4是最佳方案。本文得到的排序結果和文獻[26]一致。

同理,將本文的決策方法用在文獻[17]的兩個案例中,所得結果與文獻[17]一致。

但是,將文獻[17]的決策方法用于文獻[26]和本文案例,得到的結果為:S3>S4>S2>S1,與本文和文獻[26]得到的結果不一致。

以上案例分析說明文獻[17]存在部分局限性,同時本文提出的基于改進熵的新決策方法步驟是有效的。

4 結束語

首先,針對區間直覺模糊多屬性決策問題,本文對文獻[17]提出的模糊熵公式進行了改進。改進的熵公式同時考慮了隸屬度與非隸屬度的絕對差值產生的不確定性和猶豫度對熵的影響,并在一定程度上解決了文獻[17]在某些情況下存在的無法區分熵的大小的問題。然后,在改進的熵公式的基礎上,提出了求解區間直覺模糊多屬性決策的新方法。最后,以具體案例說明了這種決策方法的有效性和可靠性。

參考文獻：

[1] ZADEH L. Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8(3): 338-353.

[2] ATANASSOV K. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20(1): 87-96.

[3] ATANASSOV K, GARGOV G. Interval valued intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1989,31(3):343-349.

[4] LI D. TOPSIS-based nonlinear-programming methodology for multiattribute decision making with interval valued intuitionistic fuzzy sets[J].IEEE Trans.on Fuzzy Systems,2010,18(2):299-311.

[5] BURGER M M, GLASER L, BURTON R M. Grey relational analysis method for interval-valued intuitionistic fuzzy multiple attribute decision making[C]∥Proc.of the 5th International Conference on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery, 2008:291-295.

[6] 陳曉紅, 戴子敬, 劉翔. 基于熵和關聯系數的區間直覺模糊決策方法[J]. 系統工程與電子技術, 2013, 35(4): 791-795.

CHEN X H, DAI Z J,LIU X.Approach to interval-valued intuitionistic fuzzy decision making based on entropy and correlation coefficient[J].Systems Engineering and Electronics,2013,35(4): 791-795.

[7] QI X W, LIANG C Y, ZHANG J L. Generalized cross-entropy based group decision making with unknown expert and attribute weights under interval-valued intuitionistic fuzzy environment[J]. Computers & Industrial Engineering, 2015, 79(1): 52-64.

[8] 衛貴武. 對方案有偏好的區間直覺模糊多屬性決策方法[J]. 系統工程與電子技術, 2009, 31(1): 117-120.

WEI G W. Method for interval-valued intuitionistic fuzzy multiple attribute decision making with preference information on alternatives[J]. Systems Engineering and Electronics, 2009, 31(1): 117-120.

[9] BUSTINCE H, BURILLO P. Entropy for intuitionistic fuzzy sets and on interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1996, 78(3): 305-316.

[10] SZMIDT E, KACPRZYK J. Entropy for intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2001, 118(3): 467-477.

[11] HUNG W L, YANG M S. Fuzzy entropy on intuitionistic fuzzy sets[J].International Journal of Intelligent Systems,2006, 21(4): 443-451.

[12] 魏翠萍, 高志海, 郭婷婷. 一個基于三角函數的直覺模糊熵公式[J]. 控制與決策, 2012, 27(4): 571-574.

WEI C P, GAO Z H, GUO T T. An intuitionistic fuzzy entropy measure based on trigonometric function[J]. Control and Decision, 2012, 27(4): 571-574.

[13] 陳云翔,蔡忠義,張諍敏,等.基于證據理論和直覺模糊集的群決策信息集結方法[J].系統工程與電子技術,2015,37(3):595-598.

CHEN Y X, CAI Z Y, ZHANG Z M, et, al. Method for group decision-making information integration based on evidence theory and intuitionistic fuzzy ses[J]. Systems Engineering and Electronics, 2015, 37(3): 595-598.

[14] YE J. Multicriteria fuzzy decision-making method using entropy weights-based correlation coefficients of interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J].Applied Mathematical Modelling,2010, 34(12): 3864-3870.

[15] 趙愿,毛軍軍. 一種新的區間直覺模糊熵及其應用[J]. 計算機工程與應用, 2016, 52(12): 85-89.

ZHAO Y, MAO J J. New type of interval-valued intuitionistic fuzzy entropy and its application[J]. Computer Engineering and Applications, 2016, 52(12): 85-89.

[16] 張英俊, 馬培軍, 蘇小紅, 等. 屬性權重不確定條件下的區間值直覺模糊多屬性決策[J]. 自動化學報, 2012, 38(2): 220-227.

ZHANG Y J, MA P J, SU X H, et al. Multi-attribute decision making with uncertain attribute weight information in the framework of interval-valued intuitionistic fuzzy set[J]. Acta Automatica Sinica, 2012, 38(2): 220-227.

[17] ZHANG Y J, MA P J, SU X H, et al. Entropy on interval-valued intuitionistic fuzzy sets and its application in multi-attribute decision making[C]∥Proc.of the 14th International Conference on Information Fusion, 2011: 1-7.

[18] XU Z S, YAGER R R. Some geometric aggregation operators based on intuitionistic fuzzy sets[J]. International Journal of General Systems, 2006, 35(4): 417-433.

[19] XIA M M, XU Z S. Generalized point operators for aggregating intuitionistic fuzzy information[J]. International Journal of Intelligent Systems, 2010, 25(11): 1061-1080.

[20] 徐澤水. 區間值直覺模糊信息的幾何聚合[C]∥中國模糊系統與知識發現全國第四屆學術會議, 2007: 466-471.

XU Z S. On geometric aggregation over interval-valued intuitionistic fuzzy information[C]∥Proc.of the 4th International Conference on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery, 2007: 466-471.

[21] 徐澤水.區間直覺模糊信息的集成方法及其在決策中的應用[J].控制與決策, 2007, 22(2): 215-219.

XU Z S. Methods for aggregation interval-valued intuitionistic fuzzy information and their application to decision making[J]. Control and Decision, 2007, 22(2): 215-219.

[22] YE J. Multicriteria fuzzy decision making method based on a novel accuracy function under interval-valued intuitionistic fuzzy invirenment[J]. Expert System with Application, 2009, 36(3): 6899-6902.

[23] LAKSHMANA G N V, MURALI K S. Multi-criteria decision-making method based on interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J]. Expert System with Application, 2011, 38(3): 1464-1467.

[24] JIAN W, FRANCISCO C. A risk attitudinal ranking method for interval-valued intuitionistic fuzzy numbers based on novel attitudinal expected score and accuracy functions[J]. Applied Soft Computing, 2014, 22(5): 278-286.

[25] 高明美,孫濤,朱建軍.基于改進熵和新得分函數的區間直覺模糊多屬性決策[J].控制與決策,2016,31(10): 1757-1764.

GAO M M, SUN T, ZHU J J. Interval-valued intuitionistic fuzzy multiple attribute decision-making method based on revised fuzzy entropy and new scoring function[J]. Control and Decision, 2016, 31(10): 1757-1764.

[26] WANG Z J, LI K W, WANG W Z. An approach to multi-attribute decision-making with interval-valued intuitionistic fuzzy assessments and incomplete weights[J].Information Sciences, 2009,179(17):3026-3040.